高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.2 向量运算第三课时导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.2 向量运算第三课时导学案，共11页。学案主要包含了课前小题演练，当堂巩固训练，综合突破拔高，解题导引等内容，欢迎下载使用。

1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律．
2、理解并掌握向量数量积和投影向量．
3、会求向量的模．
4、会解决向量夹角与垂直问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量的模；
难点：向量夹角与垂直问题．
教学过程
基础知识点
1.向量的数量积
(1)定义:
(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.
(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.
2.投影与投影向量
(1)变换:
(2)结论:称上述变换为向向向量投影,_____叫作向量在向量上的投影向量.
(3)计算:设与方向相同的单位向量为与的夹角为θ,则向量在向量上的
投影向量为__________.
3.向量数量积的性质
(1)条件:设是非零向量,它们的夹角是θ, 是与方向相同的单位向量.
(2)性质:①.
②.
③当与同向时, ;
当与反向时, .
特别地, 或.
④.
4.向量数量积的运算律
(1) .
(2) .
(3) .
【思考】
(1)对于向量,等式一定成立吗?
(2)若,则一定成立吗?
【课前小题演练】
题1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( )
A．5e B．－5e C．23e D．－23e
题2．设D为△ABC所在平面内一点， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(CD,\s\up6(→)) ，则( )
A． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→)) B． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) D． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
题3．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝________，2a－3b＝________．
题4．下面向量a，b共线的序号是__________．(其中e1，e2不共线)
①a＝2e1，b＝2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝6e1－ eq \f(3,5) e2，b＝e1－ eq \f(1,10) e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
题5．已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－2e， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
【当堂巩固训练】
题6．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
题7．已知向量a，b，且 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝－5a＋6b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
题8．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( )
A．－a B．－b
C．－c D．以上都不对
题9．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于________．
题10．化简：(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) ×3a；
(2)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a)) ；
(3) eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b＋3c)) － eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋b－c)) ；
(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋μ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－b)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3λ＋5μ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a－3b)) ，λ，μ∈R.
【综合突破拔高】
题11．已知a，b是两个不共线的向量， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ1a＋b， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
题12．若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3e1， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－5e1，且| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝| eq \(BC,\s\up6(→)) |，则四边形
ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
题13．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．0·a＝0
B．λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则 eq \f(b,a) ＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则 eq \f(|b|,|a|) ＝|λ|
题14．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－b)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b)) ＋(2b－a)＝________，若a＋λb＝5i＋j，则实数λ＝________．
题15．设P是△ABC所在平面内的一点，且 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PA,\s\up6(→)) ，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
题16．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b.
(1)试用a，b表示 eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) ；
(2)证明：B，E，F三点共线．
编号：004 课题:§9.2.3 向量的数量积
目标要求
1、理解并掌握向量数量积的性质和运算律．
2、理解并掌握向量数量积和投影向量．
3、会求向量的模．
4、会解决向量夹角与垂直问题.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量的模；
难点：向量夹角与垂直问题．
教学过程
基础知识点
1．向量的数乘运算
2.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算
(1)定义：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算．
(2)运算结果：向量线性运算的结果仍是向量．
(3)运算律：对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ1a±μ2b)) ＝λμ1a±λμ2b．
4．向量共线定理
(1)条件：a为非零向量；
(2)如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；
(3)如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
【课前小题演练】
题1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝( )
A．5e B．－5e C．23e D．－23e
【解析】选C.因为2a－3b＋c＝2·5e－3·(－3e)＋4e＝10e＋9e＋4e＝23e.
题2．设D为△ABC所在平面内一点， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(CD,\s\up6(→)) ，则( )
A． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→)) B． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) D． eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,3) eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))
【解析】选A.由题意知 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(4,3) eq \(AC,\s\up6(→)) .
题3．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝________，2a－3b＝________．
【解析】因为a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，
所以a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2，
2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2.
答案：3e1－e2 e1＋3e2 e1＋8e2
题4．下面向量a，b共线的序号是__________．(其中e1，e2不共线)
①a＝2e1，b＝2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝6e1－ eq \f(3,5) e2，b＝e1－ eq \f(1,10) e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
【解析】对于①④，由于e1，e2不共线，所以a，b不共线；对于②，a＝－ eq \f(1,2) b，所以a，b共线；对于③，a＝6b，所以a，b共线．
答案：②③
题5．已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－2e， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.
【解析】由 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－2e，得e＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ，由 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝3e，得e＝
eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，故－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,2) eq \(AB,\s\up6(→)) .即 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(AC,\s\up6(→)) 平行，又AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线，又| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \f(3,2) | eq \(AB,\s\up6(→)) |，所以AB∶AC＝2∶3.
【当堂巩固训练】
题6．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
【解析】选C.A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|＜1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果表示一个数，而等号右边的结果表示一个向量，不可能相等；C正确，因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．
题7．已知向量a，b，且 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝－5a＋6b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】选A. eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝3 eq \(AB,\s\up6(→)) ，所以A，B，D三点共线．
题8．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝( )
A．－a B．－b
C．－c D．以上都不对
【解析】选A.因为3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3a＋6b)－(6b＋2c)－(2a＋2b)＝a－2b－2c，又因为a＝b＋c，所以3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝－a.
题9．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于________．
【解析】因为向量a＋λb与b＋λa的方向相反，所以(a＋λb)∥(b＋λa)，即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.
因为a与b不共线，所以1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1.
答案：－1
题10．化简：(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) ×3a；
(2)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)a)) ；
(3) eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b＋3c)) － eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋b－c)) ；
(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋μ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－b)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3λ＋5μ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a－3b)) ，λ，μ∈R.
【解析】(1)原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)×3)) a＝－a；
(2)原式＝2a－2b－b＋ eq \f(1,2) a＝ eq \f(5,2) a－3b；
(3)原式＝ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋ eq \f(3,2) c－ eq \f(2,3) a－ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c＝－ eq \f(1,6) a－ eq \f(5,6) b＋ eq \f(11,6) c.
(4)原式＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋μ))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3λ＋5μ)))) a＋[－(λ＋μ)＋3(3λ＋5μ)]b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5λ＋7μ)) a＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8λ＋14μ)) b.
【综合突破拔高】
题11．已知a，b是两个不共线的向量， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λ1a＋b， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
【解析】选D.若A，B，C三点共线，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 共线，所以存在实数λ，使得 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，即(λλ1－1)a＝(λ2－λ)b，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.
题12．若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3e1， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－5e1，且| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝| eq \(BC,\s\up6(→)) |，则四边形
ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
【解析】选C.因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝3e1， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－5e1，
所以 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(5,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(CD,\s\up6(→)) 平行，且| eq \(CD,\s\up6(→)) |＝ eq \f(5,3) | eq \(AB,\s\up6(→)) |，又| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝| eq \(BC,\s\up6(→)) |，故四边形ABCD是等腰梯形．
题13．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．0·a＝0
B．λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反
C．若b＝λa(a≠0)，则 eq \f(b,a) ＝λ
D．若|b|＝|λa|(a≠0)，则 eq \f(|b|,|a|) ＝|λ|
【解析】选BD.A错误，0·a＝0；B正确，λμ<0知λ，μ符号相反；根据向量数乘的概念及其几何意义可知，C错误，D正确．
题14．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－b)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b)) ＋(2b－a)＝________，若a＋λb＝5i＋j，则实数λ＝________．
【解析】原式＝ eq \f(1,3) a－b－a＋ eq \f(2,3) b＋2b－a
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1－1)) a＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,3)＋2)) b
＝－ eq \f(5,3) a＋ eq \f(5,3) b＝－ eq \f(5,3) (3i＋2j)＋ eq \f(5,3) (2i－j)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5＋\f(10,3))) i＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)－\f(5,3))) j＝－ eq \f(5,3) i－5j.
a＋λb＝(3＋2λ)i＋(2－λ)j＝5i＋j.
所以λ＝1.
答案：－ eq \f(5,3) i－5j 1
题15．设P是△ABC所在平面内的一点，且 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PA,\s\up6(→)) ，则△PAB与△PBC的面积之比是________．
【解析】画出图形如图所示．
因为 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PA,\s\up6(→)) ，
所以P为边AC上靠近A点的三等分点．
所以△PAB与△PBC的底边长之比为| eq \(PA,\s\up6(→)) |∶| eq \(CP,\s\up6(→)) |＝
1∶2，且高相等，所以△PAB与△PBC的面积之比为
1∶2.
答案：1∶2
题16．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b.
(1)试用a，b表示 eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(BE,\s\up6(→)) ；
(2)证明：B，E，F三点共线．
【解题导引】(1)根据平面向量的三角形法则，用 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 表示出向量 eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) 和 eq \(BE,\s\up6(→)) 即可；
(2)用a，b表示出向量 eq \(BE,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) ，证明 eq \(BF,\s\up6(→)) 与 eq \(BE,\s\up6(→)) 共线，从而证明B，E，F三点共线．
【解析】(1)在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝b，
所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝b－a，
eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))
＝a＋ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－a)) ＝ eq \f(3,4) a＋ eq \f(1,4) b，
eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－a＋ eq \f(1,3) b；
(2) eq \(BE,\s\up6(→)) ＝－a＋ eq \f(1,3) b，
eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AF,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))
＝－a＋ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b)) ＝－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,6) b
＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(1,3)b)) ，所以 eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BE,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(BF,\s\up6(→)) 与 eq \(BE,\s\up6(→)) 共线，且有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
条件
两个____________向量与,它们的夹角是θ
结论
把数量_____________叫作向量和的数量积(或内积)
记法
记作,即_____________
规定
零向量与任一向量的数量积为_____________
变换
图示
设是两个非零向量,
过的起点A和终点B,分别作所
在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
文字
表述
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa.
规定
长度
|λa|=|λ||a|
方向
当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0.
方向
λ>1
把向量a沿着向量a的相同方向放大
0<λ<1
把向量a沿着向量a的相同方向缩小
-1<λ<0
把向量a沿着向量a的相反方向缩小
λ<-1
把向量a沿着向量a的相反方向放大