高中数学13.1 基本立体图形精品学案

13.1.3　直观图的斜二测画法

知识点1　水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则

(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

画平面图形直观图的关键和注意点是什么？

[提示]　(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长度不变，垂线长度减半，直角画45°(或135°)．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变． (　　)

(2)原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的． (　　)

(3)画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°． (　　)

(4)在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．下列说法正确的是(　　)

A．相等的角，在直观图中仍相等

B．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等

C．若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行

D．若两条线段垂直，在直观图中对应的线段仍垂直

C　[由斜二测画法规则知，角度、长度都可能改变，平行性不变，所以A、B、D错误，C正确．]

知识点2　空间图形的直观图的斜二测画法规则

(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°．

(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．

(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．

(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______ cm．

5　[由空间直观图的画法知，在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2 cm＋3 cm＝5 cm．]

类型1　画水平放置的平面图形的直观图

【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．

[解]　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，

建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°．

(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．

(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．

2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．

[跟进训练]

1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．

[解]　如图(1)在平行四边形上建立坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，如图(2)在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB．

(1)　　　　　　　(2)

在y′轴上截取O′D′＝OD，过D′作线段D′C′＝DC且D′C′∥A′B′，连接B′C′，A′D′，则四边形A′B′C′D′即为▱ABCD的直观图．

类型2　画空间图形的直观图

【例2】　有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图．

[解]　(1)先画出水平放置的边长为3 cm的正三角形的直观图，如图(1)所示．

(2)过正三角形中心O′建立z′轴，画出正三棱锥顶点V′，使V′O′＝3 cm，连接V′A′，V′B′，V′C′，如图(2)所示．

(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)．

(1)　　　　　(2)　　　　(3)

1．用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系．

2．在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，把坐标系平移上来，再画上底面的直观图即可．

3．z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．

[跟进训练]

2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．

[解]　(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．

(2)画底面：在平面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF．

(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．

(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示．

(1)　　　　　　　(2)

类型3　将直观图还原为原平面图形

【例3】　如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形．

以斜二测画法规则为切入点，思考直观图与平面图之间的内在联系，然后定出关键点，成图即可.

[解]　(1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；

(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，如图(1)所示．在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

(3)连接AB，BC，得△ABC．

则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图(2)所示．

(1)　　　　　　　　(2)

由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.

[跟进训练]

3．已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

[解]　建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，

把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C，使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．

已知A′B′＝A′C′＝a，C′D′为△A′B′C′边A′B′上的高，C′D′＝a，∴OC′＝×a＝a，∴OC＝a，

故S△ABC＝A′B′·OC＝a·a＝a2．

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)

A．原来相交的仍相交   B．原来垂直的仍垂直

C．原来平行的仍平行   D．原来共点的仍共点

B　[根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]

2．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　)

A．等边三角形

B．直角三角形

C．底边与腰不相等的等腰三角形

D．三边互不相等的三角形

A　[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示，

由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．]

3．用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是________．

[答案]　椭圆

4．如图是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，A′B′∥y′轴，则△ABC的形状是________三角形．

直角　[由斜二测画法规则知，在直观图中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．]

5．给出下列说法：

①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2(或2∶1)，有一内角为45°；

②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；

③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；

④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．

其中，正确的说法是________．(填序号)

④　[对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确，但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．④正确．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．用斜二测画法画直观图要掌握的基本规则是什么？

[提示]　用斜二测画法画直观图要掌握：

“一斜”——把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°或135°；

“二测”——平行于x轴、z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，即“横原纵半竖原”．

2．水平放置的直角三角形的直观图还是直角三角形吗？

[提示]　不一定．因为用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，角度和长度可能会发生变化，所以水平放置的直角三角形的直观图一般为斜三角形．

3．画空间几何体的直观图的注意事项？

[提示]　①转化为画平面图形的直观图；

②为增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示；

③画图时紧紧把握斜二测画法的基本原则(“一斜”“二测”)；

④斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线段的长度比．

直观图的其他常用画法

直观图一般用作数学教学或设计，分为平行投影下画出的直观图和中心投影下画出的直观图．

一、平行投影画法

观察图1，太阳光线(太阳光线可以看成是平行的)把一个矩形的窗框投影到地板上，窗框的影子变成了平行四边形．框边的长度、框边之间的夹角有所改变，但框边的平行性没有改变．另外还可看到，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有改变．图1中，一条线段的中点投射的影子，仍是这条线段的中点．正是这些不变性质，使我们能够从一个空间图形在平面上的投影来获得原来图形的大致形象．

图1

在立体几何中，一般都是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图形．我们已经学过的斜二测画法是一种平行投影画法．下面再介绍另一种平行投影画法：正等测画法．

圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆．圆的直观图，一般不用斜二测画法，而用正等测画法．具体步骤是：

(1)如图2(1)，取互相垂直的直线Ox，Oy作为已知图形⊙O所在平面直角坐标系的x轴、y轴；画直观图时，把它们画成对应的O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝120°(或60°)(如图2(2))．O′x′，O′y′确定的平面表示水平平面．

　　　　　　　　　(1)　 　　　(2)　　　　 　(3)

图2

(2)已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x′轴或y′轴的线段，且保持长度都不变．

(3)光滑连接线段端点，并擦去辅助线，得到⊙O的直观图(如图2(3))．

这样得到的圆的直观图是椭圆，这样画椭圆往往比较麻烦，我们在实际画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板(如图3)．

图3　　　　　　　　　图4

会画圆的直观图，就能画出圆柱、圆锥、圆台的直观图．先画出底面，再用类似斜二测画法的方法画其余部分，如图4．

二、中心投影画法

实际生活中，我们还会遇到许多不平行的光线．比如，电灯泡发出的光线，可以近似地看成从一个点发出的光线．图5表示一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．

图5

下面的两幅照片都是物体在平面上的中心投影．

从图5可以看到，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．所以画家常用中心投影的方法绘画，使画出来的美术作品与人们的视觉效果一致，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．