数学必修 第二册第11章 解三角形11.3 余弦定理、正弦定理的应用第1课时课时练习

第1课时　余弦定理、正弦定理的基本应用

解三角形中的常见术语

1．有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶(　　)

A．与水速成45°    B．与水速成135°

C．垂直于对岸     D．不能确定

【解析】选B.如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，

在Rt△ABC中，cos ∠ABC＝＝＝.

所以∠ABC＝45°，所以∠DAB＝90°＋45°＝135°，则小船行驶的方向应与水速成135°.

2．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A．10海里    B．10海里

C．20海里    D．20海里

【解析】选B.根据已知条件可知在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，

由正弦定理有＝，

所以BC＝＝10.

3．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)

A．500 m     B．200 m

C．1 000 m    D．1 000 m

【解析】选D.可得∠SAB＝45°－30°＝15°，

∠SBA＝∠ABC－∠SBC

＝45°－(90°－75°)＝30°，

在△ABS中，AB＝＝

＝1 000(m)，

所以BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m).

4．某人从A处出发，沿北偏西60°方向行走2 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A，C两地的距离为________km.

【解析】如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，

由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC cos  ∠ABC

＝12＋4－2×2×2×＝4，AC＝2，所以A，C两地的距离为2 km.

答案：2

5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°，求：

(1)A处与D处之间的距离；

(2)灯塔C与D处之间的距离．

【解析】由题意，画出示意图．

(1)在△ABD中，因为∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，所以B＝45°.由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里).

所以A处与D处之间的距离为24海里．

(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－

2AD·AC cos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，所以CD＝8海里．所以C，D之间的距离为8 海里.

一、单选题

1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为(　　)

A．2 n mile　　  B．3 n mile

C．5  n mile     D．6 n mile

【解析】选C.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，

所以∠C＝45°.

因为＝，

所以BC＝＝＝5(n mile).

2.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向，则灯塔A与B的距离为(　　)

A．a km　     B．a km

C．a km    D．2a km

【解析】选B.在△ABC中，因为AC＝BC＝a，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，

由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos 120°＝3a2，所以AB＝a.

3．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是(　　)

A．       B．2

C．2或     D．3

【解析】选C.如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠B＝30°.

由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，

所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.

4．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为 (　　)

A．10 km      B． km

C．10 km    D．10 km

【解析】选D.在△ABC中，AB＝10 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝100＋400－2×10×20cos 120°＝100＋400－2×10×20×＝700，

所以AC＝10 km，

即A、C两地的距离为10km.

5．如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)

A．30°    B．45°    C．60°    D．75°

【解析】选B.依题意可得AD＝20(m)，

AC＝30(m)，又CD＝50(m)，

所以在△ACD中，由余弦定理的推论得，

cos ∠CAD＝＝＝＝，

又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.

二、填空题

6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝________．

【解析】在△ABC中，由余弦定理得cos ∠ACB＝＝－，

因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.

答案：

7．当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．

【解析】设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m．

由正弦定理，得＝，

所以x＝sin (120°－α)，

因为30°<120°－α<120°，

所以当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值．

故竹竿与地面所成的角为30°时，影子最长．

答案：30°

8．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°方向，B在C的南偏东60°方向，则A在B的______方向；C在B的______方向．

【解析】因为△ABC为等腰三角形，

所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.

即A在B的北偏西10°方向．

因为B在C的南偏东60°方向，

所以C在B的北偏西60°方向．

答案：北偏西10°　北偏西60°

9．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2c＝a，b＝6，D是AC边上近A点的三等分点，且2∠ABD＝∠CBD，则∠CBD＝______ ；BC＝______．

【解析】令∠1＝∠ABD，∠2＝∠CBD，

在△ABD内，根据正弦定理可得＝，

在△BCD内，＝，

两等式相除可得＝，又2c＝a，

即2sin C＝sin A，

则＝＝，cos ∠1＝，

所以∠1＝，∠2＝，因此∠ABC＝，则AC2＝b2＝a2＋c2，则36＝a2＋a2，所以BC＝a＝.

答案：　

三、解答题

10．如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？

【解析】如图，

连接A1B2，由已知A2B2＝10 海里，

A1A2＝30×＝10 (海里)，所以A1A2＝A2B2.

又∠A1A2B2＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形，所以A1B2＝A1A2＝10 海里．

由已知，A1B1＝20 海里，∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×

10×＝200，所以B1B2＝10 海里．

因此，乙船的速度为×60＝30(海里/时).

所以乙船每小时航行30海里．

11．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为－1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．

(1)问C与B相距多少海里？C在B的什么方向？

(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．

【解析】(1)根据题意作出示意图，如图．①

则AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，

在△ABC中由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝6，所以BC＝，由正弦定理得

＝，即＝，

解得sin ∠ABC＝，所以∠ABC＝45°，

所以C在B的正西方向．

(2)由(1)知BC＝，∠DBC＝120°，

设t小时后缉私艇在D处追上走私船，

则BD＝10t，CD＝10t，在△BCD中由正弦定理得＝，解得sin ∠BCD＝，所以∠BCD＝30°，所以△BCD是等腰三角形，所以10t＝，即t＝.

所以缉私艇沿东偏北30°方向行驶小时才能最快追上走私船．

一、选择题

1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C北偏西65°且到C的距离为km，则A，B两船的距离为(　　)

A．2 km    B．3 km

C． km    D． km

【解析】选D.如图可知∠ACB＝85°＋65°＝150°，

AC＝2 km，BC＝ km，所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝13，所以AB＝ km.

2．如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)

A．10 m       B．5 m

C．5(－1)m    D．5(＋1)m

【解析】选D.方法一：设AB＝x m，则BC＝x m.

所以BD＝(10＋x)m.

所以tan ∠ADB＝＝＝.

解得x＝5(＋1).

所以A点离地面的高AB等于5(＋1)m.

方法二：因为∠ACB＝45°，所以∠ACD＝135°，

所以∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.

由正弦定理，得AC＝·sin ∠ADC

＝·sin 30°＝ (m)，

所以AB＝AC sin 45°＝5(＋1)m.

3．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标A，测得俯角∠BAP＝30°.经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°.又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P，测得俯角∠BCP＝θ且

cos θ＝，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为(　　)

A.1.25分钟     B．1.5分钟

C．1.75分钟    D．2分钟

【解析】选B.设飞机的飞行速度为v，根据飞机的飞行图形，测得俯角∠BAP＝30°，经过2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角为∠ABP＝60°，所以△ABP为直角三角形，过点P作PD⊥AC于点D，则AB＝2v，AP＝v，BP＝v，解得DP＝，

设CB＝xv，因为cos θ＝，可得sin θ＝＝，所以tan θ＝，

在直角△PCD中tan θ＝＝，解得x＝1.5，即该侦察飞机由B至C的飞行时间为1.5分钟．

二、填空题

4．甲船在岛B的正南A处，AB＝6 km，甲船以每小时4 km的速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3 km的速度向北偏东60°的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是________km.

【解析】假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至C，D，如图所示，可知BC＝6－4x，BD＝3x，∠CBD＝120°，CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cos ∠CBD＝(6－4x)2＋9x2＋2(6－4x)3x×＝13x2－30x＋36.当x＝时甲、乙两船相距最近，最近距离为km.

答案：

5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β＝45°，则此山的高度CD＝________米，仰角α的正切值为________．

【解析】设山的高度CD＝x米，由题可得∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，AB＝300米，∠CBD＝45°.在△ABC中，可得：∠ACB＝180°－45°－105°＝30°，利用正弦定理可得＝＝，解得CB＝300(米)，

AC＝150(米).

在Rt△BCD中，由∠CBD＝45°可得：x＝CB＝300(米)，在Rt△ACD中可得tan α＝＝＝－1.

答案：300　－1

6．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且此时它们相距8海里，此时的航速是________海里/小时．

【解析】在△ABS中，易知∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，且边BS＝8，利用正弦定理可得＝，即＝，得AB＝16，

又因为从A到B匀速航行时间为半小时，

所以速度应为＝32(海里/小时).

答案：32

7．甲船在A处发现乙船在北偏东60°方向的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问：甲船应沿______方向前进才能最快与乙船相遇？

【解析】如图，设经过t小时两船在C点相遇，

则在△ABC中，BC＝at，AC＝at，∠B＝180°－60°＝120°.

由正弦定理得＝，

则sin ∠CAB＝＝＝＝.

因为0°<∠CAB<90°，所以∠CAB＝30°，

所以∠DAC＝60°－30°＝30°，

即甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇．

答案：北偏东30°

三、解答题

8．某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．经测量，边界AB与AD的长都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°(≈1.732 1，≈2.449 5).

(1)若∠ADC＝105°，求BC的长(结果精确到米)；

(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米).

【解析】(1)连接BD，则在△BCD中BD＝200，∠BDC＝45°，

由＝，得：BC＝＝≈163，所以BC的长约为163米；

(2)设∠CBD＝θ(0<θ<)，

则∠BDC＝－θ，在△BCD中，

由＝＝，

得：BC＝sin ，CD＝sin θ，

所以BC＋CD＝[sin (－θ)＋sin θ]

＝sin ，所以当θ＝时，BC＋CD取得最大值，此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为米，约为631米．

9．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．

【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，

则S＝

＝＝.

故当t＝时，Smin＝10 ，v＝＝30 (海里/小时).

即小艇以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示．

由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2×20×30t×cos (90°－30°)，化简得

v2＝－＋900＝400＋675.

由于0＜t≤，即≥2，所以当＝2时v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时．