高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用优质学案及答案

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第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
一、向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题.
(2)通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“ ”成几何关系.
【答案】向量；向量运算；翻译
二、向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1) ，即把物理问题转化为数学问题.
(2) ，即建立以向量为载体的数学模型.
(3) ，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4) ，即把所得的数学结论回归到物理问题.
【答案】问题转化；建立模型；求解参数；回答问题
三、余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于
公式表达
a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
【答案】其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；b2＋c2－2bccos A；a2＋c2－2accos B；a2＋b2－2abcos C
四、余弦定理可以用于两类解三角形问题
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
五、解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
【答案】元素；解三角形
六、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等.
即＝＝.
【答案】正弦
七、正弦定理的变形公式
1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径).
【答案】2Rsin A；2Rsin B；2Rsin C
八、距离问题
类型
图形
方法
两点间不可到达的距离

余弦定理
两点间可视不可到达的距离

正弦定理
两个不可到达的点之间的距离

先用正弦定理，
再用余弦定理
九、高度问题
类型
简图
计算方法
底部可达

测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线

测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线

测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
十、角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.
一、单选题
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2+b2=2c2 ， 则角C的最大值是（    ）
A. π3                                         B. π6                                         C. π4                                         D. 2π3
【答案】 A
【解析】解：∵cosC=a2+b2-c22ab=c22ab ，
又a2+b2≥2ab ， ∴2ab≤2c2 ， ∴cosC≥12 ， ∴0 故答案为：A.
2.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30° ， 第一排和最后一排的距离为96米（如图所示），则旗杆的高度为（    ）

A. 9米                                   B. 27米                                   C. 93米                                   D. 96米
【答案】 B
【解析】依题意可知∠AEC=45° ，

∠CAE=180°-60°-15°=105° ，
∴∠ACE=180°-45°-105°=30° ，
由正弦定理可知AEsin∠ACE=ACsin∠AEC ，
∴AC=AEsin∠ACE · sin∠AEC=183米，
∴在Rt△ABC中，BC=AC · sin∠CAB=183×32=27米.
故答案为：B.
3.已知 △ABC 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c， b=7 ， a=1 ， B=2π3 ，则 c= （    ）
A. 5                                         B. 2                                         C. 3                                         D. 3
【答案】 B
【解析】由余弦定理得 cosB=a2+c2-b22ac ，即 -12=1+c2-72c ，整理得 c2+c-6=0 ，解得 c=2 。
故答案为：B.
4.已知空间向量 a,b,c 满足 a+b+c=0 ， |a|=2,|b|=3,|c|=4 ，则 a 与 b 的夹角为（    ）
A. 30°                                   B. 45°                                   C. 60°                                   D. 以上都不对
【答案】 D
【解析】设 a 与 b 的夹角为θ，
由 a+b+c=0 ，得 a+b=-c ，
两边平方，得 a2+2a⋅b+b2=c2 ，
因为 |a|=2,|b|=3,|c|=4 ，
所以 4+2×2×3cosθ+9=16 ，解得 cosθ=14 ，
故答案为：D.
5.在 △ABC 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 (3a-2b)2+(5a-4c)2=0 ，则 △ABC 最小内角的正弦值为（    ）
A. 45                                         B. 34                                         C. 35                                         D. 74
【答案】 D
【解析】解：因为 (3a-2b)2+(5a-4c)2=0 ，所以 {3a-2b=0,4c-5a=0, 则 {b=32a,c=54a, ，
可知 △ABC 的最小内角为角A，
所以 cosA=b2+c2-a22bc=94a2+2516a2-a22×32×54a2=34 ，
又 A∈(0,π) ，所以 sinA=74 .
故答案为：D.
6.二七罢工纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统文化精神而修建的纪念性建筑物.某校为庆祝建党100周年，组织学生参观二七罢工纪念塔.同学们在参观过程中，对纪念塔的塔高产生了兴趣，为测量塔的高度，甲同学在二七广场 A 地测得纪念塔顶端 D 仰角为 45° ，乙同学在二七广场 B 地测得纪念塔顶端 D 的仰角为 30° ，塔底为 C （ A ， B ， C 在同一水平面上， CD⊥ 平面 ABC ），量得 AB=63 米， ∠ACB=30° ，则纪念塔的高 CD= （    ）

A. 403 米                                B. 683 米                                C. 40米                                D. 63米
【答案】 D
【解析】如图，

设 CD=x 米，由题意可得 AC=x 米， BC=3x 米，
在 △ABC 中，由 AB2=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cos∠ACB ，
632=x2+3x2-2×x×3x×32
可得 x=63 .
故答案为：D
二、填空题
7.在 △ABC 中， AB=3 ， AC=5 ， tanA=2 ，则 △ABC 的面积为      .
【答案】 35
【解析】因为 tanA=2 ，可得 sinAcosA=2 ，即 sinA=2cosA ，
联立方程组 {sinA=2cosAsin2A+cos2A=1 ，可得 sin2A=45 ，
因为 A∈(0,π) ，所以 sinA=255 ，
所以 △ABC 的面积 S=12×3×5×255=35 .
故答案为： 35 .
8.在平面凸四边形 ABCD 中， BC=33+4,AB=8,AC=53,CD=256 且 ∠BCD=135°, 则 ∠CAD=        ．
【答案】 90º
【解析】在 △ABC 中，由余弦定理得 cos∠ACB=BC2+AC2-AB22BC⋅AC=(33+4)2+(53)2-822×(33+4)×53=35 ，
∴sin∠ACB=45 ，

则 cos∠ACD=cos(135°-∠ACB)=cos135°cos∠ACB+sin135°sin∠ACB=210 ，
则在 △ACD 中，由余弦定理得 AD2=AC2+CD2-2AC⋅CD⋅cos∠ACD
=(53)2+(256)2-2×53×256×210=3675 ，
又 cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC⋅AD=(53)2+3675-(256)22×53×3675=0 ，∴∠CAD=90° .
故答案为：90º.
三、解答题
9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ， 2sinA-sinB=tanCcosB.
（1）求角C的大小；
（2）若c=3 ， sin(A-B)+sin(A+B)=4sinBcosB ， 求△ABC的周长.
【答案】 （1）解：由tanC=sinCcosC得(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB ，
即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA ，
∵A∈(0,π) ， ∴sinA≠0 ， ∴cosC=12 ， ∵C∈(0,π) ， ∴C=π3.
（2）解：∵sin(A-B)+sin(A+B)=4sinBcosB ， ∴2sinAcosB=4sinBcosB.
当cosB=0时，∵B∈(0,π) ， B=π2 ， 则A=π6.
∵c=3 ， C=π3 ， 由正弦定理得a=csinAsinC=1 ， b=csinBsinC=2 ， 则a+b+c=3+3；
当cosB≠0时，sinA=2sinB ， 即a=2b.
∵cosC=a2+b2-c22ab=12 ， ∴b2=1 ， 即b=1 ， ∴a=2 ， 则a+b+c=3+3.
综上可知△ABC的周长为3+3.
【解析】(1)由已知条件结合同角三角函数的基本关系式和两角和的正弦公式，即可得出cosC=12 ， 由角C的取值范围即可求出角C的大小。
(2)根据题意由两角和的正弦公式整理化简，即可求出cosB的取值，从而即可求出角B的大小，再由正弦定理计算出b的取值，并把结果代入到余弦定理计算出a的值，由此即可得出答案。
10.如图，在△ABC中，AB=3 ， AC=2 ， BC边的中垂线交BC于D，交AB于E，且BE=2AE.

（1）求sinB的值；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：如图，连接CE ， 则CE=EB=2 ，

在△ACE中，cos∠CEA=CE2+AE2-AC22CE⋅AE=1+4-22×1×2=34.
因为∠CEA=2∠B ， 所以cos∠CEA=1-2sin2B=34 ，
解得sinB=24；
（2）由（1）可知sin∠CEA=1-(34)2=74 ，
则S△ACE=12×1×2×74=74.
因为BE=2AE ， 所以S△ABC=3S△ACE=374.
【解析】(1)根据题意由三角形中的几何计算关系，结合余弦定理以及同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
(2)由(1)的结论结合三角形的面积公式，代入数值利用面积之间的关系计算出结果即可。