【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第十章 概率》单元测试1（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《第十章 概率》单元测试

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为奇数的概率为( )

A. B.
C. D.
2.（5分）袋中装有大小和材质均相同的红球4个，黄球2个，白球1个，从中随机取出一个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是( )
A. 不互斥但对立 B. 不互斥也不对立
C. 互斥且对立 D. 互斥但不对立
3.（5分）某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩(单位：分)及班内排名如表(假定成绩均为整数)现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是(    )

成绩/分
班内排名
甲
95
9
乙
94
11
丙
93
14

A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
4.（5分）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 ( )
A. 310 B. 25 C. 12 D. 35
5.（5分）踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动某单位组织踢毽子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26，29，32，45，51；乙组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为28，31，38，42，49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是( )
A. 59 B. 49 C. 1325 D. 1225
6.（5分）从数字1，2，3，4，5中随机取两个不同的数，则这两个数字之和为奇数的概率为(    )
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3
7.（5分）某人在比赛(没有平局)中赢的概率为0.6，那么他输的概率是( )

A. 0.4 B. 0.6 C. 0.36 D. 0.16
8.（5分）口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(    )
A. 0.32 B. 0.45 C. 0.64 D. 0.67
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）抛掷一颗质地均匀的骰子一次,记事件M为“向上的点数为1或4”,事件N为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是（ ）
A. M与N互斥但不对立 B. M与N对立
C. P(MN)=16 D. P(M+N)=23
10.（5分）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是( )
A. 事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D. 事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
11.（5分）以下结论不正确的是( )
A. 对立事件一定互斥
B. 事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率
C. 事件A与事件B互斥，则有P(A)=1-P(B)
D. 事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件
12.（5分）明代大书画家董其昌曾云：“读万卷书，行万里路．”甲、乙、丙三位同学打算在假期从武汉、杭州、成都、重庆、长沙、贵阳6个城市中任选3个去旅游，则下列结论正确的是( )
A. 甲选武汉、长沙、贵阳与乙选武汉、长沙、杭州互相独立
B. 甲、乙、丙三人至少有一人选武汉与三人都选成都是对立事件
C. 甲在选重庆的条件下选成都的概率是15
D. 乙、丙两人都选杭州的概率是14
13.（5分）(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥事件的是( )
A. “恰有一名男生”和“全是男生”
B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C. “至少有一名男生”和“全是男生”
D. “至少有一名男生”和“全是女生”
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）湖北省从2018年入学的高中学生开始实施高考改革，高考科目除语数外三门学科外，需从政治、历史、地理、物理、化学、生物六门学科中选三门．某同学随机选取，结果选到和改革前文科生(政治、历史、地理)或者理科生(物理、化学、生物)的考试科目相同的概率为______．
15.（5分）小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首，则A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．
16.（5分）若实数a、b、c满足1a+1b═2c，则a，b，c是调和的．设含有三个元素的集合P是集合M={ x||x|⩽2020,x∈Z}的子集，当集合P中的元素a、b、c既是等差的又是调和的时，称集合P为“好集”.则三元子集中“好集”的概率是______．
17.（5分）将一个白球，一个红球，三个相同的黄球摆放成一排。则白球与红球不相邻的放法有____.
18.（5分）从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是________．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： 
(1)取出的两球1个是白球，另1个是红球； 
(2)取出的两球至少一个是白球．
20.（12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001、002、…800编号．  
(1)下面摘取了随机数表的第7行到第9行  
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76  
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 66 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79  
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54  
如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的5个人的编号；  
(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：  
成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩各等级人数，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42.在该样本中，数学成绩优秀率是30%，  

人数
数学
优秀
良好
及格
地 
理
优秀
7
20
5
良好
9
18
6
及格
a
4
b
在地理成绩及格的学生中，已知a⩾10，b⩾8，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．
21.（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． 
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：
Y
51
48
45
42
频数




(2)在所种年收获量为51或48的作物中随机选取两株求收获量之和，收获量之和为t的概率．

22.（12分）从3名男生和2名女生中任选两人参加演讲比赛，试求： 
(1)所选2人都是男生的概率； 
(2)所选2人恰有1名女生的概率； 
(3)所选2人至少有1名女生的概率．
23.（12分）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示. 
(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？

答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
 
该题考查等可能事件的概率，解答该题的关键是熟练掌握古典概率模型的特征，并且结合排列与组合解决概率问题．

解：由题意可得：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字共有不同的取法有：C52=10.
其中这两个数字之和为奇数的取法有：(1,2)，(1,4).(2,3)，(2,5)，(3,4)，4，5)，共有6种取法． 
所以这两个数字之和为奇数的概率为 610=35 ． 
故选C． 
 


2.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查了互斥事件与对立事件，关键是对两个概念的理解，属于基础题． 
根据题意，列举从袋中任取1个球的情况，据此结合互斥、对立事件的定义分析，即可得答案． 
 
解：根据题意，一袋中装有红球4个，黄球2个，白球1个，从中随机取出一个球， 
“取出的是红球”与‘’取出的是黄球‘’不可能同时发生，是互斥事件， 
但是也可能都不发生，可能‘’取出的是白球“故不是对立事件. 
故选D. 


3.【答案】B;
【解析】解：∵由题意得该班中成绩为94分的学生有3人，该班中成绩为95分的学生有2人， 
∴从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位， 
基本事件总数n=C52=10， 
这两位同学成绩相同包含的基本事件个数m=C22+C32=4， 
∴这两位同学成绩相同的概率是p=mn=410=0.4． 
故选：B． 
求出该班中成绩为94分的学生有3人，该班中成绩为95分的学生有2人，从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，基本事件总数n=C52=10，这两位同学成绩相同包含的基本事件个数m=C22+C32=4，由此能求出这两位同学成绩相同的概率． 
该题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】D;
【解析】

此题主要考查古典概率的应用，是高考中常见的题型，属于基础题. 
先分析出甲乙两人抢5个不同的红包，共有10种抢法，然后写出6种符合要求的基本事件即可. 


解：由题意得，甲乙两人抢5个不同的红包，共有10种抢法，
两人抢到的金额之和不低于3元，共有6种，
 { 1.72,1.83},{ 1.72,2.28},{ 1.72,1.55},{ 1.83,2.28},{ 1.83,1.55},{ 2.28,1.55}，
所求概率为610=35.
故选D.

5.【答案】C;
【解析】解：把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26，29，32，45，51， 
乙组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为28，31，38，42，49. 
从甲、乙两组中各随机抽取1人， 
基本事件总数n=C51C51=25， 
这两人踢毽子的数目之和为奇数包含的基本事件个数m=C31C31+C21C21=13， 
这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是P=mn=1325. 
故选：C. 
从甲、乙两组中各随机抽取1人，基本事件总数n=C51C51=25，这两人踢毽子的数目之和为奇数包含的基本事件个数m=C31C31+C21C21=13，由此能求出这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率． 
此题主要考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．

6.【答案】A;
【解析】解：从数字1，2，3，4，5中随机取两个不同的数， 
基本事件总数n=C52=10， 
这两个数字之和为奇数包含的基本事件个数m=C21C31=6， 
∴这两个数字之和为奇数的概率p=mn=610=35=0.6． 
故选：A． 
从数字1，2，3，4，5中随机取两个不同的数，先求出基本事件总数，再求出这两个数字之和为奇数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数字之和为奇数的概率． 
此题主要考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

7.【答案】A;
【解析】  
此题主要考查互斥事件、对立事件的判断与概率计算，比较基础． 
根据对立事件的概率计算求解即可. 
 
解：某人在比赛(没有平局)中赢的概率为0.6， 
那么他输的概率是1-0.6=0.4. 
故选A. 


8.【答案】B;
【解析】解：口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个， 
从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23， 
则摸出黑球的概率为： 
p=1-32100-0.23=0.45． 
故选：B． 
利用互斥事件概率加法公式直接求解． 
该题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9.【答案】CD;
【解析】略

10.【答案】AC;
【解析】解：事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中”，与事件“两次均击中”是对立事件，故A选项正确， 
事件“第一次击中”与事件“第二次击中”可同时发生，故B选项错误， 
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，属于互斥事件，故C选项正确， 
事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D选项错误． 
故选：AC. 
根据对立事件和互斥事件的概念，分析每个选项的内容，即可求解． 
此题主要考查了对立事件和互斥事件的概念，需要学生掌握对立事件和互斥事件的相同点与不同点，属于基础题．

11.【答案】BCD;
【解析】解：对于A，对立事件一定是互斥事件，故A正确； 
对于B，事件A与事件B的和事件的概率有可能等于事件A的概率，故B错误； 
对于C，事件A与事件B对立，则有P(A)=1-P(B)， 
事件A与事件B互斥，则有P(A)⩽1-P(B)故C错误； 
对于D，事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B不一定是对立事件，故D错误． 
故选：BCD. 
利用对立事件、互斥事件的定义、性质直接求解． 
此题主要考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12.【答案】AD;
【解析】 
此题主要考查古典概型的概率的相关计算，考查组合的应用以及组合数的运算，考查对立事件的判定以及条件概率的计算，属于基础题. 
首先对于A选项，相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生，所以可判断该说法正确； 
对于B选项，甲、乙、丙三人至少有一人选武汉与全不选武汉是对立事件判断出B错误； 
对于C选项，根据条件概率的计算可判断出C错误； 
对于D选项，根据乙、丙两人都选杭州的概率可判断出D正确. 
 
解：对于A选项，相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生， 
所以甲选武汉、长沙、贵阳与乙选武汉、长沙、杭州互相独立， 
故A正确； 
对于B选项，甲、乙、丙三人至少有一人选武汉与全不选武汉是对立事件， 
故B错误； 
对于C选项，由于甲选了重庆，则甲选成都的概率为C41C52=25， 
故C错误； 
对于D选项，因为乙、丙两人各自选杭州的概率为C52C63=12， 
所以乙、丙两人都选杭州的概率为12×12=14， 
故D正确. 
故选AD.

13.【答案】AD;
【解析】 
此题主要考查互斥事件，为基础题. 
由互斥事件的定义，即指不可能同时发生的事件，逐项判断即可求解. 
 
解：A，恰有一名男生和全是男生，这两件事不可能同时发生，故是互斥事件； 
B，至少有一名男生和至少有一名女生，不是互斥事件，当取出的2个人正好是1名男生和1名女生时，这两件事同时发生了； 
C，至少有一名男生和全是男生 ，不是互斥事件，因为“至少有一名男生”包含了“全是男生 ”的情况； 
D，至少有一名男生和全是女生是互斥事件，这两件事不可能同时发生. 
故选AD.

14.【答案】110;
【解析】解：高考科目除语数外三门学科外，需从政治、历史、地理、物理、化学、生物六门学科中选三门． 
某同学随机选取，基本事件总数n=C63=20， 
结果选到和改革前文科生(政治、历史、地理)或者理科生(物理、化学、生物)的考试科目相同的概率为： 
p=220=110． 
故答案为：110． 
某同学随机选取，基本事件总数n=C63=20，由此能求出选到和改革前文科生(政治、历史、地理)或者理科生(物理、化学、生物)的考试科目相同的概率． 
此题主要考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．

15.【答案】710;
【解析】 
此题主要考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查函数与方程思想、集合思想，是中档题． 
基本事件总数n=C52=10，A，B两首歌曲至少有一首被播放包含的基本事件个数m=C22+C31C21=7，由此能求出A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率． 
 
解：小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首， 
基本事件总数n=C52=10， 
A，B两首歌曲至少有一首被播放包含的基本事件个数m=C22+C31C21=7， 
则A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是P=mn=710． 
故答案为：710．

16.【答案】1010C40413;
【解析】解：因为P为三元素集合， 
所以实数a，b，c互不相等，且均不为0， 
根据题意可得1a+1b=2c2b=a+c，得2b2-ab-a2=0， 
解得a=b(舍)，或a=-2b，则c=4b 
所以集合P={ b,-2b,4b}， 
又因为含有三个元素的集合P是集合M={ x||x|⩽2020,x∈Z}的子集， 
所以-2020⩽4b⩽2020，即-505⩽b⩽505，且b≠0 
所以集合P的个数为：2×505=1010， 
集合M中共由4041个元素， 
所以三元子集中“好集”的概率是1010C40413， 
故答案为：1010C40413． 
根据题意可得实数a，b，c互不相等，且均不为0，列方程组可得1a+1b=2c2b=a+c，得a=-2b，则c=4b，推出集合P={ b,-2b,4b}，由于P⊆M，推出-505⩽b⩽505，进而确定集合P的个数为：2×505=1010，集合M中共由4041个元素，从中取3个有C40413种情况，再计算概率即可． 
该题考查概率，集合，数列，是一道综合题，也是一道新定义题，属于中档题．

17.【答案】12;
【解析】略.

18.【答案】34;
【解析】 
该题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 
从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，先求出基本事件总数，再求出所选取的三条线段恰能构成三角形包含的基本事件个数，由此能求出所选取的三条线段恰能构成三角形的概率． 
 
解：∵从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段， 
∴基本事件总数n=C43=4， 
所选取的三条线段恰能构成三角形包含的基本事件有： 
{ 2,3,4}，{ 2,4,5}，{ 3,4,5}，即m=3， 
∴所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是：mn=34． 
故答案为：34．

19.【答案】解：（1）袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球， 
基本事件总数n=C62=15， 
取出的两球1个是白球，另1个是红球包含的基本事件个数m=C41C21=8， 
∴取出的两球1个是白球，另1个是红球的概率p=mn=815． 
（2）取出的两球至少一个是白球的对立事件是取出的两个球都是红球， 
∴取出的两球至少一个是白球的概率p=1-C22C62=1415．;
【解析】 
(1)基本事件总数n=C62=15，取出的两球1个是白球，另1个是红球包含的基本事件个数m=C41C21=8，由此能求出取出的两球1个是白球，另1个是红球的概率． 
(2)取出的两球至少一个是白球的对立事件是取出的两个球都是红球，由此能求出取出的两球至少一个是白球的概率． 
该题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

20.【答案】解：（1）根据图表数据第一个数为785，依次为667，199，507，175，  
（2）①7+9+a100=30%，  
∴a=14；  
b=100-30-（20+18+4）-（5+6）=17  
②a+b=100-（7+20+5）-（9+18+6）-4=31  
因为a≥10，b≥8，  
所以a，b的搭配：  
（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），  
（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8），  
共有14种，  
设a≥10，b≥8时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，  
事件A包括：（（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），  
共6个基本事件；  
∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率p=614=37．;
【解析】 
(1)根据简单随机抽样的定义即可得到结论，  
(2)①根据数学成绩优秀率是30%，构造关于a的方程，解方程可得a值，进而根据抽取样本容量为100，可得b值；  
②求出满足a⩾10，b⩾8的基本事件总数及满足数学成绩优秀的人数比及格的人数少的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案  
此题主要考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．

21.【答案】解：（1）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15， 
其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株， 
“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株， 
列表如下：
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为 
51×2+48×4+45×6+42×315=102+192+270+12615=69015=46． 
（2）记年收获量是51的两株作物为1，2； 
年收获量是48的四株作物为A，B，C，D，共有15个基本事件． 
当t=96时，P（t=96）=25；当t=99时，P（t=99）=815； 
当t=102时，P（t=102）=115．;
【解析】 
(1)所种作物的总株数为15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，由此能求出所种作物的平均年收获量．  
(2)记年收获量是51的两株作物为1，2；年收获量是48的四株作物为A，B，C，D，共有15个基本事件．由此能求出结果． 
该题考查所种作物的平均年收获量和收获量之和为t的概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

22.【答案】解：（1）从3名男生和2名女生中任选两人参加演讲比赛，所有的选法共有C52=10种， 
其中，所选2人都是男生的选法有C32=3种，故所选2人都是男生的概率为310． 
（2）所选2人恰有1名女生的选法有3×2=6种，所有的选法共有C52=10种，由此可得所选2人人恰有1名女生的概率为610=35． 
（3）所选2人至少有1名女生的选法有3×2+1=7种，所有的选法共有C52=10种，所选2人少有1名女生的概率为710．;
【解析】 
(1)所有的选法共有C52种，其中，所选2人都是男生的选法有C32种，由此求得所选2人都是男生的概率． 
(2)所选2人恰有1名女生的选法有3×2=6种，所有的选法共有C52=10种，由此可得所选2人恰有1名女生的概率． 
(3)所选2人至少有1名女生的选法有3×2+1=7种，所有的选法共有C52=10种，由此求得所选2人至少有1名女生的概率． 
该题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．

23.【答案】略;
【解析】(1)填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.(2)由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80.