人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第3课时练习

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第3课时练习，共5页。试卷主要包含了已知函数f=ex+3ax等内容，欢迎下载使用。

5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第3课时 导数的应用
A级　基础巩固
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)之间的关系为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A.13万件 B.11万件C.9万件 D.7万件
解析:y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9(负值舍去).
当x∈(0,9)时,y'>0;当x>9时,y'<0,
所以函数y=-x3+81x-234在区间(0,9)内单调递增,在区间(9,+∞)上单调递减,
所以x=9是函数的极大值点.
又因为函数y在区间(0,+∞)上只有一个极大值点,
所以函数y在x=9处取得最大值.
答案:C
2.一周长为l的扇形,当面积达到最大值时,扇形的半径为(　　)
A. B. C. D.
解析:设半径为r,则弧长为l-2r.
S扇形=(l-2r)·r=-r2+rl.令S'扇形=-2r+=0,得r=.
当r∈时,S'扇形>0,S扇形单调递增;当r∈时,S'扇形<0,S扇形单调递减,所以当r=时,扇形面积最大.
答案:C
3.用一根长为24 m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体的最大体积为8 m3.
解析:设长方体的底面边长为x m,则高为(6-2x)m,所以x∈(0,3),则体积V=x2(6-2x)=6x2-2x3,V'=12x-6x2.
令V'=0,得x=2或x=0(舍去),
所以当x∈(0,2)时,V'>0,V单调递增,
当x∈(2,3)时,V'<0,V单调递减,
所以当x=2时,Vmax=8.
4.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为1 000元时,公寓会全部租出去,月租金每增加50元,租出去的公寓就会减少一套,而租出去的公寓每套每月需由该公司承担100元的维修费,则租金定为 1 800 元时该公司可获得最大收入. 
解析:设月租金定为x元,收入为y元,
则y= (x-100)=,
则y'=.
令y'=0,得x=1 800.
当x<1 800时,y'>0,当x>1 800时,y'<0,
所以x=1 800是极大值点,y极大值=57 800.
所以当x=1 800时,y取得最大值.
5.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是两邻边分别为x m,y m的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8 m2,当x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001)

解:依题意有xy+x·=8,
所以y=-(0 则框架用料总长度L=2x+2y+2×=x+,则L'=+-.
令L'=0,即+-=0,解得x1=8-4,x2=4-8(舍去).
当00.
所以当x=8-4时,L取得最小值,此时x=8-4≈2.343,y=2≈2.828.
故当x≈2.343,y≈2.828时,用料最省.
B级　拓展提高
6.内接于半径为R的球并且体积最大的圆柱的高为(　　)
A.R B.R
C. D.以上都不对
解析:设圆柱底面半径为r,高为h,则r2=R2-,所以V(h)=πr2h=
πh,V'(h)=π.令V'(h)=0,得h=R(负值舍去),此时体积V(h)最大.
答案:A
7.一个帐篷,它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时,帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为(　　)


A. m B.1 mC. m D.2 m
解析:设OO1为x m(1 由题意得正六棱锥底面边长为=(m),所以底面正六边形的面积为S=6××()2=(8+2x-x2).
帐篷的体积V=×(8+2x-x2)(x-1)+(8+2x-x2)=(8+2x-x2)[(x-1)+3]=(16+12x-x3),V'=(12-3x2).
令V'=0,解得x=2或x=-2(不合题意,舍去).当10;当2 答案:D
8.已知圆柱的表面积为定值S,当圆柱的体积最大时,圆柱的高h为.
解析:设圆柱的底面半径为r,
所以S=2πr2+2πrh,所以h=,圆柱的体积V(r)=πr2h=.
V'(r)=,令V'(r)=0,得S=6πr2,r=(负值舍去),所以h=2r=2=.
因为在定义域内只有一个极值点,所以当h=时圆柱的体积最大.
9.已知函数f(x)=ex+3ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
解:(1)因为f(x)=ex+3ax,x∈R,
所以f'(x)=ex+3a.
①当a≥0时,f'(x)>0,故f(x)在R上单调递增;
②当a<0时,令f'(x)=0,解得x=ln(-3a).
所以x∈(-∞,ln(-3a))时,f'(x)<0,f(x)单调递减;x∈(ln(-3a),+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增.
当a<0时,f(x)在区间(-∞,ln(-3a))上单调递减,f(x)在区间(ln(-3a),+∞)上单调递增.
(2)由题意,知ex+3ax≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a≥-在区间(0,+∞)上恒成立,
所以a≥(x>0).
设g(x)=-,则g'(x)=.
当00,g(x)单调递增;
当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
故g(x)max=g(1)=-,
所以a≥-.
10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,两桥墩相距m m,后期需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x m的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y万元.
(1)试写出y关于x的函数解析式;
(2)当m=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
解:(1)设需要新建n个桥墩,则(n+1)x=m,
即n=-1(n∈N*).
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x
=256+(2+)m
=+m+2m-256(0 (2)由(1),知f'(x)=-+m=(-512).
令f'(x)=0,得=512,
所以x=64.
当0 当640,故函数f(x)在区间(64,640]上单调递增.
所以函数f(x)在x=64处取得最小值,
此时n=-1=-1=9.
故当m=640时,需新建9个桥墩才能使y最小.
C级　挑战创新
11.多空题某车间要靠墙壁盖一间底面为矩形的小屋,现有的砖只够砌20 m长的墙壁,则应围成长为 10 m,宽为 5 m的矩形才能使小屋面积最大.
解析:设长为x m,宽为y m,则x+2y=20,y=10-.
矩形面积S=xy=x=10x-(0 令S'=0,得x=10.当00,S单调递增;当10 12.多空题要做一个底面为矩形的带盖的长方体箱子,其体积为72 m3,底面两邻边的边长之比为1∶2,则当它的长为6 m,高为4 m时,表面积最小.
解析:设底面两邻边的边长分别为x m,2x m,则高h==(m).
所以表面积S=4x2+2(x+2x)·=4x2+(x>0).
所以S'=8x-=.
令S'=0,解得x=3,则S在区间(0,+∞)上的唯一的极值点为x=3,所以当x=3时,S取得极小值,且是S的最小值,即当长为6 m,高为4 m时,箱子的表面积最小.