高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用当堂达标检测题

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5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性
A级　基础巩固
1.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则导数f'(x)的图象可能是(　　)

解析:f'(x)=2x+b.因为函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,所以x=->0,所以b<0.所以f'(x)的图象可能为选项A中的图象.
答案:A
2.若函数f(x)=sin x-x,则函数f(x)在区间(0,π)内的单调递增区间为(　　)
A.　　　B.C. D.
答案:D
3.若函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则(　　)
A.a≤0 B.a<1C.a<2 D.a≤
解析:由题意可知f'(x)≤0在R上恒成立,即3ax2-1≤0恒成立,显然选项B,C,D都不能使3ax2-1≤0恒成立.
答案:A
4.函数f(x)=xln x的单调递减区间为.
5.函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,则实数a的取值范围是a≥.
解析:由题意,知f'(x)=3ax2-2x+1≥0在R上恒成立,
所以解得a≥.
6.判断函数y=ax3-1(a∈R)在R上的单调性.
解:由题意,知y'=3ax2,x2≥0.
当a>0时,y'≥0,函数y在R上单调递增;
当a<0时,y'≤0,函数y在R上单调递减;
当a=0时,y'=0,函数y在R上不具备单调性.
B级　拓展提高
7.设函数F(x)=是定义在R上的函数,其中f(x)的导函数f'(x)满足f'(x) A.f(2)>e2f(0),f(821)>e821f(0)
B.f(2)e821f(0)
C.f(2) D.f(2)>e2f(0),f(821) 解析:因为F(x)=,f'(x) 所以F'(x)==<0,
所以F(x)是定义在R上的减函数,
所以F(2) 同理可得f(821) 答案:C
8.函数f(x)=2x-ln x的单调递增区间是.
解析:由题意,得f'(x)=2-=,f(x)=2x-ln x的定义域是{x|x>0}.令f'(x)≥0,即≥0,解得x≥或x<0(舍去).故答案为.
9.已知函数f(x)=ln x-x2-x,求f(x)的单调区间.
解:根据题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-x-=.
令f'(x)>0,即>0,解得0 令f'(x)<0,即<0,解得x>1.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
10.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=x(1-ln x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的正数,且bln a-aln b=a-b,证明: 2<+ (1)解:由题可知函数的定义域为(0,+∞),
又f'(x)=1-ln x-1=-ln x,
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,故f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)证明:因为bln a-aln b=a-b,
所以b(ln a+1)=a(ln b+1),即=,
故f=f.
设=x1,=x2,由f(x)的单调性可知x1,x2一定是一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞),不妨设01.
因为x∈(0,1)时,f(x)=x(1-ln x)>0,x∈(e,+∞)时, f(x)=x(1-ln x)<0,所以1 先证x1+x2>2,
若x2≥2,x1+x2>2必成立.
若x2<2,要证x1+x2>2,即证x1>2-x2,而0<2-x2<1,
故即证f(x1)>f(2-x2),即证f(x2)>f(2-x2),其中1 设g(x)=f(x)-f(2-x),1 则g'(x)=-ln x-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],
因为1 故-ln[x(2-x)]>0,
所以g'(x)>0,故g(x)在区间(1,2)内为增函数, 所以g(x)>g(1)=0,
故f(x)>f(2-x),即f(x2)>f(2-x2)成立,所以x1+x2>2成立.
再证x1+x2 设x2=tx1,则t>1,
因为f=f,即f(x1)=f(x2),x1(1-ln x1)=x2(1-ln x2),
所以1-ln x1=t(1-ln t-ln x1),故ln x1=.
要证x1+x2 即证ln(t+1)+<1,
即证(t-1)ln(t+1)-tln t<0.
令S(t)=(t-1)ln(t+1)-tln t,t>1,
则S'(t)=ln(t+1)+-1-ln t=ln-.
先证明一个不等式:ln(x+1)≤x.
设u(x)=ln(x+1)-x,则u'(x)=-1=.
当-10;
当x>0时,u'(x)<0.
故u(x)在区间(-1,0)内单调递增,在区间(0, +∞)上单调递减,故u(x)max=u(0)=0,
故ln(x+1)≤x成立.
由上述不等式可得当t>1时,ln≤<,故S'(t)<0恒成立,
故S(t)在区间(1,+∞)上为减函数,
故S(t) 故(t-1)ln(t+1)-tln t<0成立,即x1+x2 综上所述,2<+ C级　挑战创新
11.多选题若关于x的不等式x2+mx-2>0在区间[1,2]上有解,则实数m的取值可以是(　　)
A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2
解析:因为关于x的不等式x2+mx-2>0在区间[1,2]上有解,所以mx>2-x2在区间[1,2]上有解,即m>-x在区间[1,2]上成立.设函数f(x)=-x,x∈[1,2],所以f'(x)=--1<0,所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,且f(x)的值域为[-1,1].要使m>-x在区间[1,2]上有解,则m>-1,即实数m的取值范围是(-1,+∞).
答案:BCD
12.多选题已知定义在R上的函数f(x),其导数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-4,f(0)=5,则下列选项中x的取值能够使不等式f(x)>ex+4成立的是(　　)
A.-1 B.0 C.-2 D.-5
解析:构造函数g(x)=-,
则g(0)=1,g'(x) =+=<0,
所以g(x)在R上为减函数.
因为不等式f(x)>ex+4等价于->1,
即g(x)>g(0),所以x<0.
答案:ACD
13.多空题若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内单调递增,则k的取值范围是(-∞,3];若函数f(x)在区间(-3,-1)内不单调,则k的取值范围是(3,27).
解析:若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内单调递增,则f'(x)=3x2-k≥0在区间(-3,-1)内恒成立,即k≤3x2在区间(-3,-1)内恒成立.
因为3x2∈(3,27),所以k≤3,所以k的取值范围是(-∞,3].
若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内不单调,
则f'(x)=0在区间(-3,-1)内有根.
所以f'(x)=3x2-k=0在区间(-3,-1)内有根,
即k=3x2在区间(-3,-1)内有解.
因为3x2∈(3,27),
所以k的取值范围是(3,27).