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初中数学北师大版九年级下册2 圆的对称性优秀练习
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这是一份初中数学北师大版九年级下册2 圆的对称性优秀练习，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.2 圆的对称性（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•邢台期中）如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD
C． D．O到AB、CD的距离相等
2．（2022秋•平湖市期中）如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
3．（2022秋•南开区期中）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．78° B．68° C．58° D．56°
4．（2022秋•玄武区期中）如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．25° C．10° D．20°
6．（2021秋•顺平县期末）下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的线段是直径
B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧
D．相等的圆心角所对的弧相等
7．（2022秋•冠县期中）在⊙O中，满足弧CD＝2弧AB，则下列说法正确的是（ ）
A．CD＞2AB B．CD＜2AB C．CD＝2AB D．无法确定
8．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋•溧水区期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋•海州区校级月考）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题。
11．（2022秋•新北区校级月考）如图，在同圆中，若∠AOC＝2∠BOD，则AC 2BD．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．（2022秋•江宁区月考）若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是 ．
13．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 ．
14．（2022•江阴市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为 ，AE的最小值为 ．
15．（2022•成都模拟）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，BD是⊙O的直径，＝，若四边形ABCD的面积是10，则线段AC的长为 ．
16．（2022秋•海淀区校级期中）如图，BD是⊙O的直径，C是的中点，若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数为 ．
17．（2022•费县一模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点P的坐标为 ．
18．（2022秋•萧山区期中）如图，在半圆O中半径为，＝，＝，BM与AN交于点D，
（1）∠ADM＝ ；
（2）当点D恰好为BM的中点时，AM＝ ．
三、解答题。
19．（2022秋•垦利区期中）如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．
20．（2022秋•涟水县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求弧DE的度数．
21．（2021秋•藤县期末）如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．
22．（2022秋•桐庐县期中）如图，AB为⊙O的直径，半径OC∥弦BD，判断与是否相等，并说明理由．
23．（2022秋•南京期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE．
24．（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：．
25．（2022•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）当DC＝时，求⊙O的半径．
26．（2022秋•靖江市期中）如图，在⊙O中，AB为直径，延长AB至点P，C是⊙O上一点，连接PC并延长交⊙O于点D．
（1）若：：＝1：2：3，⊙O的半径为2，求弦CD的长；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝4，∠AOD＝90°，求弦CD的长．
专题3.2 圆的对称性（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•邢台期中）如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD
C． D．O到AB、CD的距离相等
【答案】A。
【解答】解：∵AB＝DC，
∴弧AB＝弧DC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴O到AB、CD的距离相等，
所以B、C、D选项正确，
故选：A．
2．（2022秋•平湖市期中）如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【答案】B。
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵D是的中点，
∴∠DAC＝∠ABC＝35°．
故选：B．
3．（2022秋•南开区期中）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．78° B．68° C．58° D．56°
【答案】A。
【解答】解：∵点D、C是的三等分点，
即＝＝，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣3×34°＝78°．
故选：A．
4．（2022秋•玄武区期中）如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B。
【解答】解：连接CE、DB，如图，
∵AC＝2，AE＝8，
∴CE＞AE﹣AC，即CE＞6，
而AD＝6，
∴AD＜CE，
∴＜，所以①错误；
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∵AE＝BD＝8，
∴＝，所以②正确；
+＝，所以③正确；
∵＝，
∴+＝+＝，所以④正确．
故选：B．
5．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．25° C．10° D．20°
【答案】D。
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝∠AOC＝40°，
∵∠P＝30°，∠ABC＝∠P+∠BCD，
∴∠BCD＝10°，
∴BD所对的圆心角的度数的度数20°．
故选：D．
6．（2021秋•顺平县期末）下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的线段是直径
B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧
D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B。
【解答】解：A．过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故A选项说法错误；
B．面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故B选项说法正确；
C．在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故C选项说法错误；
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项说法错误；
故选：B．
7．（2022秋•冠县期中）在⊙O中，满足弧CD＝2弧AB，则下列说法正确的是（ ）
A．CD＞2AB B．CD＜2AB C．CD＝2AB D．无法确定
【答案】B。
【解答】解：如图，过O点作半径OE⊥CD，则＝，
∵＝2，
∴＝＝，
∴AB＝CE＝DE，
∵CE+DE＞CD，
∴2AB＞CD．
故选：B．
8．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：连接OC，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，
又∠DBC＝∠DCO，
∴△DBC∽△DCO（AA），
∴，
∵BD＝4，CD＝6，
∴＝，
解得：DO＝9，
∴OB＝OD﹣BD＝9﹣4＝5，
∴＝
∴＝，
＝，
故选：B．
9．（2022秋•溧水区期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，连接AC．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ABC＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠E＝90°，AB＝，
∴AE＝EB＝1，
∵BC＝1，
∴EC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝OC＝AC＝．
故选：C．
10．（2022秋•海州区校级月考）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•新北区校级月考）如图，在同圆中，若∠AOC＝2∠BOD，则AC ＜ 2BD．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＜。
【解答】解：如图，以OD为边作∠DOE＝∠BOD，OE与⊙O交于点E，连接AC、BE、BD、ED，
则∠BOE＝2∠BOD，BD＝DE，
∵∠AOC＝2∠BOD，
∴∠AOC＝∠BOE，
∴AC＝BE，
在△BDE中，BE＜BD+ED＝2BD，
∴AC＜2BD，
故答案为：＜．
12．（2022秋•江宁区月考）若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是 144° ．
【答案】144°。
【解答】解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°×＝144°．
故答案为：144°．
13．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 90° ．
【答案】90°。
【解答】解：根据题意得：，
解得，
∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，
故答案为：90°．
14．（2022•江阴市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为 2 ，AE的最小值为 ．
【答案】2，。
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵G是EF的中点，
∴CG＝EF＝2，
点G到圆上的距离始终为2，即点G在以O为圆心，3﹣2＝1为半径的半圆上运动，
∴当AC＝BC时，此时AE＝BF最小，如图，
则CE＝CF，AC＝BC＝，
∴，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
即，
解得：CE＝2，
∴AE＝，
故答案为：2，．
15．（2022•成都模拟）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，BD是⊙O的直径，＝，若四边形ABCD的面积是10，则线段AC的长为 2 ．
【答案】2。
【解答】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴AB＝AD，
∵∠CBD＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，
∴∠CBD+∠ABD＝∠CAD+∠ACD，
即∠ABC＝∠ADE，
作AE⊥AC交CD的延长线于点E，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE，S△ABC＝S△ADE，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC•AE＝AC2＝10，
∴AC＝，
故答案为：2．
16．（2022秋•海淀区校级期中）如图，BD是⊙O的直径，C是的中点，若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数为 40° ．
【答案】40°。
【解答】解：∵C是的中点，
∵＝．
∵∠AOC＝70°，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠AOD+∠AOC+∠BOC＝180°．
∴∠AOD＝40°．
故答案为：40°．
17．（2022•费县一模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点P的坐标为 （2022，0） ．
【答案】（2022，0）。
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC＝BC，
在Rt△AOC中，∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°，OA＝OB＝2米，
∴AC＝×2＝（米），
∴AB＝2（米），
的长为＝π（米），
∴AP＝2×[（π×2022）÷（π）]
＝2×1011
＝2022（米），
∴点P的坐标为（2022，0），
故答案为：（2022，0）．
18．（2022秋•萧山区期中）如图，在半圆O中半径为，＝，＝，BM与AN交于点D，
（1）∠ADM＝ 60° ；
（2）当点D恰好为BM的中点时，AM＝ 2 ．
【答案】2。
【解答】解：（1）∵＝，＝，
∴+＝+＝（+）＝，
∴＝，
∴∠MAN＝30°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠M＝90°，
∴∠ADM＝60°；
故答案为：60°；
（2）设MD＝x，
∵点D恰好为BM的中点，
∴MB＝2MD＝2x，
在Rt△AMD中，∠MAD＝30°，
∴AM＝MD＝x，
在Rt△AMB中，根据勾股定理得，
AM2+MB2＝AB2，
即（x）2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2（舍去x＝﹣2），
∴AM＝x＝2．
故答案为：2．
三、解答题。
19．（2022秋•垦利区期中）如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．
【解答】解：∵CD＝OA＝OD，∠C＝23°，
∴∠ODE＝2∠C＝46°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝46°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝46°+23°＝69°．
20．（2022秋•涟水县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求弧DE的度数．
【解答】解：连接BE，如图，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠C＝70°，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠ABE＝70°﹣40°＝30°，
∴弧DE的度数为30°．
21．（2021秋•藤县期末）如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．
【解答】证明：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE，
∵OC＝OC，
∴Rt△COD≌Rt△COE（HL），
∴OD＝OE，
∵OA＝OB，
∴OA﹣OD＝OB﹣OE，
∴AD＝BE．
22．（2022秋•桐庐县期中）如图，AB为⊙O的直径，半径OC∥弦BD，判断与是否相等，并说明理由．
【解答】解：相等，
理由：如图，连接OD，
∵OC∥BD，
∴∠AOC＝∠B，∠COD＝∠D，
∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴＝．
23．（2022秋•南京期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE．
【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AE＝CE．
24．（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：．
【解答】证明：∵圆心角∠BOE＝圆心角∠AOD，
∴＝，
∵BE＝CE，
＝，
∴＝．
25．（2022•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）当DC＝时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵所对圆心角为90°，
∴∠DBC＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝45°，
∴∠CEB＝∠DBC，
∴BC＝CE；
（2）解：∵∠ECB＝90°，CE＝CB，
∴△CEB是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∵∠DCE＝∠ABE，∠CDE＝∠BAE，
∴△DCE∽△ABE，
∴，
∵DC＝，
∴，
∴AB＝2，
∴⊙O的半径为1．
解法二：连接OD，OC，则OD＝OC．又∵弧DC所对的圆心角为90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵DC＝，
∴OD＝OC＝1，即⊙O的半径为1．
26．（2022秋•靖江市期中）如图，在⊙O中，AB为直径，延长AB至点P，C是⊙O上一点，连接PC并延长交⊙O于点D．
（1）若：：＝1：2：3，⊙O的半径为2，求弦CD的长；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝4，∠AOD＝90°，求弦CD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，：：＝1：2：3，
∴∠BOC＝180°×＝30°，
∠COD＝180°×＝60°，
∠AOD＝180°×＝90°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是正三角形，
∴CD＝OC＝OD＝2；
（2）如图，过点O作OE⊥CD，垂直为E，则CE＝DE＝CD，
∵∠AOD＝90°＝∠POD，OD＝3，OP＝4，
∴PD＝＝5，
∵＝cos∠ODE＝，
∴＝，
解得DE＝，
∴CD＝2DE＝．
专题3.2 圆的对称性（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•邢台期中）如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD
C． D．O到AB、CD的距离相等
2．（2022秋•平湖市期中）如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
3．（2022秋•南开区期中）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．78° B．68° C．58° D．56°
4．（2022秋•玄武区期中）如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．25° C．10° D．20°
6．（2021秋•顺平县期末）下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的线段是直径
B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧
D．相等的圆心角所对的弧相等
7．（2022秋•冠县期中）在⊙O中，满足弧CD＝2弧AB，则下列说法正确的是（ ）
A．CD＞2AB B．CD＜2AB C．CD＝2AB D．无法确定
8．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋•溧水区期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋•海州区校级月考）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题。
11．（2022秋•新北区校级月考）如图，在同圆中，若∠AOC＝2∠BOD，则AC 2BD．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．（2022秋•江宁区月考）若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是 ．
13．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 ．
14．（2022•江阴市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为 ，AE的最小值为 ．
15．（2022•成都模拟）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，BD是⊙O的直径，＝，若四边形ABCD的面积是10，则线段AC的长为 ．
16．（2022秋•海淀区校级期中）如图，BD是⊙O的直径，C是的中点，若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数为 ．
17．（2022•费县一模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点P的坐标为 ．
18．（2022秋•萧山区期中）如图，在半圆O中半径为，＝，＝，BM与AN交于点D，
（1）∠ADM＝ ；
（2）当点D恰好为BM的中点时，AM＝ ．
三、解答题。
19．（2022秋•垦利区期中）如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．
20．（2022秋•涟水县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求弧DE的度数．
21．（2021秋•藤县期末）如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．
22．（2022秋•桐庐县期中）如图，AB为⊙O的直径，半径OC∥弦BD，判断与是否相等，并说明理由．
23．（2022秋•南京期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE．
24．（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：．
25．（2022•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）当DC＝时，求⊙O的半径．
26．（2022秋•靖江市期中）如图，在⊙O中，AB为直径，延长AB至点P，C是⊙O上一点，连接PC并延长交⊙O于点D．
（1）若：：＝1：2：3，⊙O的半径为2，求弦CD的长；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝4，∠AOD＝90°，求弦CD的长．
专题3.2 圆的对称性（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•邢台期中）如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD
C． D．O到AB、CD的距离相等
【答案】A。
【解答】解：∵AB＝DC，
∴弧AB＝弧DC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴O到AB、CD的距离相等，
所以B、C、D选项正确，
故选：A．
2．（2022秋•平湖市期中）如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【答案】B。
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠BAC＝20°，
∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵D是的中点，
∴∠DAC＝∠ABC＝35°．
故选：B．
3．（2022秋•南开区期中）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（ ）
A．78° B．68° C．58° D．56°
【答案】A。
【解答】解：∵点D、C是的三等分点，
即＝＝，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣3×34°＝78°．
故选：A．
4．（2022秋•玄武区期中）如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B。
【解答】解：连接CE、DB，如图，
∵AC＝2，AE＝8，
∴CE＞AE﹣AC，即CE＞6，
而AD＝6，
∴AD＜CE，
∴＜，所以①错误；
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∵AE＝BD＝8，
∴＝，所以②正确；
+＝，所以③正确；
∵＝，
∴+＝+＝，所以④正确．
故选：B．
5．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．25° C．10° D．20°
【答案】D。
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝∠AOC＝40°，
∵∠P＝30°，∠ABC＝∠P+∠BCD，
∴∠BCD＝10°，
∴BD所对的圆心角的度数的度数20°．
故选：D．
6．（2021秋•顺平县期末）下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的线段是直径
B．面积相等的圆是等圆
C．两个半圆是等弧
D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B。
【解答】解：A．过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故A选项说法错误；
B．面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故B选项说法正确；
C．在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故C选项说法错误；
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项说法错误；
故选：B．
7．（2022秋•冠县期中）在⊙O中，满足弧CD＝2弧AB，则下列说法正确的是（ ）
A．CD＞2AB B．CD＜2AB C．CD＝2AB D．无法确定
【答案】B。
【解答】解：如图，过O点作半径OE⊥CD，则＝，
∵＝2，
∴＝＝，
∴AB＝CE＝DE，
∵CE+DE＞CD，
∴2AB＞CD．
故选：B．
8．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在扇形OAB中，点C为弧AB的中点，延长AC交OB的延长线于点D，连接BC，若BD＝4，CD＝6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：连接OC，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，OA＝OC＝OB，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠OBC＝∠OCA＝∠OCB，
又∠DBC＝∠DCO，
∴△DBC∽△DCO（AA），
∴，
∵BD＝4，CD＝6，
∴＝，
解得：DO＝9，
∴OB＝OD﹣BD＝9﹣4＝5，
∴＝
∴＝，
＝，
故选：B．
9．（2022秋•溧水区期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，连接AC．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ABC＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠ABE＝45°，
∵∠E＝90°，AB＝，
∴AE＝EB＝1，
∵BC＝1，
∴EC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝OC＝AC＝．
故选：C．
10．（2022秋•海州区校级月考）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•新北区校级月考）如图，在同圆中，若∠AOC＝2∠BOD，则AC ＜ 2BD．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＜。
【解答】解：如图，以OD为边作∠DOE＝∠BOD，OE与⊙O交于点E，连接AC、BE、BD、ED，
则∠BOE＝2∠BOD，BD＝DE，
∵∠AOC＝2∠BOD，
∴∠AOC＝∠BOE，
∴AC＝BE，
在△BDE中，BE＜BD+ED＝2BD，
∴AC＜2BD，
故答案为：＜．
12．（2022秋•江宁区月考）若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是 144° ．
【答案】144°。
【解答】解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°×＝144°．
故答案为：144°．
13．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 90° ．
【答案】90°。
【解答】解：根据题意得：，
解得，
∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，
故答案为：90°．
14．（2022•江阴市模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的点，点E、F分别在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中点G，连接CG，则CG的长为 2 ，AE的最小值为 ．
【答案】2，。
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵G是EF的中点，
∴CG＝EF＝2，
点G到圆上的距离始终为2，即点G在以O为圆心，3﹣2＝1为半径的半圆上运动，
∴当AC＝BC时，此时AE＝BF最小，如图，
则CE＝CF，AC＝BC＝，
∴，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
即，
解得：CE＝2，
∴AE＝，
故答案为：2，．
15．（2022•成都模拟）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，BD是⊙O的直径，＝，若四边形ABCD的面积是10，则线段AC的长为 2 ．
【答案】2。
【解答】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴AB＝AD，
∵∠CBD＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，
∴∠CBD+∠ABD＝∠CAD+∠ACD，
即∠ABC＝∠ADE，
作AE⊥AC交CD的延长线于点E，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE，S△ABC＝S△ADE，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC•AE＝AC2＝10，
∴AC＝，
故答案为：2．
16．（2022秋•海淀区校级期中）如图，BD是⊙O的直径，C是的中点，若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数为 40° ．
【答案】40°。
【解答】解：∵C是的中点，
∵＝．
∵∠AOC＝70°，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠AOD+∠AOC+∠BOC＝180°．
∴∠AOD＝40°．
故答案为：40°．
17．（2022•费县一模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2022秒时点P的坐标为 （2022，0） ．
【答案】（2022，0）。
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC＝BC，
在Rt△AOC中，∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°，OA＝OB＝2米，
∴AC＝×2＝（米），
∴AB＝2（米），
的长为＝π（米），
∴AP＝2×[（π×2022）÷（π）]
＝2×1011
＝2022（米），
∴点P的坐标为（2022，0），
故答案为：（2022，0）．
18．（2022秋•萧山区期中）如图，在半圆O中半径为，＝，＝，BM与AN交于点D，
（1）∠ADM＝ 60° ；
（2）当点D恰好为BM的中点时，AM＝ 2 ．
【答案】2。
【解答】解：（1）∵＝，＝，
∴+＝+＝（+）＝，
∴＝，
∴∠MAN＝30°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠M＝90°，
∴∠ADM＝60°；
故答案为：60°；
（2）设MD＝x，
∵点D恰好为BM的中点，
∴MB＝2MD＝2x，
在Rt△AMD中，∠MAD＝30°，
∴AM＝MD＝x，
在Rt△AMB中，根据勾股定理得，
AM2+MB2＝AB2，
即（x）2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2（舍去x＝﹣2），
∴AM＝x＝2．
故答案为：2．
三、解答题。
19．（2022秋•垦利区期中）如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．
【解答】解：∵CD＝OA＝OD，∠C＝23°，
∴∠ODE＝2∠C＝46°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝46°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝46°+23°＝69°．
20．（2022秋•涟水县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求弧DE的度数．
【解答】解：连接BE，如图，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠C＝70°，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠ABE＝70°﹣40°＝30°，
∴弧DE的度数为30°．
21．（2021秋•藤县期末）如图，OA，OB，OC是⊙O的半径，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．
【解答】证明：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE，
∵OC＝OC，
∴Rt△COD≌Rt△COE（HL），
∴OD＝OE，
∵OA＝OB，
∴OA﹣OD＝OB﹣OE，
∴AD＝BE．
22．（2022秋•桐庐县期中）如图，AB为⊙O的直径，半径OC∥弦BD，判断与是否相等，并说明理由．
【解答】解：相等，
理由：如图，连接OD，
∵OC∥BD，
∴∠AOC＝∠B，∠COD＝∠D，
∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴＝．
23．（2022秋•南京期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，AB＝CD，求证：AE＝CE．
【解答】证明：如图，连接AC，AD，BC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AE＝CE．
24．（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．
求证：．
【解答】证明：∵圆心角∠BOE＝圆心角∠AOD，
∴＝，
∵BE＝CE，
＝，
∴＝．
25．（2022•合肥模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，所对圆心角为90°，连接AC，BD交于点E．
（1）求证：BC＝CE；
（2）当DC＝时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵所对圆心角为90°，
∴∠DBC＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＝45°，
∴∠CEB＝∠DBC，
∴BC＝CE；
（2）解：∵∠ECB＝90°，CE＝CB，
∴△CEB是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∵∠DCE＝∠ABE，∠CDE＝∠BAE，
∴△DCE∽△ABE，
∴，
∵DC＝，
∴，
∴AB＝2，
∴⊙O的半径为1．
解法二：连接OD，OC，则OD＝OC．又∵弧DC所对的圆心角为90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵DC＝，
∴OD＝OC＝1，即⊙O的半径为1．
26．（2022秋•靖江市期中）如图，在⊙O中，AB为直径，延长AB至点P，C是⊙O上一点，连接PC并延长交⊙O于点D．
（1）若：：＝1：2：3，⊙O的半径为2，求弦CD的长；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝4，∠AOD＝90°，求弦CD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，：：＝1：2：3，
∴∠BOC＝180°×＝30°，
∠COD＝180°×＝60°，
∠AOD＝180°×＝90°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是正三角形，
∴CD＝OC＝OD＝2；
（2）如图，过点O作OE⊥CD，垂直为E，则CE＝DE＝CD，
∵∠AOD＝90°＝∠POD，OD＝3，OP＝4，
∴PD＝＝5，
∵＝cos∠ODE＝，
∴＝，
解得DE＝，
∴CD＝2DE＝．
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