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数学九年级下册第三章 圆9 弧长及扇形的面积精品巩固练习
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这是一份数学九年级下册第三章 圆9 弧长及扇形的面积精品巩固练习，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.9 弧长及扇形的面积（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（ ）
A． B．10π C． D．12π
2．（2022•平原县模拟）如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（ ）
A． B．6π C． D．
3．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
4．（2021秋•顺平县期末）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π B． C． D．
5．（2022秋•福清市期中）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，∠ABC＝60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．9﹣3π B． C． D．
6．（2022秋•邗江区期中）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（ ）
A．已知△ABC的三条中位线的长度
B．已知△ABC的面积
C．已知AB，AC的长度及∠ACB＝30°
D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和
7．（2022秋•余杭区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝12，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣12π B．36﹣6π C．36﹣12π D．18﹣6π
8．（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春•江岸区校级月考）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC＝105°，，延长EC至点A，连接DA，设∠A＝α，则α所在范围可能是（ ）
A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22°
10．（2022•虞城县一模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O'C∥OA时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．﹣ D．
二、填空题。
11．（2022秋•瑞安市月考）已知圆的半径为9cm，圆弧的度数为120°，则弧长为 cm．
12．（2022秋•连云港期中）如图，半径为30cm的转动轮转过60°时，传送带上的物体A平移的距离为 cm．
13．（2022秋•长沙期中）明德洞井中学，龙舞腾盛世，强健学生体魄，传承中华传统龙狮文化．在训练中，龙的尾部，由四个同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为120°．则整条龙的长是 米．
14．（2021秋•钟山区期末）如图，在边长为10的菱形ABCD中，分别以点A、B、C、D为圆心，以AB为半径画弧，与菱形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（2022秋•安徽期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，CD为⊙O的直径，则劣弧EC长为 ．
16．（2022秋•中山区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AD，BC于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝50°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
17．（2021秋•凤山县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
18．（2022秋•渝中区校级期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝8．以点A为圆心，AD长为半径画弧，此弧恰好经过点O，并与AB交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题。
19．（2021秋•兴化市期中）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝2cm，AC＝4cm，∠ABD＝45°．
（1）求弦BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
20．（2021秋•石家庄期中）如图，AB为⊙O直径，AB＝6，点C，D（异于A，B两点）在⊙O上，且AD平分∠BAC，交BC于点E，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
21．（2021秋•上虞区期末）如图，已知BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，A是弧BE的中点，BE分别交AD，AC于点F，G．
（1）求证：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
22．（2022秋•拱墅区期中）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC＝6．DE＝3．
求：（1）⊙O的半径；
（2）阴影部分的面积．（结果保留π）
23．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝26，以腰AB为直径作半圆，分别交BC、AC于点D、E．
（1）若∠BAC＝50°，求弧BE的长．
（2）连结DE，求证：BD＝DE．
24．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C＝75°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若直径AB＝8，求阴影部分的面积．
25．（2022秋•西湖区校级期中）如图①，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，AB＝CD，设⊙O的半径为r．
（1）求证：DM＝BM；
（2）若∠DMB＝100°，r＝1，求的长；
（3）如图②，若AB⊥CD，＝120°，设MB＝a，求证：．
26．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
专题3.9 弧长及扇形的面积（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（ ）
A． B．10π C． D．12π
【答案】C。
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝100°，
∴弧AC的长为：＝，
故选：C．
2．（2022•平原县模拟）如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（ ）
A． B．6π C． D．
【答案】C。
【解答】解：如图，作EF⊥AB于点F，
∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°，
∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°，
∴EF＝BE＝1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE
＝﹣×2×﹣×1
＝4π﹣2﹣2．
故选：C．
3．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【答案】D。
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
4．（2021秋•顺平县期末）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣．
故选：C．
5．（2022秋•福清市期中）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，∠ABC＝60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．9﹣3π B． C． D．
【答案】D。
【解答】解：连接AD，
∵AB＝BD＝3，∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝3，∠ADB＝60°，
∵BC＝6，
∴CD＝3，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠C+∠CAD＝∠ADB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝3，
∴图中阴影部分的面积＝AB•AC﹣＝3×﹣＝﹣，
故选：D．
6．（2022秋•邗江区期中）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（ ）
A．已知△ABC的三条中位线的长度
B．已知△ABC的面积
C．已知AB，AC的长度及∠ACB＝30°
D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和
【答案】D。
【解答】解：∵S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2），
∴S1＝2S△ABC+S2，
∴S1﹣S2＝2S△ABC．
A：若已知△ABC的三条中位线的长度，即可得到△ABC三边的长度，再根据海伦公式S＝（a，b，c是三角形的三边，p＝（a+b+c）），据此求得三角形的面积，即可得到S1﹣S2的值，故A选项不符合题意；B：已知△ABC的面积，代入S1﹣S2＝2S△ABC即可求得，故B选项不符合题意；
C：如解图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AD＝AC•sin∠ACB＝AC，
在△ADC和△ADB中，
∴CD＝AC，BD＝＝，
∴S△ABC＝•AD•（BD+CD），据此即可求得S1﹣S2的值，故C选项不符合题意；
D：∵已知AB，AC两边长度和，
∴AB，AC的长度不确定，
∴△ABC的面积也不确定，
∴不一定能求出S1﹣S2的值，故D选项符合题意；
故选：D．
7．（2022秋•余杭区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝12，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣12π B．36﹣6π C．36﹣12π D．18﹣6π
【答案】C。
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝12，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝6＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝6，
∴S△AEB＝S△AEC＝×12×6×＝18＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝18+18﹣＝36﹣12π，
故选：C．
8．（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵D为BC的中点，
∴AD＝BD＝CD＝BC＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，DE＝AC＝4，DF＝AB＝3，
∴AF＝DE，AE＝DF，∠MDN＝90°，
∵DE+DM＝DF+FN＝AD，
∴阴影部分的面积为2AD+＝10+，
故选：C．
9．（2022春•江岸区校级月考）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC＝105°，，延长EC至点A，连接DA，设∠A＝α，则α所在范围可能是（ ）
A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22°
【答案】A。
【解答】解：如图，连接OB，OC，OD，OE，DC，
∵弧BC＝4倍的弧DE，
∴∠BOC＝4∠DOE，
∵∠BOC＝2∠BDC，∠DOE＝2∠DCE，
∴∠BDC＝4∠DCE，
∵∠DFC＝105°，
∴∠BDC+∠DCE＝75°，
∴∠DCE＝15°，
∴∠A＜15°，
∴只有A选项符合题意，
故选：A．
10．（2022•虞城县一模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O'C∥OA时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．﹣ D．
【答案】D。
【解答】解：连接OO′，
∵O'C∥OA，∠AOB＝120°，
∴∠OCO′＝60°，
∵C是OB的中点，
∴OC＝CB＝CO′＝1，
∴△OCO′是等边三角形，
∴∠OO′C＝∠COO′＝60°，∠CBO′＝∠CO′B＝30°，
∴∠OO′B＝∠A′O′B＝90°，
∴O，O′，A′三点共线，BO′＝，
阴影部分的面积为S扇形BOD﹣S△OBO′＝﹣
＝﹣．
故选：D．
二、填空题。
11．（2022秋•瑞安市月考）已知圆的半径为9cm，圆弧的度数为120°，则弧长为 6π cm．
【答案】6π。
【解答】解：扇形的弧长＝＝6π（cm），
故答案为：6π．
12．（2022秋•连云港期中）如图，半径为30cm的转动轮转过60°时，传送带上的物体A平移的距离为 10π cm．
【答案】10π。
【解答】解：＝10π（cm）．
故答案为：10π．
13．（2022秋•长沙期中）明德洞井中学，龙舞腾盛世，强健学生体魄，传承中华传统龙狮文化．在训练中，龙的尾部，由四个同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为120°．则整条龙的长是 米．
【答案】。
【解答】解：∵弧长为＝（米），
∴整条龙的长是2×＝（米）．
故答案为：．
14．（2021秋•钟山区期末）如图，在边长为10的菱形ABCD中，分别以点A、B、C、D为圆心，以AB为半径画弧，与菱形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积是 25π ．
【答案】25π。
【解答】解：∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°，
∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆，
∴图中阴影部分的面积＝52•π＝25π，
故答案为：25π．
15．（2022秋•安徽期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，CD为⊙O的直径，则劣弧EC长为 ．
【答案】。
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝120°，AB＝8，
∴∠D＝180°﹣∠A＝60°，CD＝AB＝8，
连接OE，
∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝CD＝4，
∴劣弧EC长为＝，
故答案为：．
16．（2022秋•中山区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AD，BC于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝50°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】π。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD，AB∥CD，
∴OA＝OC＝2，∠DAC＝∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∴图中阴影部分的面积为：2×＝π，
故答案为：π．
17．（2021秋•凤山县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【答案】﹣。
【解答】解：连接PB，PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝BC＝，PF＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×1×）]×2
＝﹣，
故答案为：﹣．
18．（2022秋•渝中区校级期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝8．以点A为圆心，AD长为半径画弧，此弧恰好经过点O，并与AB交于点E，则图中阴影部分的面积为 32﹣ ．
【答案】32﹣。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝BD，OA＝AC，
∴OD＝OA，
∵AD＝OA，
∴AD＝OD＝OA，
∴△ADO是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DAO＝60°，
∵∠BAD＝90°，AD＝8，
∴∠ABD＝30°，AB＝CD＝8，
∴S阴＝S△ACD﹣S扇形AOD+S扇形AOE＝AD•CD﹣+＝×8×8﹣+＝32﹣，
故答案为：32﹣．
三、解答题。
19．（2021秋•兴化市期中）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝2cm，AC＝4cm，∠ABD＝45°．
（1）求弦BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝2cm，AC＝4cm，
∴AB＝＝＝2cm，
∴OB＝cm，
连OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴BD＝＝cm．
（2）S阴影＝﹣
＝π﹣（cm2），
答：图中阴影部分的面积为（π﹣）cm2．
20．（2021秋•石家庄期中）如图，AB为⊙O直径，AB＝6，点C，D（异于A，B两点）在⊙O上，且AD平分∠BAC，交BC于点E，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
【解答】（1）证明：如图：
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵∠ABD＝∠ABC+∠3，∠BED＝∠ABC+∠2，
∴∠ABD＝∠BED．
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°，
∴∠BOD＝2∠2＝70°，
∴弧BD的长＝＝π．
21．（2021秋•上虞区期末）如图，已知BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，A是弧BE的中点，BE分别交AD，AC于点F，G．
（1）求证：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
【解答】（1）证明：∵A是弧BE的中点，
∴在⊙O中有∠ABE＝∠C．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠C，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴FA＝FB．
（2）连结AO，OE．
∵AD⊥BC，BD＝DO＝2，
∴△ABO是等边三角形．
又∵A是弧BE的中点，
∴∠AOB＝∠AOE＝60°，从而∠EOC＝60°．
∴弧EC的长＝．
22．（2022秋•拱墅区期中）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC＝6．DE＝3．
求：（1）⊙O的半径；
（2）阴影部分的面积．（结果保留π）
【解答】解：（1）设⊙O的半径是r，
∵半径OD⊥BC，
∴CE＝BC＝3，
∵OC2＝CE2+OE2，
∴r2＝（r﹣3）2+，
∴r＝6，
∴⊙O的半径是6；
（2））∵∠CEO＝90°，CO＝2OE，
∴∠ECO＝30°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝60°．
∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形ACO﹣S△AOC＝﹣×6×6×＝6π﹣9．
∴阴影部分的面积是6π﹣9．
23．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝26，以腰AB为直径作半圆，分别交BC、AC于点D、E．
（1）若∠BAC＝50°，求弧BE的长．
（2）连结DE，求证：BD＝DE．
【解答】（1）解：连接OE，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BOE＝100°，
∵AB＝26，
∴OB＝13，
∴弧BE的长为：＝π．
（2）证明：连接AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴＝，
∴BD＝DE．
24．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C＝75°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若直径AB＝8，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接EO．
∵E是的中点，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠C+∠DAE＝90°，∠B+∠EAB＝90°，
∴∠C＝∠B＝75°，
∴AC＝AB，
∴EC＝EB，
∵AO＝OB，
∴∠EOB＝∠CBA＝180°﹣2×75°＝30°；
（2）连接OD，过点O作OT⊥AD于点T，过点E作EJ⊥OB于点J，
∵OT⊥AD，OT经过圆心O，
∴AT＝TD＝AO•cos30°＝2，OT＝OA＝2，
∵EJ⊥OB，
∴EJ＝OE•sin30°＝2，
∴S阴＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形ODE﹣S△OEB
＝2××8×2﹣××2﹣﹣×4×2
＝12﹣4﹣．
25．（2022秋•西湖区校级期中）如图①，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，AB＝CD，设⊙O的半径为r．
（1）求证：DM＝BM；
（2）若∠DMB＝100°，r＝1，求的长；
（3）如图②，若AB⊥CD，＝120°，设MB＝a，求证：．
【解答】（1）证明：如图①，连接BD，
∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠B＝∠D，
∴BM＝DM；
（2）解：∵∠DMB＝100°，∠B＝∠D，
∴∠D＝×（180°﹣100°）＝40°，
∴∠BOC＝2∠D＝80°，
∴的长＝＝；
（3）证明：连接AC，BD，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴AC＝BD，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴AM＝DM，
∵∠AOD＝120°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠BDM＝30°，
∴BD＝2BM＝2a，
∴AM＝DM＝＝a，
∴AD＝＝a，
∵AM＝DM，AO＝DO，
∴MO垂直平分AD，
∴∠AOH＝60°，AH＝AD＝a，
∴AH＝AO＝r，
∴a＝r，
∴＝．
26．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，
∵OH⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，
∴S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH＝×2×2﹣＝2﹣π．
（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，此时PH+PM的值最小．
∵OH＝OM′，
∴∠OHM′＝∠OM′H，
∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，
设OP＝m，则PM＝2m，
∵PM2＝OM2+OP2，
∴4m2＝m2+22，
∴m＝，
∴PD＝OD+OP＝+＝2．
专题3.9 弧长及扇形的面积（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（ ）
A． B．10π C． D．12π
2．（2022•平原县模拟）如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（ ）
A． B．6π C． D．
3．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
4．（2021秋•顺平县期末）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π B． C． D．
5．（2022秋•福清市期中）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，∠ABC＝60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．9﹣3π B． C． D．
6．（2022秋•邗江区期中）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（ ）
A．已知△ABC的三条中位线的长度
B．已知△ABC的面积
C．已知AB，AC的长度及∠ACB＝30°
D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和
7．（2022秋•余杭区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝12，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣12π B．36﹣6π C．36﹣12π D．18﹣6π
8．（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春•江岸区校级月考）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC＝105°，，延长EC至点A，连接DA，设∠A＝α，则α所在范围可能是（ ）
A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22°
10．（2022•虞城县一模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O'C∥OA时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．﹣ D．
二、填空题。
11．（2022秋•瑞安市月考）已知圆的半径为9cm，圆弧的度数为120°，则弧长为 cm．
12．（2022秋•连云港期中）如图，半径为30cm的转动轮转过60°时，传送带上的物体A平移的距离为 cm．
13．（2022秋•长沙期中）明德洞井中学，龙舞腾盛世，强健学生体魄，传承中华传统龙狮文化．在训练中，龙的尾部，由四个同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为120°．则整条龙的长是 米．
14．（2021秋•钟山区期末）如图，在边长为10的菱形ABCD中，分别以点A、B、C、D为圆心，以AB为半径画弧，与菱形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（2022秋•安徽期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，CD为⊙O的直径，则劣弧EC长为 ．
16．（2022秋•中山区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AD，BC于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝50°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
17．（2021秋•凤山县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
18．（2022秋•渝中区校级期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝8．以点A为圆心，AD长为半径画弧，此弧恰好经过点O，并与AB交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题。
19．（2021秋•兴化市期中）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝2cm，AC＝4cm，∠ABD＝45°．
（1）求弦BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
20．（2021秋•石家庄期中）如图，AB为⊙O直径，AB＝6，点C，D（异于A，B两点）在⊙O上，且AD平分∠BAC，交BC于点E，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
21．（2021秋•上虞区期末）如图，已知BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，A是弧BE的中点，BE分别交AD，AC于点F，G．
（1）求证：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
22．（2022秋•拱墅区期中）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC＝6．DE＝3．
求：（1）⊙O的半径；
（2）阴影部分的面积．（结果保留π）
23．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝26，以腰AB为直径作半圆，分别交BC、AC于点D、E．
（1）若∠BAC＝50°，求弧BE的长．
（2）连结DE，求证：BD＝DE．
24．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C＝75°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若直径AB＝8，求阴影部分的面积．
25．（2022秋•西湖区校级期中）如图①，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，AB＝CD，设⊙O的半径为r．
（1）求证：DM＝BM；
（2）若∠DMB＝100°，r＝1，求的长；
（3）如图②，若AB⊥CD，＝120°，设MB＝a，求证：．
26．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
专题3.9 弧长及扇形的面积（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（ ）
A． B．10π C． D．12π
【答案】C。
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝100°，
∴弧AC的长为：＝，
故选：C．
2．（2022•平原县模拟）如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（ ）
A． B．6π C． D．
【答案】C。
【解答】解：如图，作EF⊥AB于点F，
∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°，
∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°，
∴EF＝BE＝1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE
＝﹣×2×﹣×1
＝4π﹣2﹣2．
故选：C．
3．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【答案】D。
【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
＝﹣
＝2.25πm2．
故选：D．
4．（2021秋•顺平县期末）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣．
故选：C．
5．（2022秋•福清市期中）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，∠ABC＝60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．9﹣3π B． C． D．
【答案】D。
【解答】解：连接AD，
∵AB＝BD＝3，∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝3，∠ADB＝60°，
∵BC＝6，
∴CD＝3，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠C+∠CAD＝∠ADB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝3，
∴图中阴影部分的面积＝AB•AC﹣＝3×﹣＝﹣，
故选：D．
6．（2022秋•邗江区期中）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（ ）
A．已知△ABC的三条中位线的长度
B．已知△ABC的面积
C．已知AB，AC的长度及∠ACB＝30°
D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和
【答案】D。
【解答】解：∵S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2），
∴S1＝2S△ABC+S2，
∴S1﹣S2＝2S△ABC．
A：若已知△ABC的三条中位线的长度，即可得到△ABC三边的长度，再根据海伦公式S＝（a，b，c是三角形的三边，p＝（a+b+c）），据此求得三角形的面积，即可得到S1﹣S2的值，故A选项不符合题意；B：已知△ABC的面积，代入S1﹣S2＝2S△ABC即可求得，故B选项不符合题意；
C：如解图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AD＝AC•sin∠ACB＝AC，
在△ADC和△ADB中，
∴CD＝AC，BD＝＝，
∴S△ABC＝•AD•（BD+CD），据此即可求得S1﹣S2的值，故C选项不符合题意；
D：∵已知AB，AC两边长度和，
∴AB，AC的长度不确定，
∴△ABC的面积也不确定，
∴不一定能求出S1﹣S2的值，故D选项符合题意；
故选：D．
7．（2022秋•余杭区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝12，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A．18﹣12π B．36﹣6π C．36﹣12π D．18﹣6π
【答案】C。
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝12，
∵∠B＝60°，E为BC的中点，
∴CE＝BE＝6＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，
由勾股定理得：AE＝＝6，
∴S△AEB＝S△AEC＝×12×6×＝18＝S△AFC，
∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝18+18﹣＝36﹣12π，
故选：C．
8．（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C。
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵D为BC的中点，
∴AD＝BD＝CD＝BC＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，DE＝AC＝4，DF＝AB＝3，
∴AF＝DE，AE＝DF，∠MDN＝90°，
∵DE+DM＝DF+FN＝AD，
∴阴影部分的面积为2AD+＝10+，
故选：C．
9．（2022春•江岸区校级月考）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC＝105°，，延长EC至点A，连接DA，设∠A＝α，则α所在范围可能是（ ）
A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22°
【答案】A。
【解答】解：如图，连接OB，OC，OD，OE，DC，
∵弧BC＝4倍的弧DE，
∴∠BOC＝4∠DOE，
∵∠BOC＝2∠BDC，∠DOE＝2∠DCE，
∴∠BDC＝4∠DCE，
∵∠DFC＝105°，
∴∠BDC+∠DCE＝75°，
∴∠DCE＝15°，
∴∠A＜15°，
∴只有A选项符合题意，
故选：A．
10．（2022•虞城县一模）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O'C∥OA时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．﹣ D．
【答案】D。
【解答】解：连接OO′，
∵O'C∥OA，∠AOB＝120°，
∴∠OCO′＝60°，
∵C是OB的中点，
∴OC＝CB＝CO′＝1，
∴△OCO′是等边三角形，
∴∠OO′C＝∠COO′＝60°，∠CBO′＝∠CO′B＝30°，
∴∠OO′B＝∠A′O′B＝90°，
∴O，O′，A′三点共线，BO′＝，
阴影部分的面积为S扇形BOD﹣S△OBO′＝﹣
＝﹣．
故选：D．
二、填空题。
11．（2022秋•瑞安市月考）已知圆的半径为9cm，圆弧的度数为120°，则弧长为 6π cm．
【答案】6π。
【解答】解：扇形的弧长＝＝6π（cm），
故答案为：6π．
12．（2022秋•连云港期中）如图，半径为30cm的转动轮转过60°时，传送带上的物体A平移的距离为 10π cm．
【答案】10π。
【解答】解：＝10π（cm）．
故答案为：10π．
13．（2022秋•长沙期中）明德洞井中学，龙舞腾盛世，强健学生体魄，传承中华传统龙狮文化．在训练中，龙的尾部，由四个同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为120°．则整条龙的长是 米．
【答案】。
【解答】解：∵弧长为＝（米），
∴整条龙的长是2×＝（米）．
故答案为：．
14．（2021秋•钟山区期末）如图，在边长为10的菱形ABCD中，分别以点A、B、C、D为圆心，以AB为半径画弧，与菱形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积是 25π ．
【答案】25π。
【解答】解：∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°，
∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆，
∴图中阴影部分的面积＝52•π＝25π，
故答案为：25π．
15．（2022秋•安徽期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，CD为⊙O的直径，则劣弧EC长为 ．
【答案】。
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝120°，AB＝8，
∴∠D＝180°﹣∠A＝60°，CD＝AB＝8，
连接OE，
∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝CD＝4，
∴劣弧EC长为＝，
故答案为：．
16．（2022秋•中山区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AD，BC于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝50°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】π。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD，AB∥CD，
∴OA＝OC＝2，∠DAC＝∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∴图中阴影部分的面积为：2×＝π，
故答案为：π．
17．（2021秋•凤山县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【答案】﹣。
【解答】解：连接PB，PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝BC＝，PF＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×1×）]×2
＝﹣，
故答案为：﹣．
18．（2022秋•渝中区校级期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD＝8．以点A为圆心，AD长为半径画弧，此弧恰好经过点O，并与AB交于点E，则图中阴影部分的面积为 32﹣ ．
【答案】32﹣。
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝BD，OA＝AC，
∴OD＝OA，
∵AD＝OA，
∴AD＝OD＝OA，
∴△ADO是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DAO＝60°，
∵∠BAD＝90°，AD＝8，
∴∠ABD＝30°，AB＝CD＝8，
∴S阴＝S△ACD﹣S扇形AOD+S扇形AOE＝AD•CD﹣+＝×8×8﹣+＝32﹣，
故答案为：32﹣．
三、解答题。
19．（2021秋•兴化市期中）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝2cm，AC＝4cm，∠ABD＝45°．
（1）求弦BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝2cm，AC＝4cm，
∴AB＝＝＝2cm，
∴OB＝cm，
连OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴BD＝＝cm．
（2）S阴影＝﹣
＝π﹣（cm2），
答：图中阴影部分的面积为（π﹣）cm2．
20．（2021秋•石家庄期中）如图，AB为⊙O直径，AB＝6，点C，D（异于A，B两点）在⊙O上，且AD平分∠BAC，交BC于点E，连接BD．
（1）求证：∠ABD＝∠BED；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
【解答】（1）证明：如图：
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵∠ABD＝∠ABC+∠3，∠BED＝∠ABC+∠2，
∴∠ABD＝∠BED．
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°，
∴∠BOD＝2∠2＝70°，
∴弧BD的长＝＝π．
21．（2021秋•上虞区期末）如图，已知BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，A是弧BE的中点，BE分别交AD，AC于点F，G．
（1）求证：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求弧EC的长度．
【解答】（1）证明：∵A是弧BE的中点，
∴在⊙O中有∠ABE＝∠C．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠C，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴FA＝FB．
（2）连结AO，OE．
∵AD⊥BC，BD＝DO＝2，
∴△ABO是等边三角形．
又∵A是弧BE的中点，
∴∠AOB＝∠AOE＝60°，从而∠EOC＝60°．
∴弧EC的长＝．
22．（2022秋•拱墅区期中）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC＝6．DE＝3．
求：（1）⊙O的半径；
（2）阴影部分的面积．（结果保留π）
【解答】解：（1）设⊙O的半径是r，
∵半径OD⊥BC，
∴CE＝BC＝3，
∵OC2＝CE2+OE2，
∴r2＝（r﹣3）2+，
∴r＝6，
∴⊙O的半径是6；
（2））∵∠CEO＝90°，CO＝2OE，
∴∠ECO＝30°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝60°．
∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形ACO﹣S△AOC＝﹣×6×6×＝6π﹣9．
∴阴影部分的面积是6π﹣9．
23．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝26，以腰AB为直径作半圆，分别交BC、AC于点D、E．
（1）若∠BAC＝50°，求弧BE的长．
（2）连结DE，求证：BD＝DE．
【解答】（1）解：连接OE，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BOE＝100°，
∵AB＝26，
∴OB＝13，
∴弧BE的长为：＝π．
（2）证明：连接AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴＝，
∴BD＝DE．
24．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆，分别交边AC，BC于点D，E，点O为圆心，连结AE，OE．已知点E是弧DB的中点，∠C＝75°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若直径AB＝8，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接EO．
∵E是的中点，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠C+∠DAE＝90°，∠B+∠EAB＝90°，
∴∠C＝∠B＝75°，
∴AC＝AB，
∴EC＝EB，
∵AO＝OB，
∴∠EOB＝∠CBA＝180°﹣2×75°＝30°；
（2）连接OD，过点O作OT⊥AD于点T，过点E作EJ⊥OB于点J，
∵OT⊥AD，OT经过圆心O，
∴AT＝TD＝AO•cos30°＝2，OT＝OA＝2，
∵EJ⊥OB，
∴EJ＝OE•sin30°＝2，
∴S阴＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形ODE﹣S△OEB
＝2××8×2﹣××2﹣﹣×4×2
＝12﹣4﹣．
25．（2022秋•西湖区校级期中）如图①，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，AB＝CD，设⊙O的半径为r．
（1）求证：DM＝BM；
（2）若∠DMB＝100°，r＝1，求的长；
（3）如图②，若AB⊥CD，＝120°，设MB＝a，求证：．
【解答】（1）证明：如图①，连接BD，
∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠B＝∠D，
∴BM＝DM；
（2）解：∵∠DMB＝100°，∠B＝∠D，
∴∠D＝×（180°﹣100°）＝40°，
∴∠BOC＝2∠D＝80°，
∴的长＝＝；
（3）证明：连接AC，BD，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴AC＝BD，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴AM＝DM，
∵∠AOD＝120°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠BDM＝30°，
∴BD＝2BM＝2a，
∴AM＝DM＝＝a，
∴AD＝＝a，
∵AM＝DM，AO＝DO，
∴MO垂直平分AD，
∴∠AOH＝60°，AH＝AD＝a，
∴AH＝AO＝r，
∴a＝r，
∴＝．
26．（2022•高唐县二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAO＝30°，AC＝8．过点O作OH⊥AB于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）点P是BD上的一个动点（点P不与点B，D重合），当PH+PM的值最小时，求PD的长度．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，
∵OH⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，
∴S阴＝S△AOH﹣S扇形OMH＝×2×2﹣＝2﹣π．
（2）作点M关于BD的对称点M′，连接HM′交BD于P，连接PM，此时PH+PM的值最小．
∵OH＝OM′，
∴∠OHM′＝∠OM′H，
∵∠AOH＝∠OHM′+∠OM′H＝60°，
设OP＝m，则PM＝2m，
∵PM2＝OM2+OP2，
∴4m2＝m2+22，
∴m＝，
∴PD＝OD+OP＝+＝2．
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