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    专题3.9 弧长及扇形的面积(能力提升)-2023-2024学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》(北师大版)
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    数学九年级下册第三章 圆9 弧长及扇形的面积精品巩固练习

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    这是一份数学九年级下册第三章 圆9 弧长及扇形的面积精品巩固练习,共32页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    专题3.9 弧长及扇形的面积(能力提升)
    一、选择题。
    1.(2022秋•崇川区校级月考)如图,已知⊙O的半径为6,AB,BC是⊙O的弦,若∠ABC=50°,则的长是(  )

    A. B.10π C. D.12π
    2.(2022•平原县模拟)如图,四边形ABCD为正方形,边长为4,以B为圆心、BC长为半径画,E为四边形内部一点,且BE⊥CE,∠BCE=30°,连接AE,则阴影部分面积(  )

    A. B.6π C. D.
    3.(2022•兰州)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板,该展板的部分示意图如图2所示,它是以O为圆心,OA,OB长分别为半径,圆心角∠O=120°形成的扇面,若OA=3m,OB=1.5m,则阴影部分的面积为(  )

    A.4.25πm2 B.3.25πm2 C.3πm2 D.2.25πm2
    4.(2021秋•顺平县期末)在△ABC中,已知∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=1.如图所示,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C',则图中阴影部分面积为(  )

    A.π B. C. D.
    5.(2022秋•福清市期中)如图,在△ABC中,AB=3,BC=6,∠ABC=60°,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点D,则图中阴影部分的面积是(  )

    A.9﹣3π B. C. D.
    6.(2022秋•邗江区期中)如图,在锐角三角形△ABC中,分别以三边AB,BC,CA为直径作圆.记三角形外的阴影面积为S1,三角形内的阴影面积为S2,在以下四个选项的条件中,不一定能求出S1﹣S2的是(  )

    A.已知△ABC的三条中位线的长度
    B.已知△ABC的面积
    C.已知AB,AC的长度及∠ACB=30°
    D.已知BC的长度,以及AB,AC的长度和
    7.(2022秋•余杭区校级月考)如图,在菱形ABCD中,点E是BC的中点,以C为圆心、CE为半径作弧,交CD于点F,连接AE、AF.若AB=12,∠B=60°,则阴影部分的面积为(  )

    A.18﹣12π B.36﹣6π C.36﹣12π D.18﹣6π
    8.(2022•潍坊三模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,D为BC的中点,连接AD,以点D为圆心,DA长为半径作弧MN,若DM⊥AB于点E,DN⊥AC于点F.则图中阴影部分的周长为(  )

    A. B. C. D.
    9.(2022春•江岸区校级月考)在⊙O中,弦BD与弦CE相交于点F,∠DFC=105°,,延长EC至点A,连接DA,设∠A=α,则α所在范围可能是(  )

    A.12°<α<16° B.15°<α<18° C.17°<α<20° D.19°<α<22°
    10.(2022•虞城县一模)如图,扇形OAB中,∠AOB=120°,OA=2,点C为OB的中点,将扇形OAB绕点C顺时针旋转,点O的对应点为O',连接O'B,当O'C∥OA时,阴影部分的面积为(  )

    A. B. C.﹣ D.
    二、填空题。
    11.(2022秋•瑞安市月考)已知圆的半径为9cm,圆弧的度数为120°,则弧长为    cm.
    12.(2022秋•连云港期中)如图,半径为30cm的转动轮转过60°时,传送带上的物体A平移的距离为    cm.

    13.(2022秋•长沙期中)明德洞井中学,龙舞腾盛世,强健学生体魄,传承中华传统龙狮文化.在训练中,龙的尾部,由四个同学摆成了一个弧形,这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一,已知弧形的半径为2米,圆心角为120°.则整条龙的长是    米.

    14.(2021秋•钟山区期末)如图,在边长为10的菱形ABCD中,分别以点A、B、C、D为圆心,以AB为半径画弧,与菱形ABCD的边相交,则图中阴影部分的面积是    .

    15.(2022秋•安徽期中)如图,在平行四边形ABCD中,∠A=120°,AB=8,CD为⊙O的直径,则劣弧EC长为    .

    16.(2022秋•中山区期中)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点A,C为圆心,AO长为半径画弧,分别交AD,BC于点E,F.若BD=4,∠CAB=50°,则图中阴影部分的面积为    .(结果保留π)

    17.(2021秋•凤山县期末)如图,正方形ABCD的边长为1,分别以B,C为圆心,以正方形的边长为半径画弧,两弧相交于点P,那么图中阴影部分的面积为    .

    18.(2022秋•渝中区校级期中)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,AD=8.以点A为圆心,AD长为半径画弧,此弧恰好经过点O,并与AB交于点E,则图中阴影部分的面积为    .

    三、解答题。
    19.(2021秋•兴化市期中)如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且BC=2cm,AC=4cm,∠ABD=45°.
    (1)求弦BD的长;
    (2)求图中阴影部分的面积.


    20.(2021秋•石家庄期中)如图,AB为⊙O直径,AB=6,点C,D(异于A,B两点)在⊙O上,且AD平分∠BAC,交BC于点E,连接BD.
    (1)求证:∠ABD=∠BED;
    (2)若∠AEB=125°,求的长(结果保留π).







    21.(2021秋•上虞区期末)如图,已知BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AD⊥BC,垂足为D,A是弧BE的中点,BE分别交AD,AC于点F,G.
    (1)求证:FA=FB;
    (2)若BD=DO=2,求弧EC的长度.









    22.(2022秋•拱墅区期中)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,半径OD⊥BC,垂足为E,若BC=6.DE=3.
    求:(1)⊙O的半径;
    (2)阴影部分的面积.(结果保留π)





    23.(2022秋•拱墅区校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC=26,以腰AB为直径作半圆,分别交BC、AC于点D、E.
    (1)若∠BAC=50°,求弧BE的长.
    (2)连结DE,求证:BD=DE.







    24.(2022秋•鹿城区校级期中)如图,以△ABC的边AB为直径作半圆,分别交边AC,BC于点D,E,点O为圆心,连结AE,OE.已知点E是弧DB的中点,∠C=75°.
    (1)求∠EOB的度数.
    (2)若直径AB=8,求阴影部分的面积.





    25.(2022秋•西湖区校级期中)如图①,已知⊙O的两条弦AB,CD相交于点M,AB=CD,设⊙O的半径为r.
    (1)求证:DM=BM;
    (2)若∠DMB=100°,r=1,求的长;
    (3)如图②,若AB⊥CD,=120°,设MB=a,求证:.






    26.(2022•高唐县二模)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠BAO=30°,AC=8.过点O作OH⊥AB于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.
    (1)求图中阴影部分的面积;
    (2)点P是BD上的一个动点(点P不与点B,D重合),当PH+PM的值最小时,求PD的长度.















    专题3.9 弧长及扇形的面积(能力提升)
    一、选择题。
    1.(2022秋•崇川区校级月考)如图,已知⊙O的半径为6,AB,BC是⊙O的弦,若∠ABC=50°,则的长是(  )

    A. B.10π C. D.12π
    【答案】C。
    【解答】解:如图,连接OA,OC,

    ∵∠ABC=50°,
    ∴∠AOC=2∠ABC=100°,
    ∴弧AC的长为:=,
    故选:C.
    2.(2022•平原县模拟)如图,四边形ABCD为正方形,边长为4,以B为圆心、BC长为半径画,E为四边形内部一点,且BE⊥CE,∠BCE=30°,连接AE,则阴影部分面积(  )

    A. B.6π C. D.
    【答案】C。
    【解答】解:如图,作EF⊥AB于点F,

    ∵BE⊥CE,∠BCE=30°,
    ∴BE=BC=2,∠CBE=60°,
    ∴CE=BE=2,∠EBF=30°,
    ∴EF=BE=1,
    ∴S阴影=S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE
    =﹣×2×﹣×1
    =4π﹣2﹣2.
    故选:C.
    3.(2022•兰州)如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板,该展板的部分示意图如图2所示,它是以O为圆心,OA,OB长分别为半径,圆心角∠O=120°形成的扇面,若OA=3m,OB=1.5m,则阴影部分的面积为(  )

    A.4.25πm2 B.3.25πm2 C.3πm2 D.2.25πm2
    【答案】D。
    【解答】解:S阴=S扇形DOA﹣S扇形BOC
    =﹣
    =2.25πm2.
    故选:D.
    4.(2021秋•顺平县期末)在△ABC中,已知∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=1.如图所示,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C',则图中阴影部分面积为(  )

    A.π B. C. D.
    【答案】C。
    【解答】解:∵∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=1,
    ∴AB=BC=,AC=2BC=2,
    ∴图中阴影部分面积=S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′=﹣﹣×1×=﹣.
    故选:C.
    5.(2022秋•福清市期中)如图,在△ABC中,AB=3,BC=6,∠ABC=60°,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点D,则图中阴影部分的面积是(  )

    A.9﹣3π B. C. D.
    【答案】D。
    【解答】解:连接AD,
    ∵AB=BD=3,∠ABC=60°,
    ∴△ABD是等边三角形,
    ∴AD=AB=3,∠ADB=60°,
    ∵BC=6,
    ∴CD=3,
    ∴AD=CD,
    ∴∠C=∠CAD,
    ∵∠C+∠CAD=∠ADB=60°,
    ∴∠C=30°,
    ∴∠BAC=90°,
    ∴AC==3,
    ∴图中阴影部分的面积=AB•AC﹣=3×﹣=﹣,
    故选:D.

    6.(2022秋•邗江区期中)如图,在锐角三角形△ABC中,分别以三边AB,BC,CA为直径作圆.记三角形外的阴影面积为S1,三角形内的阴影面积为S2,在以下四个选项的条件中,不一定能求出S1﹣S2的是(  )

    A.已知△ABC的三条中位线的长度
    B.已知△ABC的面积
    C.已知AB,AC的长度及∠ACB=30°
    D.已知BC的长度,以及AB,AC的长度和
    【答案】D。
    【解答】解:∵S1=S3个半外圆﹣S6个弓形=S3个外半圆﹣(S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2),
    ∴S1=2S△ABC+S2,
    ∴S1﹣S2=2S△ABC.
    A:若已知△ABC的三条中位线的长度,即可得到△ABC三边的长度,再根据海伦公式S=(a,b,c是三角形的三边,p=(a+b+c)),据此求得三角形的面积,即可得到S1﹣S2的值,故A选项不符合题意;B:已知△ABC的面积,代入S1﹣S2=2S△ABC即可求得,故B选项不符合题意;
    C:如解图,过点A作AD⊥BC于点D.
    ∵AD=AC•sin∠ACB=AC,
    在△ADC和△ADB中,
    ∴CD=AC,BD==,
    ∴S△ABC=•AD•(BD+CD),据此即可求得S1﹣S2的值,故C选项不符合题意;
    D:∵已知AB,AC两边长度和,
    ∴AB,AC的长度不确定,
    ∴△ABC的面积也不确定,
    ∴不一定能求出S1﹣S2的值,故D选项符合题意;
    故选:D.

    7.(2022秋•余杭区校级月考)如图,在菱形ABCD中,点E是BC的中点,以C为圆心、CE为半径作弧,交CD于点F,连接AE、AF.若AB=12,∠B=60°,则阴影部分的面积为(  )

    A.18﹣12π B.36﹣6π C.36﹣12π D.18﹣6π
    【答案】C。
    【解答】解:如图,连接AC,

    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AB=BC=12,
    ∵∠B=60°,E为BC的中点,
    ∴CE=BE=6=CF,△ABC是等边三角形,AB∥CD,
    ∵∠B=60°,
    ∴∠BCD=180°﹣∠B=120°,
    由勾股定理得:AE==6,
    ∴S△AEB=S△AEC=×12×6×=18=S△AFC,
    ∴阴影部分的面积S=S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF=18+18﹣=36﹣12π,
    故选:C.
    8.(2022•潍坊三模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,D为BC的中点,连接AD,以点D为圆心,DA长为半径作弧MN,若DM⊥AB于点E,DN⊥AC于点F.则图中阴影部分的周长为(  )

    A. B. C. D.
    【答案】C。
    【解答】解:在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,
    ∴BC===10,
    ∵D为BC的中点,
    ∴AD=BD=CD=BC=5,
    ∵DM⊥AB,DN⊥AC,∠BAC=90°,
    ∴四边形AEDF是矩形,DE=AC=4,DF=AB=3,
    ∴AF=DE,AE=DF,∠MDN=90°,
    ∵DE+DM=DF+FN=AD,
    ∴阴影部分的面积为2AD+=10+,
    故选:C.
    9.(2022春•江岸区校级月考)在⊙O中,弦BD与弦CE相交于点F,∠DFC=105°,,延长EC至点A,连接DA,设∠A=α,则α所在范围可能是(  )

    A.12°<α<16° B.15°<α<18° C.17°<α<20° D.19°<α<22°
    【答案】A。
    【解答】解:如图,连接OB,OC,OD,OE,DC,

    ∵弧BC=4倍的弧DE,
    ∴∠BOC=4∠DOE,
    ∵∠BOC=2∠BDC,∠DOE=2∠DCE,
    ∴∠BDC=4∠DCE,
    ∵∠DFC=105°,
    ∴∠BDC+∠DCE=75°,
    ∴∠DCE=15°,
    ∴∠A<15°,
    ∴只有A选项符合题意,
    故选:A.
    10.(2022•虞城县一模)如图,扇形OAB中,∠AOB=120°,OA=2,点C为OB的中点,将扇形OAB绕点C顺时针旋转,点O的对应点为O',连接O'B,当O'C∥OA时,阴影部分的面积为(  )

    A. B. C.﹣ D.
    【答案】D。
    【解答】解:连接OO′,

    ∵O'C∥OA,∠AOB=120°,
    ∴∠OCO′=60°,
    ∵C是OB的中点,
    ∴OC=CB=CO′=1,
    ∴△OCO′是等边三角形,
    ∴∠OO′C=∠COO′=60°,∠CBO′=∠CO′B=30°,
    ∴∠OO′B=∠A′O′B=90°,
    ∴O,O′,A′三点共线,BO′=,
    阴影部分的面积为S扇形BOD﹣S△OBO′=﹣
    =﹣.
    故选:D.
    二、填空题。
    11.(2022秋•瑞安市月考)已知圆的半径为9cm,圆弧的度数为120°,则弧长为  6π cm.
    【答案】6π。
    【解答】解:扇形的弧长==6π(cm),
    故答案为:6π.
    12.(2022秋•连云港期中)如图,半径为30cm的转动轮转过60°时,传送带上的物体A平移的距离为  10π cm.

    【答案】10π。
    【解答】解:=10π(cm).
    故答案为:10π.
    13.(2022秋•长沙期中)明德洞井中学,龙舞腾盛世,强健学生体魄,传承中华传统龙狮文化.在训练中,龙的尾部,由四个同学摆成了一个弧形,这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一,已知弧形的半径为2米,圆心角为120°.则整条龙的长是   米.

    【答案】。
    【解答】解:∵弧长为=(米),
    ∴整条龙的长是2×=(米).
    故答案为:.
    14.(2021秋•钟山区期末)如图,在边长为10的菱形ABCD中,分别以点A、B、C、D为圆心,以AB为半径画弧,与菱形ABCD的边相交,则图中阴影部分的面积是  25π .

    【答案】25π。
    【解答】解:∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°,
    ∴四个扇形的面积,是一个以AB的长为半径的圆,
    ∴图中阴影部分的面积=52•π=25π,
    故答案为:25π.
    15.(2022秋•安徽期中)如图,在平行四边形ABCD中,∠A=120°,AB=8,CD为⊙O的直径,则劣弧EC长为   .

    【答案】。
    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=120°,AB=8,
    ∴∠D=180°﹣∠A=60°,CD=AB=8,
    连接OE,

    ∴∠COE=2∠D=120°,OC=CD=4,
    ∴劣弧EC长为=,
    故答案为:.
    16.(2022秋•中山区期中)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点A,C为圆心,AO长为半径画弧,分别交AD,BC于点E,F.若BD=4,∠CAB=50°,则图中阴影部分的面积为   .(结果保留π)

    【答案】π。
    【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AC=BD=4,OA=OC=OB=OD,AB∥CD,
    ∴OA=OC=2,∠DAC=∠ACB=90°﹣50°=40°,
    ∴图中阴影部分的面积为:2×=π,
    故答案为:π.
    17.(2021秋•凤山县期末)如图,正方形ABCD的边长为1,分别以B,C为圆心,以正方形的边长为半径画弧,两弧相交于点P,那么图中阴影部分的面积为  ﹣ .

    【答案】﹣。
    【解答】解:连接PB,PC,作PF⊥BC于F,
    ∵PB=PC=BC,
    ∴△PBC为等边三角形,
    ∴∠PBC=60°,∠PBA=30°,
    ∴BF=BC=,PF=,
    则图中阴影部分的面积=[扇形ABP的面积﹣(扇形BPC的面积﹣△BPC的面积)]×2
    =[﹣(﹣×1×)]×2
    =﹣,
    故答案为:﹣.

    18.(2022秋•渝中区校级期中)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,AD=8.以点A为圆心,AD长为半径画弧,此弧恰好经过点O,并与AB交于点E,则图中阴影部分的面积为  32﹣ .

    【答案】32﹣。
    【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AC=BD,OD=BD,OA=AC,
    ∴OD=OA,
    ∵AD=OA,
    ∴AD=OD=OA,
    ∴△ADO是等边三角形,
    ∴∠ADB=∠DAO=60°,
    ∵∠BAD=90°,AD=8,
    ∴∠ABD=30°,AB=CD=8,
    ∴S阴=S△ACD﹣S扇形AOD+S扇形AOE=AD•CD﹣+=×8×8﹣+=32﹣,
    故答案为:32﹣.
    三、解答题。
    19.(2021秋•兴化市期中)如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,且BC=2cm,AC=4cm,∠ABD=45°.
    (1)求弦BD的长;
    (2)求图中阴影部分的面积.

    【解答】解:(1)∵AB为⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵BC=2cm,AC=4cm,
    ∴AB===2cm,
    ∴OB=cm,
    连OD,
    ∵OD=OB,
    ∴∠ODB=∠ABD=45°,
    ∴∠BOD=90°,
    ∴BD==cm.
    (2)S阴影=﹣
    =π﹣(cm2),
    答:图中阴影部分的面积为(π﹣)cm2.

    20.(2021秋•石家庄期中)如图,AB为⊙O直径,AB=6,点C,D(异于A,B两点)在⊙O上,且AD平分∠BAC,交BC于点E,连接BD.
    (1)求证:∠ABD=∠BED;
    (2)若∠AEB=125°,求的长(结果保留π).

    【解答】(1)证明:如图:

    ∵AD平分∠BAC,
    ∴∠1=∠2,
    ∵∠1=∠3,
    ∴∠2=∠3,
    ∵∠ABD=∠ABC+∠3,∠BED=∠ABC+∠2,
    ∴∠ABD=∠BED.
    (2)解:连接OD,

    ∵∠AEB=125°,
    ∴∠AEC=55°,
    ∵AB为⊙O直径,
    ∴∠ACE=90°,
    ∴∠1=35°,
    ∴∠2=∠1=35°,
    ∴∠BOD=2∠2=70°,
    ∴弧BD的长==π.
    21.(2021秋•上虞区期末)如图,已知BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AD⊥BC,垂足为D,A是弧BE的中点,BE分别交AD,AC于点F,G.
    (1)求证:FA=FB;
    (2)若BD=DO=2,求弧EC的长度.

    【解答】(1)证明:∵A是弧BE的中点,
    ∴在⊙O中有∠ABE=∠C.
    ∵BC是⊙O的直径,
    ∴∠BAC=90°.
    ∵AD⊥BC于点D,
    ∴∠BAD=∠C,
    ∴∠ABE=∠BAD,
    ∴FA=FB.

    (2)连结AO,OE.
    ∵AD⊥BC,BD=DO=2,
    ∴△ABO是等边三角形.
    又∵A是弧BE的中点,
    ∴∠AOB=∠AOE=60°,从而∠EOC=60°.
    ∴弧EC的长=.
    22.(2022秋•拱墅区期中)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,半径OD⊥BC,垂足为E,若BC=6.DE=3.
    求:(1)⊙O的半径;
    (2)阴影部分的面积.(结果保留π)

    【解答】解:(1)设⊙O的半径是r,
    ∵半径OD⊥BC,
    ∴CE=BC=3,
    ∵OC2=CE2+OE2,
    ∴r2=(r﹣3)2+,
    ∴r=6,
    ∴⊙O的半径是6;
    (2))∵∠CEO=90°,CO=2OE,
    ∴∠ECO=30°.
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴∠ACO=60°.
    ∵OA=OC,
    ∴△ACO是等边三角形,
    ∴∠AOC=60°,
    ∴S阴影=S扇形ACO﹣S△AOC=﹣×6×6×=6π﹣9.
    ∴阴影部分的面积是6π﹣9.
    23.(2022秋•拱墅区校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC=26,以腰AB为直径作半圆,分别交BC、AC于点D、E.
    (1)若∠BAC=50°,求弧BE的长.
    (2)连结DE,求证:BD=DE.

    【解答】(1)解:连接OE,
    ∵∠BAC=50°,
    ∴∠BOE=100°,
    ∵AB=26,
    ∴OB=13,
    ∴弧BE的长为:=π.
    (2)证明:连接AD,
    ∵AB是圆的直径,
    ∴∠ADB=90°,即AD⊥CB,
    ∴BD=CD,
    ∵AB=AC,
    ∴∠BAD=∠EAD,
    ∴=,
    ∴BD=DE.

    24.(2022秋•鹿城区校级期中)如图,以△ABC的边AB为直径作半圆,分别交边AC,BC于点D,E,点O为圆心,连结AE,OE.已知点E是弧DB的中点,∠C=75°.
    (1)求∠EOB的度数.
    (2)若直径AB=8,求阴影部分的面积.

    【解答】解:(1)如图,连接EO.
    ∵E是的中点,
    ∴∠DAE=∠EAB,
    ∵AB是直径,
    ∴∠AEB=∠AEC=90°,
    ∴∠C+∠DAE=90°,∠B+∠EAB=90°,
    ∴∠C=∠B=75°,
    ∴AC=AB,
    ∴EC=EB,
    ∵AO=OB,
    ∴∠EOB=∠CBA=180°﹣2×75°=30°;

    (2)连接OD,过点O作OT⊥AD于点T,过点E作EJ⊥OB于点J,
    ∵OT⊥AD,OT经过圆心O,
    ∴AT=TD=AO•cos30°=2,OT=OA=2,
    ∵EJ⊥OB,
    ∴EJ=OE•sin30°=2,
    ∴S阴=S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形ODE﹣S△OEB
    =2××8×2﹣××2﹣﹣×4×2
    =12﹣4﹣.

    25.(2022秋•西湖区校级期中)如图①,已知⊙O的两条弦AB,CD相交于点M,AB=CD,设⊙O的半径为r.
    (1)求证:DM=BM;
    (2)若∠DMB=100°,r=1,求的长;
    (3)如图②,若AB⊥CD,=120°,设MB=a,求证:.

    【解答】(1)证明:如图①,连接BD,
    ∵AB=CD,
    ∴=,
    即+=+,
    ∴=,
    ∴∠B=∠D,
    ∴BM=DM;
    (2)解:∵∠DMB=100°,∠B=∠D,
    ∴∠D=×(180°﹣100°)=40°,
    ∴∠BOC=2∠D=80°,
    ∴的长==;
    (3)证明:连接AC,BD,
    ∵AB=CD,
    ∴=,
    ∴﹣=﹣,
    即=,
    ∴AC=BD,
    ∴∠ADC=∠BAD,
    ∴AM=DM,
    ∵∠AOD=120°,
    ∴∠ABD=60°,
    ∴∠BDM=30°,
    ∴BD=2BM=2a,
    ∴AM=DM==a,
    ∴AD==a,
    ∵AM=DM,AO=DO,
    ∴MO垂直平分AD,
    ∴∠AOH=60°,AH=AD=a,
    ∴AH=AO=r,
    ∴a=r,
    ∴=.

    26.(2022•高唐县二模)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠BAO=30°,AC=8.过点O作OH⊥AB于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.
    (1)求图中阴影部分的面积;
    (2)点P是BD上的一个动点(点P不与点B,D重合),当PH+PM的值最小时,求PD的长度.

    【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
    ∴AC⊥BD,OA=OC=4,
    ∵OH⊥AB,
    ∴∠AHO=90°,
    ∵∠OAH=30°,
    ∴∠AOH=60°,OH=OA=2,AH=OH=2,
    ∴S阴=S△AOH﹣S扇形OMH=×2×2﹣=2﹣π.

    (2)作点M关于BD的对称点M′,连接HM′交BD于P,连接PM,此时PH+PM的值最小.
    ∵OH=OM′,
    ∴∠OHM′=∠OM′H,
    ∵∠AOH=∠OHM′+∠OM′H=60°,
    设OP=m,则PM=2m,
    ∵PM2=OM2+OP2,
    ∴4m2=m2+22,
    ∴m=,
    ∴PD=OD+OP=+=2.


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