数学第4章 数列4.2 等差数列导学案

这是一份数学第4章 数列4.2 等差数列导学案，共7页。


观察下列现实生活中的数列：
(1)我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029, 2 041，2 053，2 065，2 077，…；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；
(3)2021年4月中，每个星期日的日期为4，11，18，25.
[问题] 以上数列有什么共同的特点？



知识点一 等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用eq \a\vs4\al(d)表示．
eq \a\vs4\al()
对等差数列定义的理解要注意以下3点
(1)等差数列定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项一定是与它的前一项作差，而不是与后一项作差．这一点要注意，切不可将减数与被减数弄颠倒；
(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等于常数，但这个数列不一定是等差数列．因为这些常数可能不同．当常数不同时，不是等差数列，因此定义中同一个常数中的“同一个”十分重要，切记不可丢掉；
(3)公差d可正、可负、也可为0，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列4，4，4，…是等差数列．( )
(2)数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,n＋1，n≥2，))则{an}是等差数列．( )
(3)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．给出下列数列：
(1)0，0，0，0，0，…；
(2)1，11，111，1 111，…；
(3)2，22，23，24，…；
(4)－5，－3，－1，1，3，…；
(5)1，2，3，5，8，….
其中等差数列是________(填序号)．
解析：根据等差数列的定义可知(1)、(4)是等差数列．
答案：(1)(4)
知识点二 等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？
提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
1．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
解析：选C ∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
2．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．±2
解析：选C 由已知得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1（a1＋2d）＝8，,a1＋d＝3，))解得d＝±1.
[例1] (链接教科书第130页例3)判断下列数列是否为等差数列，若是请求出公差d.若不是请说明理由．
(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n.
[解] (1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，
由n的任意性知，这个数列为等差数列，公差为3.
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是一个常数，所以这个数列不是等差数列．
eq \a\vs4\al()
判断一个数列是否为等差数列的方法技巧
(1)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．或an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(2)等差中项法：2an＝an＋1＋an－1⇔{an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}为等差数列．
[跟踪训练]
1．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq \f(1,an－2).求证：数列{bn}是等差数列．
证明：∵bn＋1＝eq \f(1,an＋1－2)＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(4,an)))－2)＝eq \f(an,2（an－2）)，
∴bn＋1－bn＝eq \f(an,2（an－2）)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an－2,2（an－2）)＝eq \f(1,2)，为常数(n∈N*)．
∵b1＝eq \f(1,a1－2)＝eq \f(1,2)，
∴数列{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列．
2．已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
证明：∵eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，∴eq \f(2,b)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)，
∴eq \f(2,b)＝eq \f(a＋c,ac)，即2ac＝b(a＋c)．
(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.
∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．
角度一：等差数列基本量的计算
[例2] (链接教科书第132页例4)在等差数列{an}中．
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
[解] (1)∵a5＝－1，a8＝2，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝－1，,a1＋7d＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－5，,d＝1.))
(2)设数列{an}的公差为d.
由已知得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1＋5d＝12，,a1＋3d＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2.))
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
角度二：等差数列通项公式的应用
[例3] 已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
[解] 设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋（15－1）d＝33，,a1＋（61－1）d＝217，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－23，,d＝4.))
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项．
[母题探究]
1．(变设问)若例3条件不变，求a38，及a30＋a46的值，并判断2a38与a15＋a61是否相等？a30＋a46与a15＋a61是否相等？
解：由例3知a15＋a61＝33＋217＝250，an＝4n－27，
所以a38＝4×38－27＝125，
a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61.
2．(变设问)由上题结论进一步探究．对于一般的等差数列{an}，若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，是否有：am＋an＝ap＋aq?
解：有．因为am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d
＝2a1＋(m＋n－2)d.
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d.
又因为m＋n＝p＋q，
所以am＋an＝ap＋aq.
eq \a\vs4\al()
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可；
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
[跟踪训练]
1．2 020是等差数列4，6，8，…的( )
A．第1 007项 B．第1 008项
C．第1 009项 D．第1 010项
解析：选C ∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2 020＝2n＋2，解得n＝1 009.
2．在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；
(2)已知a7＝eq \f(1,2)，d＝－2，求a1；
(3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；
(4)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d.
解：(1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3，
∴a8＝3×8＋3＝27.
(2)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝eq \f(1,2)，∴a1＝eq \f(25,2).
(3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14，
∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，
∴n＝18.
(4)法一：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝10，,a1＋9d＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝13，,d＝－1.))
∴a7＝13＋6×(－1)＝7.
法二：∵a4＝10，a10＝4，∴d＝eq \f(a10－a4,10－4)＝－1，
∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14，
∴a7＝－7＋14＝7.
[例4] (链接教科书第132页例5)某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解] 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
eq \a\vs4\al()
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
[跟踪训练]
某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
答案：23.2
1．给出下列命题：
①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；
②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；
③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；
④数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列．
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①③
C．②③④ D．③④
解析：选C 根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为－2，①错误；对于②，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以②正确；对于③，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以③正确；对于④，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列，所以④正确，故选C.
2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选B 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选A 由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.
4．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________．
解析：d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.
答案：46
5．在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.
解：由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋5d＝12，,a1＋17d＝36，))解得d＝2，a1＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题
逻辑推理、数学运算
3.体会等差数列与一元一次函数的关系
数学抽象
等差数列的判断与证明
等差数列的通项公式及应用
等差数列的实际应用