高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性学案设计

1．2　数列的函数特性

[教材要点]

要点一　数列与函数

可以把一个数列视作定义在________集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为________，k＝1，2，3，….

状元随笔　(1)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．

(2)要注意数列的特殊性(离散型)．因为数列的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合．

要点二　数列的增减性

1．递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都________它的前一项，即________，那么这个数列叫作递增数列．

2．递减数列：如果从第2项起，每一项都________它的前一项，即________，那么这个数列叫作递减数列．

3．常数列：如果数列{an}的各项都________，那么这个数列叫作常数列．

状元随笔　数列增减性与函数增减性的区别

数列是一种特殊的函数，其定义域是N＋(或N＋的有限子集)，自变量的取值是离散的，而函数的定义域通常是连续的，所以数列与函数的增减性有所不同．例如，函数f(x)＝x2－2x在其定义域上没有增减性．只能说f(x)在(－∞，1)上减少，在(1，＋∞)上增加，但对于数列{an}，若an＝n2－2n，则其一定是递增数列．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数列若用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点. (　　)

(2)在数列{an}中，若存在m，n∈N＋，当m<n时有am<an成立，则数列{an}是递增数列. (　　)

(3)如果函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则数列an＝f(n)为单调递增数列．(　　)

(4)数列1，3，5，7，…，2n－1可以看作函数y＝2x－1，当x取1，2，3，…，n时，对应函数值的集合. (　　)

2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　)

A．递增数列　　B．递减数列

C．常数列    D．摆动数列

3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)

A．1，，…

B．－1，－2，－3，－4，…

C．－1，－，－，－，…

D．1，，…，

4．有下列数列：

①1，2，22，23，…；

②1，0.5，0.52，0.53，…；

③7，7，7，7，….

其中递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(填序号)

题型一　根据图象判断数列的增减性

例1　已知数列{an}中，an＝n2－8n.

(1)画出{an}的图象；

(2)根据图象写出数列{an}的增减性.

方法归纳

画数列图象通常用描点法，与画函数图象的描点法有类似之处，其步骤是：(1)列表；(2)描点．但要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋.

跟踪训练1　已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增、减性．

题型二　判断数列的增减性

例2　已知数列{an}的通项公式是an＝，试判断数列{an}的增减性．

方法归纳

判断数列增减性的方法

(1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势；

(2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列；

(3)作商法：在确定an为正或为负的情况下，作商，比较商值与1的关系，从而确定数列的单调性；

(4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断.

跟踪训练2　已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由．

题型三　数列中的最值

例3　已知数列{an}的通项an＝(n＋1)(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．

方法归纳

1．数列{an}中，若存在m∈N＋，对任意n∈N＋都有am≥an恒成立，则am为数列{an}中的最大项；若存在t∈N＋，对任意n∈N＋都有at≤an恒成立，则at为数列{an}中的最小项.

2．求数列的最大(小)项，其实质就是求相应函数的最大(小)值，但要注意数列中的n∈N＋.

3．求数列最大(小)项的方法主要有两种：

(1)根据数列{an}的增减性求最大(小)项；

(2)利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项．

跟踪训练3　已知数列{an}的通项an＝－2n2＋9n＋3.求{an}中的最大项．

易错辨析　忽视数列中的n∈N*致错

例4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．

解析：∵an＝n2－5n＋4＝－，

可知对称轴方程为n＝，

又n∈N*，故n＝2或3时，

an有最小值，且a2＝a3＝－2.

答案：－2

【易错警示】

[课堂十分钟]

1．(多选题)下列说法中正确的是(　　)

A．数列a，a，a，…是无穷数列

B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值

C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列

D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列

2．已知数列{an}满足：a1<0，＝，则数列{an}是(　　)

A．递增数列    B．递减数列

C．常数列    D．不确定

3．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　)

A．R B．(0，＋∞)

C．(－∞，0)    D．(－∞，0]

4．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋4n－33，则数列{an}中最大值是__________. 

5．根据下面两个数列的通项公式，分别作出它们的图象，并判断数列的增减性.

(1)an＝－n；

(2)bn＝·2n.

状 元 笔 记

由递推关系式求通项公式

类型一　形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式

当已知数列中相邻两项的差的递推关系式，即an＋1－an＝f(n)(n∈N*)时，通常采用累加法求通项，其方法是利用恒等式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求解．

例1　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.

解析：∵an＋1＝an＋n＋1，a1＝1，∴an＋1－an＝n＋1，

∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a2－a1＝2(n≥2且n∈N*)

以上式子相加得：

an－a1＝2＋3＋…＋n

∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n≥2且n∈N*)．

当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝)．

答案：

状元随笔　变形为：an＋1－an＝n＋1，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求．

类型二　形如an＋1＝f(n)an的递推关系式

当已知数列中相邻两项的积的递推关系式，即＝f(n)(n∈N*)时，通常采用累乘法求通项，其方法是利用恒等式an＝··…··a1求解．

例2　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，求an.

解析：∵an＋1＝an，a1＝1

∴＝

∴＝＝，…，＝，(n≥2且n∈N*)

以上式子两边分别相乘得：

＝×…×＝(n≥2且n∈N*)

∴an＝a1＝.(n≥2且n∈N*)

当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝(n∈N*)

1．2　数列的函数特性

新知初探·课前预习

要点一

正整数　(k，ak)

要点二

1．大于　an＋1>an

2．小于　an＋1<an

3．相等

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A.

答案：A

3．解析：A、B是递减数列，D是有穷数列，故C正确．

故选C.

答案：C

4．答案：①　②　③

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)列表如下.

描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象.

(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…

图象如图.

(2)数列{an}的图象既不是上升的，也不是下降的，所以{an}既不是递增数列，也不是递减数列.

跟踪训练1　解析：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．

题型二

例2　解析：解法一　因为an＝(n∈N＋)，

所以an＋1＝，

于是an＋1－an＝＝>0，

所以an＋1>an，故{an}是递增数列．

解法二　因为an＝，所以an＋1＝，

当n∈N＋时，an>0，an＋1>0，

于是＝÷

＝＝>1，

所以>1，从而an＋1>an，

故{an}是递增数列．

解法三　令f(x)＝＝，

因为当x∈[1，＋∞)时，y＝是递减的，所以f(x)＝是递增的，

从而数列{an}是递增数列．

跟踪训练2　解析：{an}为递减数列，理由如下：

an＋1－an＝

＝

＝

＝.

∵f(x)＝－＋在[1，＋∞)上是递减的，

∴当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0.

又∵(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0，

∴an＋1－an<0，

∴{an}是递减数列．

题型三

例3　解析：数列{an}有最大项，

设an为最大项，则

即

解得9≤n≤10.

又∵n∈N＋，

∴n＝9或n＝10.∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×＝.

跟踪训练3　解析：由an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋.

∵n为正整数，

∴当n＝2时，an取得最大值，a2＝－2×22＋9×2＋3＝13.

即数列{an}的最大项为a2＝13.

[课堂十分钟]

1．解析：A，D显然正确；因为数列{f(n)}是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选ACD.

答案：ACD

2．解析：因为a1<0，＝，所以an<0，且<1.

所以an＋1>an，所以数列{an}是递增数列，故选A.

答案：A

3．解析：∵an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k，且数列{an}为递减数列，

∴k<0.

故选C.

答案：C

4．解析：∵an＝－2(n2－2n＋1)－31＝－2(n－1)2－31,

∴当n＝1时，an最大，最大值为－31.

答案：－31

5．解析：

由数列的图象可知，数列{an}是递减数列；数列{bn}是递增数列．