高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和同步训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和同步训练题，共6页。

1．若等差数列{an}的前3项和S3＝9且a1＝1，则a2等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B． eq \f(5,3)
C．2 D．3
3．等差数列{an}中，a9＝3，那么它的前17项的和S17＝( )
A．51 B．34
C．102 D．不能确定
4．已知等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，则前n项和Sn取最小值时n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．5或6
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 eq \f(a5,a3)＝ eq \f(5,9)，则 eq \f(S9,S5)等于( )
A．1 B．－1
C．2 D． eq \f(1,2)
6．(多选题)已知Sn是等差数列的前n项和，且S6>S7>S5，则下列命题中正确的是( )
A．d<0
B．S11>0
C．S12<0
D．数列{Sn}中的最大项为S11
7．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则公差d＝________；S6＝________．
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S2＝8，S3＝9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最大值．
[提能力]
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)) ＝0，S2m－1＝38，则m＝( )
A．38 B．20
C．10 D．9
12．(多选题)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6＝S9，则( )
A．d>0
B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值
D．S5>S6
13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
14．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围是________．
15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，bn＝ eq \f(1,2)an－30.
(1)求通项an；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
[培优生]
16．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．
课时作业(五) 等差数列的前n项和(一)
1．解析：设公差为d，S3＝3a1＋ eq \f(3×2,2)d＝3＋ eq \f(3×2,2)d＝9，解得d＝2，则a2＝a1＋d＝3.
故选A.
答案：A
2．解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3（a1＋4）,2)＝6，,a1＋2d＝4，))解得d＝2.
故选C.
答案：C
3．解析：由题可知数列{an}为等差数列，则由等差数列的性质可得2a9＝a1＋a17，故S17＝ eq \f(17（a1＋a17）,2)＝ eq \f(17·2a9,2)＝17a9＝51.
故选A.
答案：A
4．解析：由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10，令an＝－10＋(n－1)×2≤0，得n≤6，所以S5＝S6均为最小值，故选D.
答案：D
5．解析： eq \f(S9,S5)＝ eq \f(\f(9,2)（a1＋a9）,\f(5,2)（a1＋a5）)＝ eq \f(\f(9,2)·2a5,\f(5,2)·2a3)＝ eq \f(9a5,5a3)＝ eq \f(9,5)· eq \f(a5,a3)＝1.
故选A.
答案：A
6．解析：∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确；S11＝ eq \f(11,2)(a1＋a11)＝11a6>0，B正确；S12＝ eq \f(12,2)(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确．故选AB.
答案：AB
7．解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
解得d＝1，
所以S10＝10×(－2)＋ eq \f(10×9,2)×1＝－20＋45＝25.
答案：25
8．解析：由等差数列前n项和性质可得
eq \f(4－2,2)d＝ eq \f(S4,4)－ eq \f(S2,2)＝ eq \f(5,2)－ eq \f(2,2)＝ eq \f(3,2)
∴d＝ eq \f(3,2)
∴ eq \f(S6,6)－ eq \f(S4,4)＝ eq \f(3,2)
∴S6＝24.
答案： eq \f(3,2) 24
9．解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝12，,d＝2，))
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋ eq \f(n（n－1）,2)×2，即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.
10．解析：(1)由等差数列{an}的前n项和S3＝9，得a2＝3，
又∵S2＝8，即a1＋a2＝8，∴a1＝5，
∴d＝a2－a1＝－2.
∴an＝5－2(n－1)＝7－2n.
(2)由(1)知an＝7－2n，a1＝5，d＝－2，
故Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2)＝ eq \f(n（5＋7－2n）,2)＝n(6－n)＝6n－n2.
∴当n＝3时，Sn取得最大值9.
11．解析：因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，则由am－1＋am＋1－a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)) ＝0可得2am－a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(m)) ＝0，解得am＝0或am＝2.因为S2m－1＝ eq \f(a1＋a2m－1,2)×(2m－1)＝(2m－1)am＝38，所以am≠0，故am＝2.代入可得，2(2m－1)＝38，解得m＝10.故选C.
答案：C
12．解析：因为Sn＝na1＋ eq \f(n（n－1）,2)d，
所以Sn＝ eq \f(d,2)n2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，
则Sn是关于n(n∈N，n≠0)的一个二次函数，
又a1>0且S6＝S9，
对称轴n＝ eq \f(6＋9,2)＝ eq \f(15,2)，开口向下，则d<0，故A错误，
又n为正整数，
所以Sn在[1，7]上单调递增，在[8，＋∞)上单调递减，
所以S5所以最靠近 eq \f(15,2)的整数n＝7或n＝8时，Sn最大，故C正确，
所以S7＝S8，∴a8＝0，故B正确，故选BC.
答案：BC
13．解析：设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝ eq \f(3m－1,2)＝ eq \f(3m－3＋2,2)＝ eq \f(3（m－1）,2)＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝ eq \f(1＋6n－5,2)×n＝3n2－2n.
答案：3n2－2n
14．解析：由当且仅当n＝8时，Sn有最大值，
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d<0，,a8>0，,a9<0))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d<0，,7＋7d>0，,7＋8d<0.))
解得－1答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(7,8)))
15．解析：(1)由a3＝10，S6＝72，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝4))
所以an＝4n－2.
(2)由(1)得bn＝ eq \f(1,2)an－30＝2n－31.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2n－31≤0，,2（n＋1）－31≥0，))得 eq \f(29,2)≤n≤ eq \f(31,2)，
因为n∈N*，所以n＝15.所以{bn}的前15项为负值，所以T15最小，可知b1＝－29，d＝2，所以T15＝－225.
16．解析：(1)由S14＝98，得2a1＋13d＝14.
又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.
因此，{an}的通项公式是an＝22－2n(n∈N*).
(2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S14≤77，,a11>0，,a1≥6，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋13d≤11，,a1＋10d>0，,a1≥6，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋13d≤11，,－2a1－20d<0，,－2a1≤－12.)) eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(①,②,③))
由①＋②，得－7d<11，即d>－ eq \f(11,7).
由①＋③，得13d≤－1，即d≤－ eq \f(1,13).
于是－ eq \f(11,7)又d∈Z，故d＝－1.④
将④代入①②得10又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an＝12－n和an＝13－n(n∈N*).