数学选择性必修 第二册1.1 数列的概念课堂检测

这是一份数学选择性必修 第二册1.1 数列的概念课堂检测，共6页。

1．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为( )
A．4 B．8
C．36 D．32
2．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A． eq \f(5,3) B． eq \f(4,3)
C． eq \f(3,2) D． eq \f(1,2)
3．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝ eq \f(1,16)，则a3a6＋a4a5的值是( )
A．1 B．2
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,4)
4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
5．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低 eq \f(1,3)，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )
A．300元 B．900元
C．2 400元 D．3 600元
6．(多选题)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a5成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
7．已知数列{an}是等比数列，an>0，a5＝ eq \f(1,2)，且a2a8a11＝8，则数列{an}的公比q＝________．
8．已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．
9．在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
10．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝lg2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求此等比数列的通项公式．
[提能力]
11．(多选题)已知数列{an}是正项等比数列，且 eq \f(2,a3)＋ eq \f(3,a7)＝ eq \r(6)，则a5的值可能是( )
A．2 B．4
C． eq \f(8,5) D． eq \f(8,3)
12．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以 eq \f(1,2)为首项的等比数列，则 eq \f(m,n)等于( )
A． eq \f(3,2) B． eq \f(3,2)或 eq \f(2,3)
C． eq \f(2,3) D．以上都不对
13．在 eq \f(8,3)和 eq \f(27,2)之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．
14．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝ eq \f(15,8)，a8a9＝－ eq \f(9,8)，则 eq \f(1,a7)＋ eq \f(1,a8)＋ eq \f(1,a9)＋ eq \f(1,a10)＝________．
15．从盛满a L(a>1)纯酒精的容器中倒出1 L纯酒精，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去……第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?
[培优生]
16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求数列{an}的通项公式．
课时作业(八) 等比数列的概念及其通项公式(二)
1．解析：因为{an}是等比数列，所以a2a6＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝36.
故选C.
答案：C
2．解析：设这个数为x，
则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，
解得x＝25，
所以这三个数为45，75，125，公比q为 eq \f(75,45)＝ eq \f(5,3).
故选A.
答案：A
3．解析：a3a6＝a4a5＝a2a7＝4× eq \f(1,16)＝ eq \f(1,4)，所以a3a6＋a4a5＝ eq \f(1,2).
故选C.
答案：C
4．解析：在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝a eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(1)) q10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.
故选C.
答案：C
5．解析：降低后的价格构成以 eq \f(2,3)为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)＝2 400 (元).
故选C.
答案：C
6．解析：设 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公比是q，则an＝a1qn－1，
A． eq \f(a3,a1)＝q2＝ eq \f(a5,a3)，a1，a3，a5成等比数列，正确；B. eq \f(a3,a2)＝q， eq \f(a6,a3)＝q3，在q≠1时，两者不相等，错误；C. eq \f(a4,a2)＝q2， eq \f(a8,a4)＝q4，在q2≠1时，两者不相等，错误；D. eq \f(a6,a3)＝q3＝ eq \f(a9,a6)，a3，a6，a9成等比数列，正确．
故选AD.
答案：AD
7．解析：数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))是等比数列，则a2a8a11＝ eq \f(a7,q5)·a7q·a7q4＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ＝8，所以a7＝2，
而an>0，a5＝ eq \f(1,2)，所以公比q＝2.
答案：2
8．解析：设一月份产值为1，此年的月平均增长率为x.
则(1＋x)11＝m，解得x＝ eq \r(11,m)－1.
答案： eq \r(11,m)－1
9．解析：在等比数列{an}中，由a3a4a5＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝8，得a4＝2，又因为a2a6＝a3a5＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ，所以a2a3a4a5a6＝a eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(4)) ＝25＝32.
10．解析：由b1＋b2＋b3＝3，得lg2(a1a2a3)＝3，
∴a1a2a3＝23＝8.∵a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝a1a3，
∴a2＝2.
设等比数列{an}的公比为q.
∵b1b2b3＝－3，
∴lg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,q)))lg22lg2(2q)＝－3，即(1－lg2q)·1·(1＋lg2q)＝－3.
解得lg2q＝2或lg2q＝－2.
∴q＝4或q＝ eq \f(1,4).
∴所求等比数列{an}的通项公式为an＝22n－3或an＝25－2n.
11．解析：依题意，数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是正项等比数列，∴a3>0，a7>0，a5>0，
∴ eq \r(6)＝ eq \f(2,a3)＋ eq \f(3,a7)≥2 eq \r(\f(2,a3)·\f(3,a7))＝ eq \f(2\r(6),\r(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ))，因为a5>0，
所以上式可化为a5≥2，当且仅当a3＝ eq \f(2\r(6),3)，a7＝ eq \r(6)时等号成立．
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：不妨设 eq \f(1,2)是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(9,2)，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2，
∴等比数列为 eq \f(1,2)，x1，x2，4，∴q3＝ eq \f(4,\f(1,2))＝8，∴q＝2，
∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴ eq \f(m,n)＝ eq \f(9,2×3)＝ eq \f(3,2).
若设 eq \f(1,2)是x2－nx＋2＝0的根，同理得n＝ eq \f(9,2)，m＝3，则 eq \f(m,n)＝ eq \f(2,3).
故选B.
答案：B
13．解析：方法一 设这个等比数列为{an}，其公比为q.
∵a1＝ eq \f(8,3)，a5＝ eq \f(27,2)＝a1q4＝ eq \f(8,3)·q4，∴q4＝ eq \f(81,16)，
∴q2＝ eq \f(9,4).
∴a2a3a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) q6＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3))) eq \s\up12(3)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4))) eq \s\up12(3)＝63＝216.
方法二 设这个等比数列为{an}，公比为q，
则a1＝ eq \f(8,3)，a5＝ eq \f(27,2)，加入的三项分别为a2，a3，a4.
∵由题意可知a1，a3，a5也成等比数列，且a3与a1，a5同号，∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝ eq \f(8,3)× eq \f(27,2)＝36，故a3＝6.
∴a2a3a4＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ·a3＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝216.
答案：216
14．解析：因为 eq \f(1,a7)＋ eq \f(1,a10)＝ eq \f(a7＋a10,a7a10)， eq \f(1,a8)＋ eq \f(1,a9)＝ eq \f(a8＋a9,a8a9)，又因为a8a9＝a7a10，所以 eq \f(1,a7)＋ eq \f(1,a8)＋ eq \f(1,a9)＋ eq \f(1,a10)＝ eq \f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)＝ eq \f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－ eq \f(5,3).
答案：－ eq \f(5,3)
15．解析：第一次取出纯酒精1 L，
加水后，浓度为 eq \f(a－1,a)＝1－ eq \f(1,a)，记为a1＝1－ eq \f(1,a)；
第二次取出纯酒精 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))·1 L，
再加水后，浓度为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,a)))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(2)，
记为a2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(2)；……
依次类推，第n次取出纯酒精 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(n－1)·1 L，
再加水后，浓度为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(n)，
记为an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a))) eq \s\up12(n).
当a＝2时，由an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)<10%，得n≥4.
即至少倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
16．解析：an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，
所以an＋1＝lg2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]＝lg2(12·x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ·x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ·x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ·…·x eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(t)) ·22)＝3an－1，所以an＋1－ eq \f(1,2)＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,2)))，
所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,2)))是一个以 eq \f(3,2)为首项，以3为公比的等比数列，所以an－ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2)×3n－1，所以an＝ eq \f(3n＋1,2).