高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和课时训练

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.2 等比数列的前n项和课时训练，共6页。

1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( )
A．63 B．64
C．127 D．128
2．在公比为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8等于( )
A．21 B．42
C．135 D．170
3．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且S3＝2a3－2，则公比q＝( )
A． eq \f(1,2) B．2
C．3 D． eq \f(1,3)
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝( )
A． eq \f(1,8) B．－ eq \f(1,8)
C． eq \f(57,8) D． eq \f(55,8)
5．(多选题)数列{an}对任意的正整数n均有a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ＝anan＋2，若a2＝2，a4＝8，则S10的可能值为( )
A．1 023 B．341
C．1 024 D．342
6．某养猪场2021年年初猪的存栏数1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，….则2035年年底存栏头数为( )
(参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4)
A．1 005 B．1 080
C．1 090 D．1 105
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若 eq \f(S10,S5)＝ eq \f(31,32)，则q＝________．
8．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
9．在等比数列{an}中，a1a2a3＝27，a2＋a4＝30.
(1)求a1和公比q；
(2)求前6项的和S6.
10．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
[提能力]
11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是( )
A．若a3>0，则a2 021<0
B．若a4>0，则a2 020<0
C．若a3>0，则S2 021>0
D．若a4>0，则S2 020>0
12．(多选题)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( )
A．此人第三天走了四十八里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的 eq \f(1,4)
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
13．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________．
14．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2＋a4＋…＋a2n.
[培优生]
16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，求所需的时间约为多少天？
(结果保留一位小数，参考数据：lg 2≈0.30, lg 3≈0.48)
课时作业(九) 等比数列的前n项和(一)
1．解析：设公比为q(q>0)，则1·q4＝16，解得q＝2(q＝－2舍去).于是S7＝ eq \f(1－27,1－2)＝127.
故选C.
答案：C
2．解析：q2＝ eq \f(a3＋a4,a1＋a2)＝4，又q>0，∴q＝2.
∴a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝ eq \f(2,3).
∴S8＝ eq \f(\f(2,3)·（28－1）,2－1)＝170.
故选D.
答案：D
3．解析：由S3＝2a3－2得a3－a2－a1－2＝0，
又∵a1＝2，∴q2－q－2＝0，
即(q－2)(q＋1)＝0，
∴q＝2或q＝－1(舍去).
故选B.
答案：B
4．解析：法一 由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝ eq \f(（S6－S3）2,S3)＝ eq \f(1,8).
法二 因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝ eq \f(S6－S3,S3)＝－ eq \f(1,8)，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,8).
故选A.
答案：A
5．解析：因为数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))对任意的正整数n均有a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ＝anan＋2，所以数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列，因为a2＝2，a4＝8，所以q2＝ eq \f(a4,a2)＝4，所以q＝±2，
当q＝2时a1＝1，所以S10＝ eq \f(1－210,1－2)＝1 023，
当q＝－2时a1＝－1，所以S10＝ eq \f(－1×[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))\s\up12(10)],1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2)))＝341.
故选AB.
答案：AB
6．解析：由题意得：
a1＝1 200，
a2＝1 200×1.08－100，
a3＝1 200×1.082－100×1.08－100，
a4＝1 200×1.083－100×1.082－100×1.08－100，
a5＝1 200×1.084－100×1.083－100×1.082－100×1.08－100，
…
∴2035年年底存栏头数为：
a16＝1 200×1.0815－100(1.0814＋1.0813＋1.0812＋…＋1.08＋1)
≈1 200×3.2－100× eq \f(1×（1－1.0815）,1－1.08)＝1 090.
故选C.
答案：C
7．解析：∵S10＝S5＋(S10－S5)＝S5(1＋q5)，
∴ eq \f(S10,S5)＝1＋q5＝ eq \f(31,32).∴q5＝－ eq \f(1,32)，∴q＝－ eq \f(1,2).
答案：－ eq \f(1,2)
8．解析：根据题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S奇＝－80，,S偶＝－160.))∴q＝ eq \f(S偶,S奇)＝ eq \f(－160,－80)＝2.
答案：2
9．解析：(1)在等比数列{an}中，
由已知可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1·a1q·a1q2＝27，,a1q＋a1q3＝30，))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝3))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－3.))
(2)因为Sn＝ eq \f(a1（1－qn）,1－q)，所以当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝3))时，
S6＝ eq \f(1×（1－36）,1－3)＝ eq \f(1－36,－2)＝364.
当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－3))时，S6＝ eq \f(（－1）×[1－（－3）6],1＋3)＝ eq \f(36－1,4)＝182.
10．解析：由题设知a1≠0，Sn＝ eq \f(a1（1－qn）,1－q)，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q2＝2， ①,\f(a1（1－q4）,1－q)＝5×\f(a1（1－q2）,1－q) ②))
由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0.
∴(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.
因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2，an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，代入①得a1＝ eq \f(1,2)，an＝ eq \f(1,2)×(－2)n－1.
综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，an＝ eq \f(1,2)×(－2)n－1.
11．解析：若a3>0，则a3＝a1q2>0，因此a1>0，当公比q>0时，任意n∈N＋，an>0，故有S2 021>0，当公比q<0时，q2 021<0，则S2 021＝ eq \f(a1（1－q2021）,1－q)>0.
故选C.
答案：C
12．解析：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝ eq \f(1,2)的等比数列．
所以S6＝ eq \f(a1（1－q6）,1－q)＝ eq \f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(6))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192.
a3＝a1q2＝192× eq \f(1,4)＝48，所以A正确．
由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正确．
a2＝a1q＝192× eq \f(1,2)＝96，而 eq \f(1,4)S6＝94.5<96，所以C不正确．
a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×(1＋ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,4))＝336，则后3天走的路程为378－336＝42
而且42×8＝336，所以D正确．
故选ABD.
答案：ABD
13．解析：设数列{an}的公比为q，则由已知得q3＝－2.
又因为a1＋a2＋a3＝ eq \f(a1,1－q)(1－q3)＝1，
所以 eq \f(a1,1－q)＝ eq \f(1,3)，所以S15＝ eq \f(a1,1－q)(1－q15)＝ eq \f(a1,1－q)[1－(q3)5]＝ eq \f(1,3)×[1－(－2)5]＝11.
答案：11
14．解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1.
当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1(n∈N＋).
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n－n＝ eq \f(2（1－2n）,1－2)－n＝2n＋1－n－2.
答案：2n＋1－n－2
15．解析：由条件知S1＝a1＝1.
(1)①当c＝1时，an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))⇒an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,0，n≥2.))
②当c≠1时，an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,（c－1）cn－2，n≥2.))
(2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；
②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝ eq \f(（c－1）（1－c2n）,1－c2)＝ eq \f(c2n－1,1＋c).
16．解析：设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为 eq \f(1,2)，其前n项和为An.莞(植物名)的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.
则An＝ eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝ eq \f(2n－1,2－1)，
令An＝Bn，
化为：2n＋ eq \f(6,2n)＝7，
解得2n＝6或2n＝1(舍去).
即：n＝ eq \f(lg 6,lg 2)＝1＋ eq \f(lg 3,lg 2)≈2.6.
故所需的时间约为2.6天．