高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 数列的函数特性习题，共5页。

1．数列{n2－4n＋3}的图象是( )
A．一条直线
B．一条直线上的孤立的点
C．一条抛物线
D．一条抛物线上的孤立的点
2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
3．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．109 B．108 eq \f(1,8)
C．108 D．107
4．已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(4,11－2n)，则满足an＋1A．3 B．4
C．5 D．6
5．给定函数y＝f(x)的图象，对任意an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an(n∈N＋)，则该函数的图象是( )
6．(多选题)下列四个命题中，正确的有( )
A．数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋ eq \f(1,k)
B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1
D．数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(n,n＋1)，n∈N*，则数列{an}是递增数列
7．已知数列{an}满足a1＜0， eq \f(an＋1,an)＝2(n∈N*)，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”).
8．已知数列{an}的通项公式为an＝4n－102，那么数列{an}中小于零的项共有________项．
9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝ eq \f(n＋1,n).
10．写出数列1， eq \f(2,3)， eq \f(3,5)， eq \f(4,7)，…的通项公式，并判断它的增减性．
[提能力]
11．若数列{an}的通项公式an＝ eq \f(3n－5,3n－14)，则在数列{an}的前20项中，最大项和最小项分别是( )
A．a1，a20 B．a20，a1
C．a5，a4 D．a4，a5
12．(多选题)已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的值可能为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
13．已知数列{an}中，an＝n· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9))) eq \s\up12(n＋1)，当an最大时，n＝________．
14．已知数列{an}，对于任意的正整数n，an＝n2＋λn.若数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________________．
15．已知数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(n,n＋51).
(1)问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由；
(2)计算an＋1－an，并判断其符号；
(3)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？
[培优生]
16．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－ eq \f(1,2)，a2＝－ eq \f(3,4).
(1)求{an}的通项公式；
(2)－ eq \f(255,256)是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
课时作业(二) 数列的函数特性
1．解析：an＝n2－4n＋3是关于n的二次函数，故其图象是抛物线y＝x2－4x＋3上一群孤立的点．
故选D.
答案：D
2．解析：因为an＋1－an＝3>0，故数列{an}是递增数列．
故选A.
答案：A
3．解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n2－\f(29,2)n))＋3＝－2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(29,4))) eq \s\up12(2)＋3＋ eq \f(292,8)，当n＝7时，an最大且等于108.
故选C.
答案：C
4．解析：由an＋1＝ eq \f(8,（9－2n）（11－2n）)<0，解得 eq \f(9,2)所以n＝5.
故选C.
答案：C
5．解析：由an＋1>an可知数列{an}为递增数列，又由an＋1＝f(an)>an可知，当x∈(0，1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方．
故选A.
答案：A
6．解析：数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋ eq \f(1,k)，A正确；令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))，则其通项公式为bn＝2n eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))，C错误；an＝ eq \f(n,n＋1)＝1－ eq \f(1,n＋1)，则an＋1－an＝ eq \f(1,n＋1)－ eq \f(1,n＋2)＝ eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋2)))>0，
因此数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是递增数列，D正确．
故选ABD.
答案：ABD
7．解析：由已知a1＜0，an＋1＝2an(n∈N*)，得an＜0(n∈N*).因为an＋1－an＝2an－an＝an＜0，所以{an}是递减数列．
答案：递减
8．解析：令4n－102<0，得n<25 eq \f(1,2)，所以数列{an}中小于零的项共有25项．
答案：25
9．解析：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，图象如图①.
(2)a1＝2，a2＝ eq \f(3,2)，a3＝ eq \f(4,3)，a4＝ eq \f(5,4)，a5＝ eq \f(6,5)，图象如图②.
10．解析：数列的通项公式an＝ eq \f(n,2n－1).
因为an＋1－an＝ eq \f(n＋1,2n＋1)－ eq \f(n,2n－1)＝ eq \f(－1,（2n＋1）（2n－1）)<0，
所以an＋111．解析：由于an＝ eq \f(3n－5,3n－14)＝ eq \f(3n－14＋9,3n－14)＝1＋ eq \f(3,n－\f(14,3))＝1＋ eq \f(9,3n－14)，因此当1≤n≤4时，{an}是递减的，且a1>0>a2>a3>a4；当5≤n≤20时，an>0，且{an}也是递减的，即a5>a6>…>a20>0，因此最大的是a5，最小的是a4.
故选C.
答案：C
12．解析：由题意知an＋13－3n，因为n∈N*，所以3－3n≤0(n＝1时等号成立)，即3－3n的最大值为0，所以k>0.故选CD.
答案：CD
13．解析：an＋1－an＝(n＋1)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9))) eq \s\up12(n＋2)－n· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9))) eq \s\up12(n＋1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9))) eq \s\up12(n＋1)· eq \f(7－2n,9)，故当n＝1，2，3时，an＋1>an；当n≥4时，an＋1答案：4
14．解析：∵{an}是递增数列，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0对于任意的正整数n恒成立，即λ>－2n－1对于任意的正整数n恒成立，∴λ>－3.
答案：(－3，＋∞)
15．解析：(1)0.25是这个数列的项．
令an＝ eq \f(n,n＋51)＝0.25，即 eq \f(n,n＋51)＝ eq \f(1,4)，解得n＝17，
∴0.25是数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的项，是第17项．
(2)由题知， an＋1－an＝ eq \f(n＋1,n＋52)－ eq \f(n,n＋51)
＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋51))－n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋52)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋51))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋52)))＝ eq \f(51,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋51))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋52)))
∵n∈N*，∴n＋51>0，n＋52>0，即an＋1－an>0.
(3)由(2)可得数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))是递增数列，则最小项为首项，即a1＝ eq \f(1,1＋51)＝ eq \f(1,52)，无最大项．
16．解析：(1)因为an＝pn＋q，
又因为a1＝－ eq \f(1,2)，a2＝－ eq \f(3,4)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＋q＝－\f(1,2)，,p2＋q＝－\f(3,4)，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)，,q＝－1，))
因此{an}的通项公式是an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)－1(n∈N*).
(2)令an＝－ eq \f(255,256)，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)－1＝－ eq \f(255,256)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)＝ eq \f(1,256)，解得n＝8.故－ eq \f(255,256)是{an}中的第8项．
(3)由于an＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)－1，且 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n)随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．