高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列学案设计

4.2.2等差数列的前n项和公式（1）  导学案

1.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用.

2.会求等差数列前n项和的最值.

重点：求等差数列前n项和的最值

难点： 等差数列前n项和的性质及应用

等差数列的前n项和公式

功能1：已知a1，an和n，求Sn .

功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个.

1．思考辨析

(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(　　)

(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．(　　)

(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.(　　)

2．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)

A．9　　　　B．10            C．11             D．12

3．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.

4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________.

一、典例解析

例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？

1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．

2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：

(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．

(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.

跟踪训练1. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

例9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法：

(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．

(2)借助二次函数的图象及性质求最值．

  2．寻求正、负项分界点的方法：

 (1)寻找正、负项的分界点来寻找．

 (2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．

跟踪训练2. 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，

(1)求{an}的通项公式；

(2)问{an}的前多少项和最大；

(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′

.

1．（多选题）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题正确的是(　　)

A.d<0；    B.S11>0；     C.S12<0；     D.数列{Sn}中的最大项为S11

2．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________．

3．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－30n.

(1)求数列 {an}的通项公式an；

(2)求Sn的最小值及对应的n值.

等差数列前n项和Sn的最值

(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．

(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．

特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．

参考答案：

知识梳理

1．[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2．B　[∵＝，∴＝.∴n＝10.故选B项．]

3． 15　[由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得S6＝15.]

4． 23或24　[由an≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]

学习过程

一、典例解析

例8.分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列{an} 的前项和为。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。

解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.

根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.

由 a1 21

因此，第1排应安排21个座位。

解得a1＝21.

因此，第1排应安排21个座位.

跟踪训练1. 分析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．

解:从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.

25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，

∴在24小时内能构筑成第二道防线．

例9.分析 数项的和。

另一方面，等差数列的前n项和公式可写成

，所以当时， 可以看成二次函数

，当= 时函数值。如图，当 时， 关于的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的, 的值。

解法1.

由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是递减数列.

由a1＝10，d＝－2，

得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.

可知，当n＜6时，an＞0；

当n＝6时，an＝0；

当n＞6时，an＜0.

所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…

也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.

因为 =30

所以Sn的最大值为30.

解法2：因为由a1＝10，d＝－2，

因为

所以，当n取与 最接近的整数，

即5或6时，Sn最大，最大值为30.

跟踪训练2. 分析：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．

(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解

(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．

[解]　(1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，

 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.

故{an}的通项公式为an＝34－2n.

法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次

型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知

解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.

(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，

故数列{an}的前17项大于或等于零．

又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．

法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝.

距离最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的

图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，

故数列{an}的前16项或前17项的和最大．

(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；

当n≥18时，an<0.

所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn

＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.

当n≥18时，

Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)

＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn

＝n2－33n＋544.

故Sn′＝

达标检测

1．【答案】AB　

解析∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，

∴a6>0，∴d<0，A正确．又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确．

S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确．{Sn}中最大项为S6，D不正确．

故正确的是AB]

2． 【答案】6或7　

[由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒

a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小．]

3．【答案】　(1)∵Sn＝n2－30n，

∴当n＝1时，a1＝S1＝－29.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－30n)－[(n－1)2－30(n－1)]＝2n－31.

∵n＝1也适合，

∴an＝2n－31，n∈N*.

 (2)法一：Sn＝n2－30n

＝2－225

∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.

法二：∵an＝2n－31，∴a1<a2<…<a15<0，当n>15时，an>0.

∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225.