高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数练习

人教A版（2019）必修第一册第四章4.4对数函数

4.4.2对数函数的图象和性质练习题

一、单选题

1．函数的图像为（    ）

A．B．C． D．

2．已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

5．函数f（x）＝|ax－a|(a>0且a≠1)的图象可能为（    ）

A． B． C． D．

6．下列函数中是减函数的为（    ）

A． B．

C． D．

7．设，则a，b，c的大小关系为（   ）

A． B．

C． D．

8．已知函数 (a>0且a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知定义在R上的函数满足，对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

10．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

11．记函数的定义域为集合A，若“”是关于x的不等式成立”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

12．下列函数在上是减函数的为（       ）

A． B．

C． D．

13．下列函数是偶函数且值域为的是（    ）

①；②；③；④ .

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

14．已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

15．已知，则（    ）

A． B． C． D．

16．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

17．已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

18．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

19．已知函数 在上单调递减，则的取值范围（   ）

A． B． C． D．

20．函数的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

21．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

二、解答题

22．比较下列各数的大小：

（1）与；

（2）与；

（3）与.

23．已知函数的图象经过点.

(1)求a的值，及的定义域；

(2)求关于x的不等式的解集.

24．已知函数.

(1)若对于任意恒成立，求的取值范围；

(2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

25．已知函数.

(1)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

问题：已知函数___________，，求的值域.

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

(2)若，，，求的取值范围.

26．已知______，且函数.

①函数在定义域上为偶函数；

②函数在上的值域为.

在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.

(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；

(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围.

27．定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L．

（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．

（2）判断函数在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．

（3）若函数在区间上具有性质L，求实数a的取值范围．

三、填空题

28．函数的定义域是___________.

29．在上递减，则a的范围是_________．

30．已知函数，则函数的单调递增区间为__．

31．已知函数的值域为R，则实数的范围是_________

32．已知函数且，且的图象恒过定点，则点的坐标为_________.

33．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是____．

34．若，，且，则的最小值为___________.

四、多选题

35．已知函数和的零点所构成的集合分别为M，N，若存在，，使得，则称与互为“零点伴侣”．若函数与互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

36．已知函数，下列结论中正确的是（    ）

A．当时，的定义域为

B．一定有最小值

C．当时，的值域为R

D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是

参考答案：

1．A

【分析】根据函数的定义域为可排除B、D.再由单调性即可选出答案.

【详解】当时，，故排除B、D.

当时，，故A正确.

故选A.

【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的值，判断 的正负号.

2．C

【分析】根据对数函数可以解得，，再结合中间值法比较大小．

【详解】设，由题意可得：，则

∴

，，

∴

故选：C．

3．A

【分析】利用函数的奇偶性排除选项D，利用当时，，排除选项B，C，即得解.

【详解】解：∵函数的定义域为，关于原点对称，，∴为奇函数，排除选项D．

当时，，，∴，排除选项B，C．

故选：A．

4．A

【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.

【详解】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；

当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.

故选：A.

5．C

【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.

【详解】当时，，

显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，

函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；

对于CD，因为渐近线为，故，故时，，

故选项C符合，D不符合；

当时，，

当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，

 函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；

故选：C

6．B

【分析】利用对数函数单调性判断选项A；利用指数函数单调性判断选项B；利用幂数函数单调性判断选项C；利用二次函数单调性判断选项D.

【详解】选项A：由，可得为增函数.判断错误；

选项B：由，可得为增函数，则是减函数.判断正确；

选项C：由，可得是减函数，则为增函数.判断错误；

选项D：在上单调递增. 判断错误.

故选：B

7．B

【分析】计算可得，再分析，即可判断

【详解】由题意，，，，故

故选：B

8．C

【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.

【详解】二次函数的对称轴为：，

因为二次函数开口向上，所以当时，该二次函数不可能单调递增，

所以函数是实数集上的减函数，

则有，

故选：C

9．B

【分析】由题设知在R上递增，将不等式转化为，利用单调性求解集即可.

【详解】由题设时，即在R上递增，

又，而等价于，

所以，即，可得.

故不等式解集为.

故选：B

10．C

【分析】依题意可得，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域.

【详解】解：依题意可得，即，所以，

即函数的定义域为.

故选：C

11．B

【分析】求出函数的定义域得集合，解不等式得的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.

【详解】函数有意义的条件为，解得，

所以，不等式，即，

因为，所以，记不等式的解集为集合，

所以，所以，得.

故选：B．

12．C

【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.

【详解】对于选项A，在上无意义，不符合题意；

对于选项B，在上是增函数，不符合题意；

对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意；

对于选项D，在上是增函数，不符合题意.

故选：C.

13．C

【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.

【详解】对于①，是偶函数，且值域为；

对于②，是奇函数，值域为；

对于③，是偶函数，值域为；

对于④，是偶函数，且值域为，

所以符合题意的有①④

故选：C.

14．D

【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围.

【详解】时，，时，，

若要使得存在最小值，只需要，即.

故选：D.

15．A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】［方法一］：（指对数函数性质）

由可得，而，所以，即，所以.

又，所以，即，

所以.综上，.

［方法二］：【最优解】（构造函数）

由，可得．

根据的形式构造函数 ，则，

令，解得 ，由 知 .

在 上单调递增，所以 ，即 ，

又因为 ，所以 .

故选：A.

【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．

16．A

【分析】根据一元二次不等式的求解得，根据集合的交运算即可求解.

【详解】因为，，所以，

故选：A．

17．B

【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．

【详解】，即为，即有ab＝1.

当a＞1时，0＜b＜1，

函数与均为减函数，四个图像均不满足

当0＜a＜1时，b＞1，

函数数与均为增函数，排除ACD

在同一坐标系中的图像可能是B，

故选：B．

18．B

【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可

【详解】由题意，，故

故

故选：B

19．B

【分析】转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果.

【详解】因为函数 在上单调递减，

所以函数在上单调递增，且在上恒成立，

所以，解得.

故选：B

20．A

【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果

【详解】由，得，

令，则，

在上递增，在上递减，

因为在定义域内为增函数，

所以的单调递减区间为，

故选：A

21．A

【分析】由是R上的奇函数求出a值，并求出时，函数的解析式，再分段讨论解不等式作答.

【详解】因函数是定义在R上的奇函数，且当时，，

则，解得，即当时，，

当时，，则，

而当时，，则当时，，即，

变形得，解得，

所以不等式的解集为.

故选：A

22．（1）.（2）.（3）.

【分析】（1）根据，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；

（2）根据，在定义域内是增函数，可得，故，即可比较二者大小；

（3）根据，，即可比较二者大小.

【详解】（1）设.

且是减函数，

，

即.

（2）是增函数，

.

，

即.

（3）且，

.

【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

23．(1)，定义域为

(2)

【分析】（1）直接将代入函数解析式，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；

（2）依题意可得，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

（1）

解：由题意可得，即，所以，

解得，

则.

由，解得.

所以的定义域为.

（2）

解：由（1）可得，

不等式可化为，

因为在上是增函数，

所以，

解得.

故不等式的解集为.

24．(1)

(2)存在，

【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，利用对数的图像与性质即可求得；

（2）先整理得到，

令， ，研究函数，，根据二次函数的单调性对m进行分类讨论，即可求出m.

（1）

由题意可知，对于任意恒成立

代入可得所以对于任意恒成立

令

因为，所以由对数的图像与性质可得：，所以.

即实数a的范围为.

（2）

由，，且

代入化简可得.

令，因为，所以

则，

①当，即时，在上为增函数，

所以，解得，不合题意，舍去

②当，即时，在上为减函数，在上为增函数，

所以，解得，所以

③当，即时，在上为减函数，

所以解得不合题意，舍去，

综上可知，.

【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.

25．(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到的值域；

（2）令，求出其最小值，则问题转化为恒成立，进而求最小值即可.

（1）

选择①，，

令，则，故函数的值域为R，即的值域为R.

选择②，，令，则，

因为函数单调递增，所以，即的值域为.

（2）

令.

当时，，，；

当时，，，.

因为，所以的最小值为0，

所以，即.

令，则，所以，

故，即的取值范围为.

26．(1)选择条件见解析，a＝2，b＝0；为奇函数，证明见解析；

(2).

【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数；

若选择②，利用单调性得到关于的方程，求解即可；

将的值代入到的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性；

（2）将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.

（1）

选择①.

由在上是偶函数，

得，且，所以a＝2，b＝0.

所以.

选择②.

当时，在上单调递增，则，解得，

所以.

为奇函数.

证明如下：的定义域为R.

因为，所以为奇函数.

（2）

当时，，因为，当且仅当，即x＝1时等号成立，所以；

当时，因为为奇函数，所以；

当x＝0时，，所以的值域为.

因为在上单调递减，所以函数的值域是.

因为对任意的，总存在，使得成立，

所以，所以,解得.

所以实数c的取值范围是.

27．（1）；（2）函数在区间上具有性质L；答案见解析；（3）．

【分析】（1）由于底数在上的对数函数满足题意，故可得答案；

（2）任取，且，对与作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，可得结论；

（3）函数在区间上具有性质L，即恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围．

【详解】（1）如（或底在上的对数函数）；

（2）函数在区间上具有性质L．

证明：任取，且，

因为且，

所以，即．

所以函数在区间上具有性质L．

（3）任取，且，则

因为且，所以，

要使上式大于零，必须在上恒成立，

即，

，

令，则在上单调递减，即

所以，即实数a的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒成立问题，解决本题的关键点是将函数在区间上具有性质L，即恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．

28．

【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域

【详解】由题意可得解得，即的定义域是.

故答案为：

29．

【分析】使复合函数在上递减，需内增外减或外增内减，讨论a求解即可

【详解】由题可得，根据对数的定义，且，所以是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到，所以.

故答案为：.

30．，

【分析】先根据题意求出的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可

【详解】由，得，由，得，

所以当时，，则在上递增，

当时，，

则，

由，得，解得，

所以在上递增，

综上得函数的单调递增区间为，．

故答案为：．

31．

【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．

【详解】当时，，因此当时，的取值范围应包含，

∴，解得．

故答案为．

【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．

32．

【解析】根据对数函数的性质求解．

【详解】令，则，，即图象过定点．

故答案为：

33．

【分析】利用函数图像，数形结合进行分析.

【详解】不妨设，画出函数图像：

，

，

，，

解得，，

．

故答案为：．

34．2

【分析】由均值不等式求出的最小值，再由对数的运算及性质即可求解.

【详解】因为，，且，

所以，即，当且仅当，即时等号成立，

即的最小值为4，

所以

故答案为：2

35．AD

【分析】首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.

【详解】因为函数是R上的增函数，且，所以，结合“零点伴侣”的定义得，则，

又函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，

整理得，

令，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，

又，，，所以函数的值域为，

所以实数a的取值范围是．

故选：AD．

36．AC

【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.

【详解】对于A，当时，，令，解得或，则的定义域为，故A正确；

对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；

对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，，

则，解得，故D错误．

故选：AC．