高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解同步测试题

8.1.2　用二分法求方程的近似解

基础过关练

题组一　对二分法概念的理解

1.(2020江苏盐城滨海高一上学期期末)下列函数中,不能用二分法求函数零点的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. f(x)=2x-1    B. f(x)=x2-2x+1

C. f(x)=log2x D. f(x)=ex-2

2.下列函数图象所表示的函数中,能用二分法求零点的是(　　)

3.已知函数f(x)在区间(0,a)(a>0)上有唯一的零点,在用二分法求零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)在区间内一定有零点

B.函数f(x)在区间或内有零点或零点是

C.函数f(x)在内无零点

D.函数f(x)在区间或内有零点

题组二　用二分法求方程的近似解

4.(2020福建莆田第七中学高一上学期期中)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解时,可以取的一个区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5.(2020江苏淮安清江中学高一上学期期中)利用二分法求f(x)=x3-2的零点时,第一次确定的区间是(1,2),第二次确定的区间是(　　)

A.(1,3) B. C. D.

6.函数f(x)=x3+x2-2x-2的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算的数据如表:

则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确到0.1)为(　　)

A.1.1 B.1.3 C.1.4 D.1.5

7.已知二次函数f(x)=x2-x-6在区间[1,4]上的图象是不间断的,且f(1)=-6<0, f(4)=6>0,故函数在(1,4)内有零点,用二分法求解时,取1和4的平均数a,则f(a)=　　　　. 

8.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:

若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)内,则a的值为　　　　. 

9.在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,应用二分法,最多称　　　　次就可以发现这枚假币. 

10.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确到0.1).

11.已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0, f(1)>0.

(1)证明:a>0;

(2)利用二分法证明方程 f(x)=0在区间[0,1]内有两个不同的实数根.

12.2019年5月26日秘鲁北部发生了7.8级地震.地震发生后,停水断电,交通受阻.已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障),这是一条10 km长的线路,每隔50 m有一根电线杆,如何迅速查出故障所在?

答案全解全析

8.1.2　用二分法求方程的

近似解

基础过关练

1.B　对于A选项, f=0,且f(0)·f(1)<0,A选项中的函数能用二分法求零点;

对于B选项, f(x)=(x-1)2≥0,当x≠1时,f(x)>0,B选项中的函数不能用二分法求零点;

对于C选项, f(1)=0,且f·f(2)<0,C选项中的函数能用二分法求零点;

对于D选项, f(ln 2)=0,且f(0)·f(1)<0,D选项中的函数能用二分法求零点.

故选B.

2.C　在A中,函数无零点.在B和D中,函数有零点,但它们在零点左右的函数值符号相同,因此它们都不能用二分法求零点.在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且在交点两侧的函数值符号相反,所以C中表示的函数能用二分法求零点.故选C.

3.B　根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此零点应在或内或零点是.故选B.

4.C　设f(x)=log3x-3+x.

当连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0时,f(x)在区间(a,b)上有零点,即方程log3x=3-x在区间(a,b)上有解.

因为f(x)在(0,+∞)上的图象是不间断的,且f(1)=log31-3+1=-2<0,

f(2)=log32-1<0,

f(3)=log33-3+3=1>0,

f(4)=log34-3+4=1+log34>0,

所以f(2)·f(3)<0,故函数f(x)在区间(2,3)上有零点,即方程log3x=3-x在区间(2,3)上有解.故选C.

5.C　因为f(x)=x3-2,

所以f(1)=-1<0, f>0,f(2)=6>0,

所以第二次确定的区间是.

故选C.

6.C　由二分法及题表中数据知零点在(1.406 25,1.437 5)上,因为1.406 25与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4,所以此方程的近似解为1.4.故选C.

7.答案　-2.25

解析　显然a=2.5,则f(a)=f(2.5)=2.52-2.5-6=-2.25.故答案为-2.25.

8.答案　-1或-0.8

解析　令f(x)=2x-x2,由题表中的数据可得f(-1)<0, f(-0.6)>0, f(-0.8)<0, f(-0.4)>0,

所以方程有一个根位于区间(-1,-0.6)或(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.

9.答案　4

解析　将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那13枚金币里面.从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,放在天平上,若天平平衡,则拿出的那一枚一定是假币;若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面.将这6枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那3枚金币里面.从这3枚金币中任意拿出2枚放在天平上,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币;若不平衡,则质量小的那一枚是假币.

综上,最多称4次就可以发现这枚假币.

10.解析　令f(x)=x2-6x+7,作出函数f(x)的草图如图所示.

因为f(1)=2>0, f(2)=-1<0,

所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,

记为x1,取1与2的平均数1.5,

因为f(1.5)=0.25>0,

所以1.5<x1<2.

再取1.5与2的平均数1.75.

因为f(1.75)=-0.437 5<0,

所以1.5<x1<1.75,

如此继续下去,得f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),

f(1.562 5)>0, f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625).

因为1.562 5≈1.6,1.625≈1.6,所以区间(1.562 5,1.625)内的所有数精确到0.1的近似数都是1.6.

所以方程x2-6x+7=0的一个近似解为1.6.同理可得,方程的另一个近似解为4.4.

11.证明　(1)∵f(1)>0,

∴f(1)=3a+2b+c>0,

即3(a+b+c)-b-2c>0.

∵a+b+c=0,

∴a=-b-c,-b-2c>0,

∴-b-c>c,即a>c.

∵f(0)>0,

∴f(0)=c>0,∴a>0.

(2)取0和1的平均数,

则fa<0.

∵f(0)>0, f(1)>0,

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.

∵f(x)为二次函数,最多有两个零点,

∴方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个不同的实数根.

12.解析　如图,首先从中点C开始检查,若AC段正常,则故障在BC段;再从BC段中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段;再从BD段中点E检查,……如此这般,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,经过7次查找,将故障范围缩小到50~100 m之间,即可迅速找到故障所在.