人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合练习

人教A版（2019）选择性必修第三册 6.2 排列与组合 同步练习

一、单选题

1．甲､乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（       ）

A．6 B．4 C．8 D．10

2．五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫､商､角､徵､羽，如果将这五个音排成一排，宫､羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（       ）

A．20种 B．24种 C．32种 D．48种

3．某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（       ）

A．126 B．360 C．600 D．630

4．某职校选出甲､乙､丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1~6名的名次（无并列）.甲､乙､丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6人的名次情况共有（       ）

A．72种 B．36种 C．96种 D．48种

5．某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（       ）

A．10 B．30 C．60 D．125

6．已知，则的值为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7． 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有种.

A． B．3 C． D．

8．把座位号为、、、、、的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（       ）

A． B． C． D．

9．一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（       ）种情况.

A．288 B．864 C．1436 D．1728

10．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的安排方法有（       ）种

A．432 B．72 C．288 D．360

11．用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有（       ）

A．48个 B．64个

C．72个 D．90个

12．在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（       ）

A．19种 B．20种 C．30种 D．60种

13．从1，2，3，4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（       ）

A．2 B．4 C．12 D．24

14．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（       ）

A．4种 B．5种 C．6种 D．12种

15．若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有（       ）

A．1224 B．1800 C．1560 D．840

二、填空题

16．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________．

17．若，则的取值集合是______．

18．四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示）

三、解答题

19．要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？

（1）甲当选且乙不当选；

（2）至多有3名男生当选．

20．某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.

（1）该小组中男女学生各多少人？

（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）

（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）

21．某同学将5个完全相同的正方形纸板按如图所示的方式摆放，并给它们染色，每个纸板染一种颜色，相邻的纸板颜色不能相同．

（1）若用3种颜色染色，不同的染色方案共有多少种？

（2）若用5种颜色染色，不同的染色方案共有多少种？

22．如图，用红、黄、蓝三种颜色涂图中标号分别为1，2，3，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的3个小正方形涂相同的颜色，则符合条件的涂法共有多少种？

参考答案：

1．B

先排甲，有2种方法，然后乙和丙全排列即可.

【详解】

先排甲，有2种方法，然后乙和丙全排列即可，所以共有种排法.

故选：B.

2．C

根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.

【详解】

根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一､二､三､四､五分两类：

第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有（种）；

第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有（种）；

根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有（种）.

故选：C.

3．D

按两个班共选择活动项数进行分类，至少选两项，至多选四项，故分三类求解即可.本题等同染色问题，即四区域六色涂，相邻不能涂同色问题.

【详解】

按两个班共选择活动项数分三类：

第一类：两个班共选择2项活动，有种方法；

第二类：两个班共选择3项活动，有种方法；

第三类：两个班共选择4项活动，有种方法.

则活动安排方案的种数为.

故选：D.

直接分类法是求解有限制条件排列问题的常用方法：先选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数.而对于分类过多的问题，正难则反，一般采用间接法处理.

4．D

由题意，知甲､乙､丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，然后利用分步分类计数原理求解即可

【详解】

由题意，知甲､乙､丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，

当丙是第2名时，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一个，所以有种情况；

当丙是第3名时，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有种情况.

故共有种不同的情况.

故选：D.

5．C

先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.

【详解】

根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，

则有种选法；

故选：C.

本题主要考查排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

6．B

根据排列数的计算公式，进行计算即可.

【详解】

，

化简得，所以.

故选：B

7．A

首先把12个人平均分成3组，这是一个平均分组.从12个中选4个，从8个中选4个，最后余下4个，这些数相乘再除以3的全排列.再把这3个小组作为3个元素分到3个路口，这样就有一个全排列，根据分步计数原理得到结果.

【详解】

属于平均分组且排序型，共有种.

故选：A.

本题考查了平均分组分配问题，属于基础题.

8．B

根据题意，利用隔板法，先将座号、、、、、分成四份，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人即可.

【详解】

因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，

又分给甲、乙、丙、丁四个人，

则在座位号、、、、、的五个空位插3个板子，有种，

然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有种，

所以不同的分法种数为,

故选：B

9．B

分别算出左边密码锁和右边密码锁的设置方式，再相乘即可得到.

【详解】

左边密码锁的四个数字共有种设法，右边密码锁的四个数字共有种设法，故密码设置的方法有种.

故选：B.

方法点睛：本题考查排列组合，解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件，解题时要细心、周全，做到不重不漏，考查学生的计算，属于基础题.

10．A

三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为，三门文化课中相邻排列，则排法种数为，即求．

【详解】

把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，

这三门课中间存在两个空，在两个空中，

①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，

②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为，

③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，

然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为，

相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的安排方法有，

故选：A．

11．C

根据排列的定义，结合分步计算原理进行求解即可

【详解】

满足条件的五位偶数有：.

故选：C.

12．A

利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.

【详解】

6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.

故选：A

13．C

14．C

按甲先传给乙和甲先传给丙分两类，两类方法相等，对第一类用列举法写出不同的传递方式后可得．

【详解】

解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.

答案：C．

15．B

首先为奇数，则为偶数，进而根据的奇偶分布情况求排列方法数，再为偶数，则为三个奇数，求排列方法数，进而加总.

【详解】

当为奇数时，为偶数：

1、一偶两奇，此时不同排列方法为种；

2、两偶一奇，此时不同排列方法为种；

3、三个偶数，此时不同排列方法为种；

当为偶数时，为奇数，此时三个奇数，不同排列方法为种；

综上，不同排列方法有1800种.

故选：B

16．16

根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．

【详解】

根据题意，可分三步进行分析：

（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；

（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；

（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，

安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，

所以不同的排课方法的种数是种，

故答案为：16．

17．

根据组合数的计算公式即可求解.

【详解】

因为，所以

所以，解得：，

因为，所以．

所以的取值集合为，

故答案为：.

18．

由题意，先分组再分配，先将四名志愿者分为三组，然后按照特殊元素优先考虑再进行分配，从而求解出不同安排方法种数.

【详解】

由题意，将四名志愿者先分为三组，有种，因为志愿者甲第一天不能参加，所以有种分配方式，所以不同的安排方法一共有种.

故答案为：

19．（1）70；（2）186．

（1）由题设，在除甲、乙的剩余8人中选4人参加活动，即可求选法数.

（2）将选法分为3男2女、2男3女、1男4女，分别求选法数，最后加总即为总选法数.

【详解】

（1）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有=70种选法．

（2）至多有3男当选时，应分三类：

第一类是3男2女，有种选法；

第二类是2男3女，有种选法；

第三类是1男4女，有种选法．

由分类加法计数原理知，共有=186种选法．

20．（1）男生有6人，女生有3人.（2）（3）

（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.

【详解】

解：（1）设男生有人，则，

即，解之得，

故男生有6人，女生有3人.

（2）方法一：按坐座位的方法，

第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；

第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；

故，一共有种重新站队方法.

方法二：除序法

第一步：9名学生站队共有种站队方法；

第二步：3名女生有种站队顺序；

故一共有种站队方法，

所以重新站队方法有

（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；

第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种

第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种

故一共有：种站队方法.

本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.

21．（1）36；（2）1040.

如图所示，用A，，，，分别对各个区域进行标记．

（1）先对A，染色，有种染色方案，然后分，同色，若，A同色，若与A，均不同色三类，再根据分类相加和分步相乘原理即可得出答案；

（2）先对A，染色，有种染色方案；然后分，同色，，A同色，与A，均不同色，三类，再根据分类相加和分步相乘原理即可得出答案.

【详解】

解：（1）如图所示，用A，，，，分别对各个区域进行标记．

先对A，染色，有种染色方案；

再对染色，分以下情况讨论：

①若，同色，则，的染色方案有1种；

②若，A同色，则，的染色方案有（种）；

③若与A，均不同色，则，，的染色方案有2种．

综上，所求染色方案共有（种）．

（2）用A，，，，分别对各个区域进行标记，同（1）中图．

先对A，染色，有种染色方案；

再对染色，分以下情况讨论：

①若，同色，则，的染色方案有（种）；

②若，A同色，则，的染色方案有（种）；

③若与A，均不同色，则，，的染色方案有（种）．

综上，所求染色方案共有（种）．

22．108（种）

分三步：首先看图形中的1，5，9，有3种可能；再看2，3，6；最后看4，8及7，运用分步计数原理可得答案.

【详解】

把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法．

第二部分2，3，6，分以下两种情况：

①若标号为2，6的小正方形同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有（种）；

②若标号为2，6的小正方形不同色，则标号为2，6，3的小正方形的不同涂法有（种），

所以标号为2，3，6的小正方形的不同涂法共有（种）．

同理，第三部分4，7，8的不同涂法也有6种．

所以符合条件的涂法共有（种）．