数学6.2 排列与组合课后复习题

这是一份数学6.2 排列与组合课后复习题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选择性必修第三册 6.2 排列与组合 同步练习 一、单选题1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有A．60种 B．20种 C．10种 D．8种2．某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（       ）A．36 B．96 C．114 D．1303．某职校选出甲､乙､丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1~6名的名次（无并列）.甲､乙､丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6人的名次情况共有（       ）A．72种 B．36种 C．96种 D．48种4．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种5．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有（       ）A．12种 B．24种 C．48种 D．120种6．年二十国集团()领导人峰会将在日本大阪开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，日本大阪市长决定举办大型歌舞晚会，现从、、、、共名歌手中任选人出席演唱活动，当名歌手中有和时，需排在的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有（       ）．A．种B．种C．种D．种7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（       ）种A．5 B．8 C．14 D．218．下面问题中，是排列问题的是（     ）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合9．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（       ）A．20 B．55 C．30 D．2510．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（       ）A．4种 B．5种 C．6种 D．12种11．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（       ）A．51个 B．54个 C．12个 D．45个12．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知，客运车票增加了62种，则现在车站的个数为（       ）A．15 B．16 C．17 D．1813．某校得到北京大学给的10个推荐名额现准备将这10个推荐名额分配给高三年级的6个班级(每班至少一个名额)，则高三（1）班恰好分到3个名额的概率为（       ）A． B． C． D．14．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（       ）A．54种 B．60种 C．72种 D．96种15．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（       ）A．288种 B．144种 C．72种 D．36种二、填空题16．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.17．从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位偶数.（用数字作答）18．若，则n的值是______．三、解答题19．（1）求方程的非负整数解的组数；（2）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数．20．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？21．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？22．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
参考答案：1．C 【详解】 试题分析：根据题意，先安排4盏不亮的路灯，有1种情况，排好后，有5个空位；在5个空位中任意选3个，插入3盏亮的路灯，有种情况，则不同的开灯方案有10种，故选C． 考点：1、排列；2、组合．2．D  只需研究剩下的5人的安排方案，可分5人都不去A校，去A校且5人分成1，1，3三组，去A校且5人分成1，2，2三组，三种情况讨论求解即可.【详解】甲去A校，再分配其他5个人，①如果都不去A校，则分配方法有种；②如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有种；③如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有种；由加法原理可得不同分配方法有16+42+72＝130种．故选：D． 本题考查排列组合问题，解题的关键在于分配其他5个人，分5人都不去A校、去A校且5人分成1，1，3三组、去A校且5人分成1，2，2三组这三类讨论求解.3．D  由题意，知甲､乙､丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，然后利用分步分类计数原理求解即可【详解】由题意，知甲､乙､丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，当丙是第2名时，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一个，所以有种情况；当丙是第3名时，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有种情况.故共有种不同的情况.故选：D.4．C  先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C. 本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.5．B  甲、乙相邻，利用捆绑法看作一个元素，求出总排法，再求出甲、乙相邻且在两端的排法，用总排法减去甲、乙相邻且在两端的排法即得答案.【详解】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有种排法，甲乙相邻且在两端有种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有(种)．故选：B． 方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．A  运用分类计算原理，结合组合与排列的定义进行求解即可.【详解】第一种情况：和都不选时方法有种，第二种情况：和只选一个时方法有种，第三种情况：和都选时方法有种，则不同的出场方法有种，故选：A7．C  按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，共有，故选：C． 关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．A  根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据排列及排列数的定义，可得：对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A.9．D  根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，则有种不同的选取方案，故选：D．10．C  按甲先传给乙和甲先传给丙分两类，两类方法相等，对第一类用列举法写出不同的传递方式后可得．【详解】解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式.答案：C．11．A  由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）由分类加法计数原理得共有(个)．故选：A． 方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．12．C  由题意得，化简计算可得，由于，，可得，从而可求出，经验证可得答案【详解】原来个车站有种车票，新增了个车站，有种车票，由题意得，即，整理得，∴，∵，，∴，∴，解得，即.当时，均不为整数，只有当时，符合题意，∴，故现在有17个车站.故选：C.13．B  利用隔板法，结合古典概型即可得到结果.【详解】将10个名额分给6个班，每班至少一个名额，即从9个分段中选择5个段分开，共有种方法，若三（1）班恰好分到3个名额，则只需将剩下的7个名额分给5个班，共有方法，从而概率为.故选：B14．A  甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，先排乙，可以是第二，三，四名3种情况，再排甲，也有3种情况，余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理求解即可.【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：A. 思路点睛：解决排列组合问题的一般过程：（1）认真审题弄清楚要做什么事情；（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.15．B  利用捆绑法和插空法可求得结果.【详解】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.根据分步计数原理，共有种不同排法.故选：B 方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.16．96  通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．由分类加法原理得总的染色种数为种．故答案为：96． 本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题．17．396  按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数可得答案.【详解】取不到0时有个，取到0时有个，∴共有个.故答案为：396.18．10  根据组合数的性质，结合条件，即可得答案.【详解】根据组合数的性质，且，所以.故答案为：1019．（1）56；（2）840种.  (1)通过换元将方程转化为正整数解的组数，再利用隔板法求解即得；(2)设出通过4个检票口的人数，转化为不定方程非负整数解问题，再按4个位置全排列即得.【详解】（1）设(，2，3，4)，则方程的非负整数解的组数等于方程的正整数解的组数，利用隔板法得方程的正整数解的组数是，所以方程的非负整数解的组数是56；（2）设4名乘客中分别有，，，个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则，即问题转化为求方程的非负整数解的组数，共有种情况，每一种进站情况的4个位置由4个人去站有种方法，由分步乘法计数原理得不同的进站方案有种，所以一个4人小组进站的不同方案种数是840种．20．（1）；（2）；（3）．  （1）利用捆绑法可求解；（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.【详解】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有． 方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.21．（1）；（2）；（3）.  （1）根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法可求解；（2）分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和即可；（3）根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法可求解.【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种；（2）如果体育排在最后一节，有种，体育不排在最后一节有种，所以共有种，（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种 方法点睛：常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.22．(1)720(2)1440(3)144(4)960(5)840  小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．(1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共有（种）不同的排法；(2)先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．故总共有（种）不同的排法；(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．