小学数学5 数学广角 （鸽巢问题）精品当堂检测题

这是一份小学数学5 数学广角 （鸽巢问题）精品当堂检测题，共9页。

考试时间：80分钟；满分：102分
班级： 姓名： 成绩:
注意事项：
1．答题前填写好自己的班级、姓名等信息。
2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。
卷面（2分）。我能做到书写工整，格式正确，卷面整洁。
一、知识空格填一填。（每空2分，共28分）
1．方格中可以写“数”或“学”字。
（1）如果写3行，至少有( )列的写法相同。
（2）如果只写2行，至少有( )列的写法相同。
2．11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了( )只鸽子。
3．小明把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里。他至少要取( )个球，才可以保证取到两个颜色相同的球。
4．将15名学生分到6个班级，总有一个班级至少分到( )名学生。
5．有白、黄、绿三种颜色的筷子各4双，混合后，放在一个箱子里。在黑暗中，保证一次性从中摸出两双颜色不同的筷子，则至少应摸出( )支。
6．把红、蓝、黄三种颜色的筷子各5根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出（ ）根才能保证一定有2根同色的筷子；如果要保证有2双不同色的筷子，每次最少拿出（ ）根。（2双不同色的筷子是指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）
7．把21个苹果最多放进( )个袋子，才能保证至少有一个袋子里有6个苹果。
8．六（1）班有40名学生，年龄最大的13岁年龄最小的12岁，那么其中必有( )名同学是同年同月出生的。
9．小红参加象棋比赛，胜一盘得3分，平一盘得1分，负一盘不得分，小红已得了7分，她至少下了( )盘。
10．给一个长方体木块的6个面分别涂上红、黄两种颜色中的一种，则无论如何涂至少都有( )个面的颜色相同。
11．从一副扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出( )张，才能保证至少有2张是同花色的。
12．在任意的37人中，至少有( )人是同一属相。
二、是非曲直辩一辩。（对的画√，错的画X，每题2分，共10分）
13．把44个乒乓球装进8个袋子里，其中总有一个袋子至少要装6个球。( )
14．把30个苹果放在7个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放进5个苹果。( )
15．六（1）班有52位学生，至少有5个人在同一个月过生日。( )
16．11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进5只鸽子。( )
17．盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出4个球。( )
三、众说纷纭选一选。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共10分）
18．学校有若干个足球、篮球和排球，体育老师让二（2）班52名同学到体育器材室拿球，每人最多拿2个，那么至少有（ ）名同学拿球的情况完全相同。
A．6B．5C．4D．2
19．一个盒子里放着红黄两种颜色的球，一次摸出4个，至少有（ ）个颜色相同的球。
A．1B．2C．3D．4
20．六年级有200名学生，他们分别订阅了甲、乙、丙、丁四种杂志中的一种、两种、三种或四种、至少有（ ）名学生订阅的杂志种类相同。
A．13B．14C．15D．50
21．一个盒子里装有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各100个，从中至少取（ ）个球才能保证有2个球颜色相同。
A．4B．5C．6D．101
22．有关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（ ）。
A．7天B．8天C．9天D．10天
四、解决问题。（共52分）
23．(本题6分)叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
24．(本题6分)文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？
25．(本题6分)从1到25个自然数中任意取出7个数。证明：取出的数中，一定有两个数。这两个数中大数不超过小数1.5倍。
26．(本题6分)宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？”
27．(本题7分)五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间，问：至少有几名学生的成绩相同？
28．(本题7分)纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？
29．(本题7分)一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最多需要取几次？
30．(本题7分)如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。
答案解析部分
一、知识空格填一填。
1． 2 3
【分析】（1）在每列的方格中写“数”或“学”，共有8种不同的写法：数学数、数数学、数学学、数数数、学数学、学学数、学数数、学学学。而表格中有9列，如果前8列分别为不同的写法，第9列一定与前面某一列的写法相同。所以无论怎么写，至少有2列的写法相同。
（2）如果只写两行，在每列的方格中写“数”或“学”，共有4种不同的写法∶数学、数数、学学、学数。而表格中有9列，（列）……1（列），平均每种写法写2列，还剩余1列。剩余的1列无论是哪种写法，都能保证至少有3列的写法相同。
【详解】（1）9÷8＝1（列） ……1（列）
1＋1＝1（列）
（2）9÷4＝2（列） ……1（列）
2＋1＝3（列）
【点睛】本题先根据列表的方法找出所有不重复的可能，再根据抽屉原理进行解答。
2．3
【解析】把4个鸽笼看作4个抽屉，把11只白鸽看作11个元素，那么每个抽屉需要放11÷4＝2（只）……3（只），所以每个抽屉需要放2个。剩下3只不论怎么放，总有一个鸽笼至少进了2＋1＝3（只）。
【详解】11÷4＝2（只）……3（只）
2＋1＝3（只）
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理的解题方法。
3．5
【分析】题目中已知鸽巢数量（4种颜色即4个鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里至少有2个同色的），求要分放物体的数量，用鸽巢数加1来计算。
【详解】4种颜色即4个鸽巢，保证一个鸽巢里至少有2个同色的，至少要取的球的个数是：4＋1＝5（个）。
【点睛】已知鸽巢数量和分的结果，求要分放物体的数量，可以用“鸽巢数＋1＝分放物体的数量”来计算。解答本题要注意，各种颜色小球的数量并不参与运算。
4．3
【分析】15名学生是总数，6个班级是抽屉数，15除以6，上2余3，只要有余数，不论余数是多少，商加上1即为所求。
【详解】
（名）
【点睛】本题考查的是抽屉原理，给出了抽屉数和整数，利用公式直接计算即可。
5．11
【分析】由分析可知，每种颜色的筷子各4双，则一共有：4×3＝12（双），1双是2支，即一共有：12×2＝24（支），每种颜色是8支，由于从中摸出两双颜色不同的筷子，最不利的时候，先摸出颜色相同的，能摸出4双，即4×2＝8（支），由于由于再摸两次另外两种颜色各一支，即摸出10支，接下来任意摸一支，不管摸到哪种颜色的筷子，即一定会和刚刚摸出两种颜色的筷子构成一双，由此即可解答。
【详解】由分析可知：
4×2＋3
＝8＋3
＝11（支）
【点睛】本题主要考查抽屉原理，要注意题中最后问的是摸出多少支。
6． 4 8
【分析】（1）根据题意可知，筷子的颜色共有3种，根据抽屉原理可知，先拿出3根是三种颜色，所以一次至少要拿出3＋1＝4（根）筷子才能保证一定有2根同色的筷子；
（2）根据题意可知，先把其中一种颜色的全部（5根）摸出，剩下的2种再各摸出1根，即2根；还不能满足条件；则此时再任意拿出一根，必定会出现有2双不同色的筷子，据此即可解答。
【详解】（1）3＋1＝4（根）
则每次最少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子。
（2）5＋2＋1＝8（个）
则每次最少拿出8根才能保证有2双不同色的筷子。
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
7．4
【分析】要求抽屉数，先用至少数减1求出商，再用物体数减去余数，再除以商求出抽屉数，据此解答即可。
【详解】
（个）
所以把20个苹果最多放进4个袋子，才能保证至少有一个袋子里有6个苹果。
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。
8．2
【分析】12岁、13岁共2个年龄段，每个年龄段12个月，因此两个年龄段共24个月。这40个学生分别在这24个月出生，先平均每个月放1名学生，那么还余下16名学生，无论放在哪一个月，都会有2名同学是同年同月出生的。
【详解】两个年龄段共有月份：12×2＝24（个）
40÷24＝1（名）……16（名）
1＋1＝2（名）
所以其中必有2名同学是同年同月出生的。
【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。
9．3
【分析】小红已得了7分，要使得小红下的盘数尽可能少，那么获胜的盘数就尽可能多，胜2盘是6分，还差1分，平局得1分，刚好是7分。
【详解】胜2盘，平1盘，（分）
所以小红至少下了3盘。
【点睛】本题考查的是数的分拆，要把7拆成尽可能少的数，那么每个数就尽可能大。
10．3
【分析】长方体木块有6个面，红、黄两种颜色进行染色，抽屉数是2，总数是6，6除以2得到3，没有余数，那么至少都有3个面的颜色相同。
【详解】（个）
至少都有3个面的颜色相同。
【点睛】本题中明确给出了总数和抽屉数，根据公式直接计算即可，在没有余数的情况下，商就是所求的结果。
11．5
【分析】从扑克牌中抽取两张王牌，要求在剩下的52张中抽出任意几张，至少有2张是同花色的，假设抽出的4张是4个花色，那么再抽1张，肯定有和前4张重复的；
根据上述分析，可知先抽4张，最后再抽1张，即可保证至少有2张是同花色的，据此解答。
【详解】最差抽出的4张是4个花色，再抽1张，无论是什么色，一定有2张是同一花色。所以在剩下的52张中任意抽出5张，才能保证至少有2张是同花色的。
【点睛】本题考查鸽巢原理，解答本题的关键是掌握抽屉原理。
12．4
【分析】总共有12个属相，那么抽屉数是12，总数是37，37除以12，根据是否有余数进行判断。
【详解】
（人）
至少有4人是同一属相。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，这里的抽屉数隐含在题目中，类似的例子还有“若干个人中，至少有多少人出生在同一月”的等。
二、是非曲直辩一辩。
13．√
【分析】考虑最差的情况下，把44个乒乓球平均放8个袋子里，即44÷8＝5（个）……4（个），即每个袋子里放5个球，还剩下4个球，这4个球最差的情况是平均放4个袋子里，即此时一个袋子至少有：5＋1＝6（个），据此判断。
【详解】44÷8＝5（个）……4（个）
5＋1＝6（个）
故答案为：√
【点睛】本题主要考查抽屉原理的灵活运用，一定优先考虑最不利的情况再进行分析。
14．√
【分析】把7个盘看作7个抽屉，把30个苹果看作30个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每个盘子里的个数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分即可。
【详解】30÷7＝4（个）……2（个）
4＋1＝5（个）
即总有一个盘子里至少放进5个苹果。
故答案为：√
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
15．√
【分析】被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】一年＝12月
52÷12＝4（人）……4（人）
4＋1＝5（人）
所以，至少有5个人在同一个月过生日。
故答案为：√
【点睛】掌握抽屉原理的解题方法是解答题目的关键。
16．×
【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数÷抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。在本题中，被分配的物体数是11，抽屉数是4，据此计算即可。
【详解】11÷4＝2（只）……3（只）
2＋1＝3（只）
11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进3只鸽子。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
17．×
【分析】要想摸出的球一定有2个同色的，根据最不利原则，当摸出2个球的时候，红、黄两种颜色的球各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，所以至少要摸（2＋1）个球。
【详解】2＋1＝3（个）
要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。
三、众说纷纭选一选。
18．A
【分析】每人最多拿2个，可分为三种情况：①拿0个，有1种情况；②拿1个，有3种情况；③拿2个，有6种情况，则总共有10种情况，再用人数除以抽屉数10，求出商，再加1，就是所求结果。
【详解】1＋3＋6＝10（种）
52÷10＝5（人）……2（人）
5＋1＝6（人）
故答案为：A
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是找到抽屉数。
19．B
【分析】把两种颜色当作“抽屉”，考虑最不利情况，如果一次摸2个球，最差情况是：一个红球，一个黄球；如果一次摸3个球，最差情况是：1个红球或黄球，2个黄球或红球；一次摸4个球最差情况是：2个黄球、2个红球；所以：一个盒子里放着红黄两种颜色的球，一次摸出4个，至少有2个颜色相同的球。
【详解】根据分析可知：一个盒子里放着红黄两种颜色的球，一次摸出4个，至少有2个颜色相同的球。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了抽屉原理的意义和运用，把两种颜色当作抽屉，摸的次数当作“苹果”，根据抽屉原理即可解题。
20．B
【分析】订阅杂志的类型有15种，即：第1种，都订阅甲杂志；第2种，都订阅乙杂志；第3种，都订阅丙杂志；第4种，都订阅丁杂志；第5种，只订阅甲乙杂志；第6种，只订阅甲丙杂志；第7种，只订阅甲丁杂志；第8种，只订阅乙丙 杂志；第9种，只订阅乙丁杂志；第10种，只订阅丙丁杂志；第11种，只订阅甲乙丙杂志；第12种，甲乙丁杂志；第13种，只订阅甲丙丁杂志，第14种，只订阅乙丙丁杂志；第15种，只订阅甲乙丙丁杂志；然后要把200个人放进这15种类型，那么就是200÷15＝13……5，要使一种类型人数最少，所以最后5个人要分散放到15种类型。相同的人数至少有13＋1＝14人。也就是至少有14个学生订阅的杂志种类相同。
【详解】由分析可知，
订阅杂志的类型有15种，
200÷15＝13……5
13＋1＝14人。
故答案为：B。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理的习题，应明确：把不同的订阅方法看做抽屉，把参与订阅的学生看做元素。
21．B
【分析】将红、黄、蓝、绿4种颜色视为4个抽屉，要保证有一个抽屉至少有2个球，分的物体个数要比抽屉数多1，所以至少取个球，才能保证有2个同色球。
【详解】由分析得：
4＋1＝5（个）
故答案为：B
【点睛】本题考查了抽屉原理的运用。设置好抽屉数，要从最不利的情况思考。
22．A
【分析】要使审核完这些课题的天数尽量的多，每天审核的课题数应该尽量的少。因为每天安排审核的课题个数互不相同且不为零，且1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以可以构造： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋9＝30 （或者1＋2＋3＋4＋5＋7＋8＝30） ，据此解答。
【详解】因为30＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋ 9
或30＝ 1＋2＋3＋4＋5＋7＋8
如果每天审核1，2，3， 4，5，6， 9个，用7天审完；
如果每天审核1、2、3、4、5、7、8个，也用7天审完；
审核完这些课题最多需要7天。
故选择：A
【点睛】每天安排审核的课题个数互不相等且不为0，总课题只有30个，有关部门又是连续审核，按此要求，在最不利的情况下，不妨把每天审的问题个数按从小到大排列如下： 1， 2，3， 4，5，6，7，注意到：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，这就用了7天，余下30－28＝2 （个）问题，若再用一天或两天，则与前7天中某一天审2个或1个在数量上相等，这与题设矛盾，因此只能在前7天中的某一天中多审2个或某两天各多审1个问题即可，因此最多7天审完。
四、解决问题。
23．因为叔叔投了5镖，成绩是41环，从最不利情况考虑，叔叔前4镖都投8环，第5镖至少要投9环才能保证环数是41环，即张叔叔至少有一镖不低于9环。
【分析】不低于就是大于等于，因为41÷5＝8……1，就是说至少有一镖大于等于9环。如果都小于九环，成绩就会小于等于40环，据此即可解答。
【详解】41÷5＝8……1
8＋1＝9（环）
答：因为叔叔投了5镖，成绩是41环，从最不利情况考虑，叔叔前4镖都投8环，第5镖至少要投9环才能保证环数是41环，即张叔叔至少有一镖不低于9环。
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理。
24．4位
【分析】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的4种；参加2个课外学习小组的情况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、英语、⑥数学、美术的6种；参加3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的4种，参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15，求出商，用商＋1就是至少数。
【详解】情况数一共：（种）
（位）
答：至少有4位同学参加的学习小组相同。
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。
25．证明：把前25个自然数分成下面6组：
1； ①
2、3； ②
4、5、6； ③
7、8、9、10； ④
11、12、13、14、15、16； ⑤
17、18、19、20、21、22、23、24、25； ⑥
因为从前25个自然数中任意取出7个数，
所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。
【分析】把前25个自然数分成下面6组：①1； ②2、3； ③4、5、6； ④7、8、9、10；⑤11、12、13、14、15、16；⑥17、18、19、20、21、22、23； 用物体数7除以组数6，可知至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。
【详解】把前25个自然数分成下面6组：
1； ①
2、3； ②
4、5、6； ③
7、8、9、10； ④
11、12、13、14、15、16； ⑤
17、18、19、20、21、22、23、24、25； ⑥
因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。
【点睛】本题考查鸽巢问题、解答本题的关键是把这25个数分成这6组。
26．苹果有9个；菠萝有1个；柚子有2个
【分析】根据抽屉原理，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，除苹果以外的其它水果共有3个，可知苹果有12－3＝9个，又因为柚子的个数是菠萝的2倍，且柚子与菠萝共有3个，可求得柚子有2个，菠萝有1个，据此解答即可。
【详解】苹果有：12－3＝9（个）
菠萝有：3÷（1＋2）
＝3÷3
＝1 （个）
柚子有：3－1＝2（个）
答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个。
【点睛】理解抽屉原理，读清题意，运用规律灵活解题。
27．3名
【分析】此题主要考查了抽屉原理的应用，解题的关键是弄清抽屉数量，根据条件“ 成绩都是整数，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间”，可以计算出75～95之间的整数有几个，也就是有几个抽屉，然后用总人数－3＝剩下的学生总数，将剩下的学生总数放入抽屉中，根据抽屉原理的解题方法：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n＝b……c，那么有一个抽屉至少放（b＋1）个物体，据此解答。
【详解】75～95之间的整数有95－75＋1＝21（个）
47－3＝44（名）
44÷21＝2……2
2＋1＝3（名）
答：至少有3名学生的成绩相同。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
28．146只
【分析】15双就是30只，考虑最不利原则，五种颜色，每种都摸到29只，怎么办呢，那就随便再摸一只，因为不管摸到什么色，都可以跟前面的29相加，到30了，这样就能保证有15双颜色相同的袜子。
【详解】5×29＋1
＝145＋1
＝146（只）
答：在黑暗中至少要取出146只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子。
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。
29．9次
【分析】总共有8种颜色的弹珠，要取出2个相同颜色的弹珠，最倒霉的情况就是前面8次取出的弹珠颜色都不一样，每种颜色各一个，这样第9次，不论取什么，一定可以保证有2个相同颜色的弹珠。
【详解】（次）
答：最多需要取9次。
【点睛】本题考查的是抽屉问题，求解此类问题，就要按照最不利于事件发生的情况考虑问题。
30．详解见解析
【分析】两个圆环都转动的话，研究起来不是很方便，可以假设其中一个静止，另一个转动，然后展开分析。
【详解】证明：
内外两个圆环对转可以看成一个静止，只有一个环转动；
一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次；
将这8次局面看成8个苹果，注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初相对滚珠所标数字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉；
根据抽屉原理至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。
【点睛】本题考查的是抽屉原理问题，首先要能够找出苹果数和抽屉数是多少，与抽屉原理联系起来。