第十章 三角恒等变换（A卷•基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第二册）

第十章 三角恒等变换A卷•（基础提升练

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.

【详解】由已知可将，，

则，

，

，即或．

又，所以，

所以，所以选项A，B错误，

即，则，所以．则C错，D对，

故选：D

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用诱导公式求出，再根据二倍角得余弦公式即可得解.

【详解】解：因为，所以，

所以.

故选：B.

3．已知，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将条件的两个式子平方相加可得，然后可得，再由，，可得，从而可求出，由商式关系可求得.

【详解】由，得，

由，得，

两式相加得，，所以可得，

因为，，所以，

所以，可得.

故选：B

4．在中，已知，，则等于（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】利用同角三角函数的关系求出，然后利用诱导公式和两角和的余弦公式可求得结果.

【详解】在中，因为，所以，

因为，所以或，

因为在中，，所以，

所以，所以角为锐角，

所以，

又，

所以.

故选：B

5．已知函数，则（    ）

A．的最大值为3，最小值为1

B．的最大值为3，最小值为-1

C．的最大值为，最小值为

D．的最大值为，最小值为

【答案】C

【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.

【详解】因为函数，

设，，

则，

所以，，

当时，；当时，.

故选：C

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用三角函数关系式的变化、同角三角函数关系的变换及辅助角公式求出结果.

【详解】由已知得：，，

两式相加，整理得：，

所以.

因为，所以，

所以，即，

代入题设条件，可得，

即

整理得：，

所以.

故选：B.

7．已知，为锐角，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别计算，的范围，然后可得，，根据，利用两角差的余弦公式计算即可.

【详解】∵，∴，

∵，∴，

∵，为锐角，，∴，

∵，

∴

.

故选：A.

8．已知函数，若点(，0)为函数f(x)的对称中心，直线x=为函数f(x)的对称轴，并且函数f(x)在区间(，)上单调，则f(2ωφ)=（    ）

A．﹣1 B． C． D．

【答案】C

【分析】化简得函数，再利用三角函数的单调性、周期性和对称性可得，．，．又因为，且．解得，即，，符合单调性条件，所以函数，即可得．

【详解】函数，并且函数在区间，上单调，

因此，所以．

又因为点，为函数的对称中心，直线为函数的对称轴，

因此，，

所以，

解得，．

将代入函数时函数有最值，

即，，即，．

又因为，且．

解得，

即，，符合单调性条件，

所以函数，则.

故选：C.

【点睛】结论点睛：函数的对称中心的横坐标要解方程，其对称轴方程要解, 研究三角函数的图象和性质要熟练掌握这些公式.

二、多选题

9．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

10．下列式子中成立的有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【分析】根据二倍角公式、两角和与差的余弦、正切公式、辅助角公式计算化简每个选项并判断.

【详解】对A，，A正确；

对B，

，B正确；

对C，

，C正确；

对D，，D错误；

故选：ABC

11．已知（），下面结论正确的是（    ）

A．若，，且的最小值为，则

B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是

D．若在上单调递增，则的取值范围是

【答案】BD

【分析】先将化简，对于A，由条件知，周期为，然后求出；对于B，由条件可得，然后求出，即可求解；对于C，由条件，得，然后求出的范围；对于D，由条件，得，然后求出的范围，再判断命题是否成立即可．

【详解】解：，

周期．

A．由条件知，周期为，

，故A错误；

B．函数图象右移个单位长度后得到的函数为，

其图象关于轴对称，则，

，故对，存在，故B正确；

C．由且在，上恰有7个零点，可得，

，故C错误；

D．由条件，得，即，

又，故，，故D正确．

故选：BD．

12．函数f(x)=sinxcosx的单调递减区间可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用倍角公式变形，再由复合函数的单调性求解．

【详解】解：，由，

解得，，

函数的单调递减区间是，

函数的周期是，故也正确．

故选：．

三、填空题

13．若， 且， 则_______．

【答案】##-0.2

【分析】根据已知条件，可以求出的值，利用正切函数的二倍角公式可求得的值，然后利用余弦函数的二倍角公式以及对所求式进行转化，转化为只含有的式子进行求解.

【详解】由得，故，

所以，解得，或.

因为，所以，

所以

.

故答案为：

14．________．

【答案】

【分析】根据正弦函数的和角公式即可求值．

【详解】解：由正弦函数的和角公式逆运算可得

，

故答案为：.

15．若，，则___________.

【答案】

【分析】由余弦的和差角公式得，，进而得

【详解】解：因为，所以.

因为，所以，

所以，，

所以.

故答案为：

16．已知，，则__．

【答案】或.

【分析】当可直接求值，当时，将两边同时平方展开后利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求的值，再利用二倍角公式以及化弦为切即可求解.

【详解】因为，

当时，

所以，

即，解得，

所以．

当时，，

故答案为：或．

四、解答题

17．已知，，，求的值.

【答案】

【分析】由于，则先利用两角和的余弦公式进行求解，接着再利用诱导公式即可得到答案

【详解】解：∵，，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

∵，∴，

∴，

∵，

∴.

18．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在上的单调递增区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，根据最小正周期公式，代入即可得答案.

（2）由（1）可得，根据x的范围，可得的范围，令，即可求得答案.

【详解】（1）

，

∴函数的最小正周期．

（2）由（1）知：．

当．

又因为在上单调递增，在上单调递减，

令，得，

∴函数在上的单调递增区间为（注：同样给分）．

19．（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）2；（2）

【分析】（1）根据，化简整理，即可得答案.

（2），根据，整理可得，分析题干条件，整理即可得答案.

【详解】（1）因为，

所以，即，

所以=2

（2）设，

则，

所以，

所以，

所以，

又=2

所以原式=

20．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有

．

可见可以表示为的三次多项式．

一般地，存在一个n次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示．

利用结论，求出的值．（提示：）

【答案】，

【分析】两次使用二倍角公式，即可得到．利用，可得，解方程求出的值．

【详解】解：

．

即

，，

，或（舍去）．

21．如图，在半径为，圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点都在上，求这个矩形面积的最大值及相应的的值.

【答案】的最大值是，相应的

【分析】先取角为自变量:，再在直角三角形中,解得，在中，解得,因此,根据矩形面积公式得, 根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数形式, 再利用正弦函数性质求函数最大值

【详解】连接，则，设，

 在中，，

四边形是矩形，,

，在中，  

于是，

当时， ，

当时，，

的最大值是，相应的

22．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式与单调递减区间；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.

【答案】(1)，递减区间为，

(2)

【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；

（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.

(1)

由题意，

图象的相邻两对称轴间的距离为，

的最小正周期为，即可得，

又为奇函数，则，，

又，，故，

令，得

函数的递减区间为，

(2)

将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，

又，则或，

即或.

令，当时，，

画出的图象如图所示：

有两个根,关于对称，即,

有,

在上有两个不同的根，,；

又的根为，

所以方程在内所有根的和为.