高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换本章综合与测试导学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换本章综合与测试导学案及答案，共6页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．sin 255°＝( )
A．eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
C．eq \f(\r(6)＋\r(3),4) D．－eq \f(\r(6)＋\r(3),4)
B [sin 255°＝－sin 75°＝－sin(45°＋30°)＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)．]
2．sin 45°cs 15°＋cs 45°sin 15°的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
B [sin 45°cs 15°＋cs 45°sin 15°＝sin(45°＋15°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，故选B．]
3．在△ABC中，2cs Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．不确定
B [在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cs Bsin A＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B．
∴－sin Acs B＋cs Asin B＝0．
即sin(B－A)＝0．
∴A＝B．]
4．eq \f(sin 24°cs 6°－sin 66°sin 6°,sin 21°cs 39°－cs 21°sin 39°)＝( )
A．－1 B．1 C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
A [eq \f(sin 24°cs 6°－sin 66°sin 6°,sin 21°cs 39°－cs 21°sin 39°)
＝eq \f(sin 24°cs 6°－cs 24°sin 6°,sin 21°cs 39°－cs 21°sin 39°)
＝eq \f(sin24°－6°,sin21°－39°)
＝eq \f(sin 18°,－sin 18°)＝－1．]
5．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)的最大值为( )
A．eq \f(1,2) B．1 C．eq \f(3,2) D．2
B [∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcs(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cs φ＋cs(x＋φ)sin φ－2sin φcs(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cs φ－cs(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]
＝sin x，
∴f(x)的最大值为1．]
二、填空题
6．要使sin α－eq \r(3)cs α＝eq \f(4m－6,4－m)有意义，则实数m的取值范围是________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(7,3))) [∵sin α－eq \r(3)cs α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))，
∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(4m－6,4－m)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(2m－3,4－m)，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2m－3,4－m)))≤1，解得－1≤m≤eq \f(7,3)．]
7．当－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,2)时，函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x的最大值为________，最小值为________．
2 －1 [f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs \f(π,3)＋cs xsin \f(π,3)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))．
∵－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5,6)π，
∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))≤1，
即－1≤f(x)≤2．]
8．已知关于x的方程sin x＋cs x＋k＝0在x∈[0，π]上有解，则实数k的取值范围为________．
[－eq \r(2)，1] [∵sin x＋cs x＋k＝0，
∴sin x＋cs x＝－k，
即eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝－k．
又∵0≤x≤π，
∴eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5,4)π，
∴－1≤eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≤eq \r(2)．
∴－1≤－k≤eq \r(2)，即－eq \r(2)≤k≤1．]
三、解答题
9．已知cs(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3,4)π，求sin 2α．
[解] ∵eq \f(π,2)＜β＜eq \f(3,4)π，
∴－eq \f(3,4)π＜－β＜－eq \f(π,2)．
∵eq \f(π,2)＜α＜eq \f(3,4)π，
∴－eq \f(π,4)＜α－β＜eq \f(π,4)．
又∵β＜α，
∴0＜α－β＜eq \f(π,4)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))＝eq \f(5,13)．
∵sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，π＜α＋β＜eq \f(3,2)π，
∴cs(α＋β)＝－eq \f(4,5)．
∴sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α－β＋α＋β))
＝sin(α－β)cs(α＋β)＋cs(α－β)sin(α＋β)
＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(56,65)．
10．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x，0≤x＜eq \f(π,2)．
(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调性，并求f(x)的最大值．
[解] (1)f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x
＝cs x＋eq \r(3)·eq \f(sin x,cs x)·cs x
＝cs x＋eq \r(3)sin x
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,6)cs x＋cs \f(π,6)sin x))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))．
(2)∵0≤x＜eq \f(π,2)，
∴eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,6)＜eq \f(2π,3)，
由x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)，得x≤eq \f(π,3)．
∴f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上是单调增函数，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上是单调减函数．
∴当x＝eq \f(π,3)时，f(x)有最大值为2．
11．(多选题)设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，则f(x)( )
A．是偶函数
B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递减
C．最大值为2
D．其图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
ABD [f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋\f(π,4)))＝eq \r(2)cs 2x．
f(－x)＝eq \r(2)cs(－2x)＝eq \r(2)cs(2x)＝f(x)，故f(x)是偶函数，A正确；
∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x∈(0，π)，因此f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，B正确；
f(x)＝eq \r(2)cs 2x的最大值为eq \r(2)，C不正确；
当x＝eq \f(π,2)时，f(x)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,2)))＝－eq \r(2)，因此当x＝eq \f(π,2)时，函数有最小值，因此函数图象关于x＝eq \f(π,2)对称，D正确．]
12．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6，3cs A＋4sin B＝1，则C的大小为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6)
C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
A [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin A＋4cs B＝6，①,3cs A＋4sin B＝1，②))
①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37．
∴sin(A＋B)＝eq \f(1,2)，即sin C＝eq \f(1,2)，
∴C＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)．
若C＝eq \f(5π,6)，则A＋B＝eq \f(π,6)，∴1－3cs A＝4sin B>0，
∴cs A又eq \f(1,3)eq \f(π,3)，此时A＋C>π，不符合题意，
∴C≠eq \f(5π,6)．
同理，若C＝eq \f(π,6)时，符合题意，故选A．]
13．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是________．
－eq \f(4,5) [∵eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,2)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
∴eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，
∴eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝eq \f(4\r(3),5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5)．]
14．sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝________．
1 [原式＝sin 50°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3)sin 10°,cs 10°)))
＝sin 50°·eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)
＝2sin 50°·eq \f(cs60°－10°,cs 10°)＝eq \f(2sin 50°cs 50°,cs 10°)
＝eq \f(sin 50°cs 50°＋cs 50°sin 50°,cs 10°)
＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1．]
15．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
求：(1)sin(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解] (1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
又sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)>0，
所以0<α－β所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，
cs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，
sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sin αcs(α－β)＋cs αsin(α－β)
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(7\r(2),10)．
(2)sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以β＝eq \f(π,4)．