苏教版高中数学必修第二册第10章章末综合提升课件+学案

类型1　求值问题

三角函数求值主要有三种类型

(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．

(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围．

(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．

【例1】　已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈．求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．

[解]　(1)因为α，β∈，

所以α－β∈，

又sin(α－β)＝＞0，

所以0＜α－β＜，

所以sin α＝＝，

cos(α－β)＝＝，

cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]

＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)

＝×－×

＝．

(2)cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝，

又因为β∈，所以β＝．

[跟进训练]

1．已知sinsin＝，α∈，求的值．

[解]　∵sinsin＝，

∴sincos＝，

sin＝，即cos 2α＝．

又α∈，∴2α∈(π，2π)，

∴sin 2α＝－

＝－＝－．

∴＝

＝＝－．

类型2　化简与证明

三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则

(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

【例2】　求证：＝．

[证明]　证明原不等式成立，即证明

1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立．

∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)

＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)

＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ

＝sin 4θ＋1－cos 4θ．

∴＝．

[跟进训练]

2．化简：．

[解]　原式＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝＝2．

类型3　三角恒等变换与三角函数的综合问题

三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．

【例3】　已知函数f(x)＝cos xsin－cos2x＋，x∈R．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．

[解]　(1)f(x)＝cos x·－cos2x＋

＝sin x·cos x－cos2x＋

＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋

＝sin 2x－cos 2x

＝sin．

∴f(x)的最小正周期T＝＝π．

(2)∵－≤x≤，

∴－≤2x－≤，

∴－1≤sin≤，

∴－≤f(x)≤，

∴函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－．

[跟进训练]

3．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈．

(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

[解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，

|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1．

又x∈，

从而sin x＝，所以x＝．

(2)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋sin2x

＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，

当x＝∈时，sin取最大值1．

所以f(x)的最大值为．

类型4　转化化归思想在三角恒等变换中的应用

在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握．

【例4】　已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

[解]　∵tan α＝＞0，

∴α∈，2α∈(0，π)，

∴tan 2α＝＝＝＞0，

∴2α∈，

又∵tan β＝－＜0，β∈(0，π)，

∴β∈，

∴tan(2α－β)＝

＝＝1，

又∵2α∈，β∈，

∴2α－β∈(－π，0)，

∴2α－β＝－π．

[跟进训练]

4．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．

[解]　∵＜α＜，0＜β＜，

∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，

∴sin＝－

＝－＝－，

cos＝－＝－，

∴sin(α＋β)＝－cos

＝－cos

＝－

＝－＝．

1．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)

A．  B．  C．  D．

A　[∵3cos 2α－8 cos α＝5，∴3(2 cos2α－1)－8cos α＝5，∴6cos2 α－8cos α－8＝0，∴3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－．∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝．故选A．]

2．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)

A．－2  B．－1  C．1  D．2

D　[由已知得2tan θ－＝7，得tan  θ＝2．]

3．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B．]

4．(2020·江苏高考)已知sin2＝，则sin 2α的值是________．

　[∵sin2＝＝＝，

∴sin 2α＝．]

5．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－．

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

[解]　(1)因为tan α＝，tan α＝，

所以sin α＝cos α．

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

所以cos 2α＝2cos2α－1＝－．

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2．

因为tan α＝，

所以tan 2α＝＝－．

因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－．