苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换本章综合与测试课堂检测

章末综合测评(二)　三角恒等变换

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知sin＝，则cos＝(　　)

A．  B．  C．  D．

D　[cos＝cos2＝1－2sin2＝1－＝．]

2．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为(　　)

A．－  B．－  C．－  D．

B　[tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－＝－＝－．]

3．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α．因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B．]

4．已知0＜α＜＜β＜π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β等于(　　)

A．0   B．0或

C．   D．0或－

C　[因为0＜α＜＜β＜π，sin α＝，

cos(α＋β)＝－，

所以cos α＝，sin(α＋β)＝或－．

所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝或0．

因为＜β＜π，

所以sin β＝．]

5．已知A，B均为钝角，sin A＝，sin B＝，则A＋B的值为(　　)

A．  B．  C．  D．

A　[因为＜A＜π，＜B＜π，

所以cos A＝－，cos B＝－．

所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B

＝－×－×＝．

又因为π＜A＋B＜2π，

所以A＋B＝．]

6．若＝，则tan＝(　　)

A．－2  B．2  C．－  D．

C　[因为＝，

所以＝，

所以tan α＝－3．

所以tan

＝＝＝－．]

7．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　)

A．  B．  C．  D．

D　[因为θ∈，

所以2θ∈，

所以cos 2θ≤0，

所以cos 2θ＝－

＝－＝－．

又cos 2θ＝1－2sin2θ，

所以sin2θ＝＝＝，

所以sin θ＝．]

8．“α＋β＝”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

D　[由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，

即tan α＋tan β＝1－tan αtan β，

∴tan(α＋β)＝＝＝1，

∴α＋β＝＋kπ(k∈Z)，不一定有“α＋β＝”；

反之，“α＋β＝”不一定有“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”，

如α＝，β＝－，此时tan α无意义；

∴“α＋β＝”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的既不充分又不必要条件．]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9．已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝2m·n＋＋1，下列命题中正确的是(　　)

A．f ＝2－f(x)

B．f 的图象关于x＝对称

C．若0<x1<x2<，则f(x1)<f(x2)

D．若x1，x2，x3∈，则f(x1)＋f(x2)>f(x3)

BD　[函数f＝2m·n＋＋1＝2sin＋1，

对于A：当x＝0时，f ＝f ＝1，2－f＝2－f＝1＋，故A错误；

对于B：f ＝2sin＋1，当x＝时，对应的函数值取得最小值为－1，所以B正确；

对于C：x∈时，2x－∈ ，所以函数f＝2sin＋1在不单调，故C错误；

对于D：因为x∈，所以2x－∈，

∴f∈，

又2>3，即2fmin>fmax，x1，x2，x3∈，f＋f>f恒成立，故D对．

故选BD．]

10．关于函数f(x)＝cos＋cos，下列命题中正确的是(　　)

A．f(x)的最大值为2

B．f(x)的最小正周期是π

C．f(x)在区间上是减函数

D． 将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合

BCD　[f(x)＝cos＋cos

＝cos＋sin

＝cos－sin

＝

＝cos＝cos，

∴函数f(x)的最大值为，最小正周期为π，故A错误，B正确；

又当x∈时，2x－∈[0，π]，

∴函数f(x)在上是减函数，故C正确；

y＝cos ＝cos＝f(x)，故D正确． 故选BCD．]

11．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝，则α的值为(　　)

A．  B．  C．  D．

AC　[由题意知f(x)＝cos 2xsin 2x＋cos 4x

＝sin 4x＋cos 4x＝sin ，

因为f(α)＝sin ＝，

所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，

即α＝＋，k∈Z．

因为α∈(0，π)，所以α＝或α＝＋＝，故选AC． ]

12．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期是2π

B．函数f(x)在区间上是减函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到

BC　[f(x)＝sin 2x－2sin2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＝sin．

对于A，因为ω＝2，则f的最小正周期T＝π，结论错误；

对于B，当x∈时，2x＋∈，

则f在区间上是减函数，结论正确；

对于C，因为f＝为f的最大值，则f的图象关于直线x＝对称，结论正确；

对于D，设g＝sin 2x，则g＝sin 2＝sin＝cos 2x≠f，结论错误．故选BC．]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．化简：·＝________．

tan 2α　[原式＝·＝tan 2α．]

14．tan 19°＋tan 41°＋tan 19°tan 41°的值为________．

　[tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)

＝－tan 19°tan 41°，∴原式＝－tan 19°tan 41°＋tan 19°tan 41°＝．]

15．已知函数f(x)＝sin ωx，g(x)＝cos ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．当ω＝1时，△ABC面积的最小值为________；若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)

2π　　[函数f(x)＝sin ωx，g(x)＝cos ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点， 当ω＝1时，f(x)＝sin x，g(x)＝cos x．

 所以A，B间的距离为一个周期2π，高为 ×＋×＝2．所以S△ABC＝×2π×2＝2π．

如图所示：

所以当ω＝1时，△ABC面积的最小值为2π；

若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，

则＝2， 解得ω的最小值为 ．]

16．已知＝－，则sin的值是________．

　[由＝＝＝－，得3tan2α－5tan α－2＝0，

解得tan α＝2，或tan α＝－．

sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin

＝

＝

＝，

当tan α＝2时，上式＝×＝；

当tan α＝－时，

上式＝×＝．

综上，sin＝．]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)求－sin 10°·的值．

[解]　原式＝－2sin 10°·

＝－2sin 10°·

＝－2cos 10°＝

＝＝．

18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin x，x∈R．

(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；

(2)求函数y＝＋的值域．

[解]　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，

即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0．

又θ∈[0，2π)，因此θ＝或．

(2)y＝2＋

＝sin2＋sin2

＝＋

＝1－

＝1－cos．

因此，函数的值域是．

19．(本小题满分12分)已知向量m＝，n＝(sin α，1)，m与n为共线向量，且α∈[－π，0]．

(1)求sin α＋cos α的值；

(2)求的值．

[解]　(1)因为m与n为共线向量，

所以·1－(－1)·sin α＝0，

所以sin α＋cos α＝．

(2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝，

所以sin 2α＝－，所以(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝－2×＝．

又因为α∈[－π，0]，sin α·cos α<0，

所以α∈，

所以sin α－cos α<0，

所以sin α－cos α＝－．

所以＝．

20．(本小题满分12分)在①函数f＝sin(2ωx＋φ)的图象向右平移个单位长度得到g的图象，g图象关于原点对称；②向量m＝，n＝，ω>0，f＝m·n；③函数f＝cos ωxsin－这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知________，函数f的图象相邻两条对称轴之间的距离为．

(1)若0<θ<，且sin θ＝，求f的值；

(2)求函数f在上的单调减区间．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

[解]　方案一：选条件①

由题意可知，T＝＝π，∴ω＝1，

∴f＝sin，

∴g＝sin，

又函数g图象关于原点对称，

∴φ＝kπ＋，k∈Z，

∵<，

∴φ＝，

∴f＝sin．

(1)∵0<θ<，sin θ＝，

∴θ＝，

∴f＝f ＝sin＝．

(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

令k＝0，得≤x≤，令k＝1，得≤x≤，

∴函数f在上的单调减区间为，．

方案二：选条件②

∵m＝，n＝，

∴f＝m·n＝sin ωxcos ωx＋cos 2ωx＝＝sin，

又T＝＝π，

∴ω＝1，

∴f＝sin．

(1)∵0<θ<，sin θ＝，

∴θ＝，

∴f＝f ＝sin＝．

(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

令k＝0，得≤x≤，令k＝1，得≤x≤，

∴函数f在上的单调减区间为，．

方案三：选条件③

f＝cos ωxsin－

＝cos ωx－

＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx

＝＝sin，

又T＝＝π，∴ω＝1，∴f＝sin．

(1)∵0<θ<，sin θ＝，∴θ＝，

∴f＝f＝sin＝．

(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

令k＝0，得≤x≤，令k＝1，得≤x≤．

∴函数f在上的单调减区间为，．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－．

(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值；

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间．

[解]　f(x)＝sin xcos x＋cos2x－

＝sin 2x＋－

＝sin 2x＋cos 2x＝sin．

(1)∵0＜α＜，sin α＝，

∴α＝．

从而f(α)＝sin＝sin＝．

(2)T＝＝π．

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得

kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．

∴f(x)的单调增区间为，k∈Z．

22．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0．

(1)将十字形的面积表示成θ的函数；

(2)求十字形的最大面积．

[解]　(1)设S为十字形面积，

则S＝xy＋x·×2＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ．

(2)S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－

＝×－

＝sin(2θ－φ)－(设φ为锐角且tan φ＝)，

当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝时，S最大．

即当θ＝＋时，十字形取得最大面积．