第十章 三角恒等变换（B卷•能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第二册）

第十章 三角恒等变换B卷•（能力提升练）

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、单选题

1．已知，，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由求解.

【详解】因为，，

所以，

又，

则，，

又，

所以，

所以，

，

故选：D

2．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.

【详解】解：∵且，所以，

所以

故选：D.

3．已知函数，则（    ）

A．是偶函数 B．函数的最小正周期为

C．曲线关于对称 D．

【答案】C

【解析】根据二倍角公式及诱导公式可得，结合正弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】函数，

由于，即是奇函数，故A错误；

的最小正周期为，故B错误；

由于为最值，即曲线关于对称，故C正确；

由于，，，故D错误；

故选：C.

4．已知，，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解sin2θ的值．

【详解】因为cos（θ）＝sinθ，θ，

所以cosθ，

则sin2θ＝2sinθcosθ＝2．

故选：B．

5．已知，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据二倍角余弦公式求，解得，最后根据两角差余弦公式得结果.

【详解】或

因为，所以

故选：B

【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

6．已知是第四象限角，且，则（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角和的正弦公式可得，结合同角的三角函数的基本关系式可求的值，再求出的值后可得的值，我们也可以利用诱导公式和同角的三角函数基本关系式求出的值.

【详解】法一：，

∴，①

∴上式平方可得：，∵是第四象限角，，

∴，②

由①②得，

∴.

法二：，∴

又，

∴

，

，

【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.

7．已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】把化为的式子，然后由偶函数定义可求得，由图象平移变换得，再解不等式即可．

【详解】因为

为偶函数，所以，

即

所以，解得，所以.

将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，

函数的减区间即为函数的增区间.

所以函数的增区间为：

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题.

8．已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，利用辅助角公式化简得，根据最小正周期求出，由函数的对称性和单调性，得出和，从而得出，最后利用整体法求出的值域.

【详解】解：由题可知，函数，

则，

由于的最小正周期为，

，

，

又已知的图象关于轴对称，

，，则，

在区间上单调递增，

可以令，此时，

则函数，

所以在区间上，则，，

得，，所以，，

即的值域为，.

故选：A．

【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及函数的单调性、周期、对称性和值域，还运用辅助角公式进行化简，考查化简运算能力.

二、多选题

9．已知，下列说法正确的有（    ）

A．的最小正周期是

B．最大值为2

C．的图象关于对称

D．的图象关于对称

【答案】BD

【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式对化简整理，对于选项A：利用最小正周期公式即可求出周期；对于选项B：根据解析式即可求解；对于选项CD：根据正弦型三角函数的对称轴和对称点的特性即可求解.

【详解】因为，

所以的最小正周期为，故A错误；

由的解析式可知，最大值为2，故B正确；

因为，故C错误；

因为 ，所以的图象关于对称，故D正确.

故选：BD．

10．已知θ，且sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（    ）

A．﹣3 B． C． D．2

E．

【答案】CE

【分析】将已知等式两边平方得，结合θ可得，，由sinθ+cosθ＝a可得，由此可得答案.

【详解】因为sinθ+cosθ＝a，a∈（0，1），

两边平方得1+2sinθcosθ＝a2，

解得sinθcosθ0，

因为，所以，所以，所以，

又sinθ+cosθ＝a，所以 cosθ＞﹣sinθ，所以

所以，

所以tanθ的值可能是，．

故选：CE．

【点睛】关键点点睛：求出的取值范围是本题解题关键.

11．已知函数，部分图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

【答案】ABC

【分析】根据函数的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断．

【详解】解:由函数的图象可得，由，求得．

再根据五点法作图可得，又，求得，

∴函数，

当时，，不是最值，故A不成立；

当时，，不等于零，故B不成立；

将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C不成立；

当时，，

∵，，

故方程在上有两个不相等的实数根时，则的取值范围是，故D成立．

故选:ABC.

【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数的部分图象求出函数解析式，属于基础题．

12．已知，都是锐角，且，则角的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】首先化简得到，即

或者，根据，都是锐角，即可得到的值.

【详解】由，得，

，

即，

化简得，

故或者，

已知，都是锐角，所以，，或.

所以角的值可能是和.

故选：BD

【点睛】本题主要考查三角函数的化简，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

三、填空题

13．若，，，，则________.

【答案】

【解析】利用同角三角函数的基本关系可得，，再由，根据两角差的余弦公式即可求解.

【详解】∵，，

则，，

∴，

，

因此，

.

故答案为：

【点睛】本题考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，熟记公式是解题的关键，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

14．已知函数，则下列命题正确的是______填上你认为正确的所有命题的序号

①函数的单调递增区间是；

②函数的图象关于点对称；

③函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是；

④若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则．

【答案】①③④

【分析】先利用辅助角公式化简，再根据函数，结合三角函数的性质及图形，对各选项依次判断即可．

【详解】①，令，所以，因为，所以令，则，所以单调增区间是，故正确；

②因为，所以不是对称中心，故错误；

③的图象向左平移个单位长度后得到，且是偶函数，所以，所以且，

所以时，，故正确；

④函数

，故错误；

⑤因为，作出在上的图象如图所示：

与有且仅有三个交点：

所以，又因为时，且关于对称，所以，所以，故正确；

故选:①③⑤

15．若，，则的值是______.

【答案】0或

【分析】首先将原式两边平方，利用二倍角的降幂公式，原式整理为，再讨论的范围，去绝对值得到的值.

【详解】两边平方得，.①

当时，①式为,,，

当时，①式为，，

综上，的值是0或.

【点睛】本题考查了二倍角公式的灵活运用，转化与化归，意在考查计算，化简能力.

16．已知，，，则___________.

【答案】

【解析】求得的值，进而求得的值，从而求得以及，由此求得.

【详解】，所以，.

依题意，则，

由，得，

即，

，

化简得，

，

由于，，所以解得.

故，

由于，所以，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要解题思路是方程的思想，题目有两个已知条件，一个是角的关系，一个三角函数的关系，将它们结合在一起，运算化简后可求出结果.

四、解答题

17．已知，，，，求：

(1)的值；

(2)的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，

（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.

（1）

因为，，

所以，，

所以，

，

所以

.

（2）

因为，，

所以，

所以，

所以.

18．已知向量，，且，（为常数）.

(1)求及；

(2)若的最大值是，求实数的值.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）利用向量的数量积，将向量运算转化为三角恒等变换问题，利用三角函数的相关公式求解.

（2）由题设得，求出的范围，讨论结合函数最大值求参数值即可.

（1）

由，

，

因为，所以，则.

（2）

，

因为，所以.

①若，则当时，取得最大值1，这与已知矛盾；

②若，则当时，取得最大值，

则，可得(正值舍)；

③若，则当时，取得最大值，

由已知得，解得，这与矛盾.

综上，.

19．已知平面向量，，函数.

(1)求函数相邻两对称轴的距离；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用平面向量数量积求解函数的表达式，利用正弦型函数的性质即可求解；

（2）利用整体法结合正弦型函数的性质即可求解函数在区间上的值域.

(1)

解：，

故函数的周期是，则函数相邻的两条对称轴的距离是.

(2)

∵，∴，

∴函数的值域是.

20．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．

(1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，）

(2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．

①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示）

②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？

【答案】(1)2.8m；

(2)①，；②小汽车能够顺利通过直角转弯车道.

【分析】（1）根据给定条件，在两个直角三角形中，利用直角三角形边角关系计算作答.

（2）①利用给定图形结合直角三角形锐角三角函数定义，用表示EF，BE，CF即可作答；

②由①的结论，利用换元法并借助函数单调性，求出AB长的最小值作答.

（1）

图1中：在中，，，，又，

则(m)，而m，有(m)，

在中，，，，

则(m)，

结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则m，

所以限定高度的值约为2.8m.

（2）

①图2中：依题意，则，，，，

又，设，

，；

②由①知，设，则，，，

则，

而，函数在上单调递增，则在上是减函数，

于是得当，即时，，

所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道.

【点睛】思路点睛：涉及含有和的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为整式函数或分式函数在某区间上的值域或最值问题解答.

21．已知，，求的值．

【答案】

【分析】将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系，再逆用两角差的余弦公式化简即可求解.

【详解】由可得，即，

由可得，即，

两式相加可得，

即，解得：.

22．已知向量（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），函数．

（1）若，，求的值∶

（2）若，，，，求2a+β的值．．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示求解出的解析式，再运用三角函数的关系求解即可；

（2）根据三角函数和差公式，由已知的三角函数值求解角度即可.

【详解】解:（1）

由，可得，由，得，，

则；

（2）由可得，由可得，

则，

由，，可得cosβ>0，

由，可得．