高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换本章综合与测试课时练习

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易混易错练

易错点1　因混淆公式致错

1.()计算:sin 49°sin 19°+cos 19°sin 41°=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.- C. D.-

2.()计算:sin 10°cos 20°+sin 80°sin 20°=　　　　.

3.()计算:.

易错

易错点2　忽略角的范围产生增根致错

4.(2020浙江镇海中学高一期中,)已知-<α-β<,sin α-2cos β=1,cos α+2sin β=,则sin=(　　)

A. B.

C.± D.±

5.()已知0<α<<β<π,tan=,cos(β-α)=,则β=　　　　.易错 

易错点3　不能正确利用角之间的特殊关系致错

6.(2020江苏苏州实验中学高一期中,)若sin=-,则cos=(　　)

A.- B.-

C. D.

7.(2020江苏海安高级中学高一月考,)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=(　易错　)

A. B.- C. D.-

8.(2020江苏淮阴中学高一期末,)已知α∈,β∈,cos 2β=-,sin(α+β)=.

(1)求cos β的值;

(2)求sin α的值.

易错点4　因公式构建不合理致错

9.()sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°=　　　　.

10.()已知tan=3,则=　　　　.

11.()已知cos=-,sin=,且α∈,β∈.求:

(1)cos的值;

(2)tan(α+β)的值.

思想方法练

一、函数与方程思想在三角恒等变换中的应用

1.(2020江苏南京师范大学附属中学高一期中,)函数f(x)=2cos x·sin的最大值为　　　　.

2.()若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β=　　　　.

3.()已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两个实数根分别为tan α,tan β,且α,β∈,则tan的值为　　　　.

4.()已知函数f(x)=2sin2-cos 2x.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)若关于x的方程f(x)-m=2在x∈上有解,求实数m的取值范围.

二、分类讨论思想在三角恒等变换中的应用

5.()在△ABC中,已知cos A=,sin B=,则cos C等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.- B.

C.-或 D.或

6.()已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且 f =0,其中a∈R,θ∈(0,π).

(1)求a,θ的值;

(2)若α∈, f +coscos 2α=0,求cos α-sin α的值.

三、化归与转化思想在三角恒等变换中的应用

7.()函数y=(sin x+cos x)2+1的最小正周期是(　　)

A. B.π C. D.2π

8.(2020江苏徐州高一期中,)若α,β∈(0,π),cos=-,sin=,则sin=(　　)

A. B.- C. D.-

9.()已知sin α=,cos(α+β)=-,且α,β∈.

(1)求cos(2α+β)的值;

(2)求β的值.

10.()已知向量a=,b=,且x∈,f(x)=a·b-2λ|a-b|(λ为常数).

(1)求a·b及|a-b|;

(2)若f(x)的最大值是,求实数λ的值.

答案全解全析

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易混易错练

1.C　sin 49°sin 19°+cos 19°sin 41°

=cos 41°sin 19°+cos 19°sin 41°

=sin(19°+41°)=sin 60°=.

2.答案　

解析　sin 10°cos 20°+sin 80°sin 20°

=cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°

=cos(80°-20°)=cos 60°=.

3.解析　

=

=

==sin 30°=.

易错警示　在使用两角和与差的三角公式时切记不要把“+”“-”号以及函数名称记错.

4.B　由已知得(sin α-2cos β)2=1,(cos α+2sin β)2=2,两式相加,整理得-4sin αcos β+4cos αsin β=-2,所以sin(β-α)=-.

因为-<α-β<,所以-<β-α<,

所以β-α=-,即β+=α,

代入题设条件,可得cos α+2sin β=cos+2sin β=,所以cos β+sin β=,即sin=,所以sin=.故选B.

5.答案　

解析　因为tan=,

所以tan α===.

又因为sin2α+cos2α=1,0<α<,

所以sin α=,cos α=.

因为0<α<<β<π,所以0<β-α<π.

又因为cos(β-α)=,

所以sin(β-α)=.

所以sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α=×+×=.

因为β∈,所以β=.

易错警示　在三角函数求值时要注意角的范围,由角的范围确定三角函数值的符号,范围不确定的要分类讨论.

6.A　∵sin=-,

∴sin=-,

则cos=-,

∴cos=cos

=2cos2-1=-.

7.D　因为θ是第四象限,所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<θ+<2kπ+,k∈Z,

由sin=,可得cos=,

则sin=sin

=-cos=-,

cos=cos

=sin=,

故tan==-.

易错警示　本题在求解时,因不能正确利用θ-=θ+-而导致解题错误.

8.解析　(1)因为cos 2β=2cos2β-1=-,

所以cos2β=,

又因为β∈,所以cos β=-.

(2)由题意得sin(α+β)=-cos 2β=-sin-2β=sin,

因为0<α<,<β<π,

所以<α+β<,<2β-<,

所以α+β=2β-,所以α=β-,

所以sin α=sin=-sin

=-cos β=.

9.答案　

解析　原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°

=

=

=

=

===.

10.答案　3

解析　原式=

=

==tan=3.

11.解析　(1)因为<α<π,0<β<,

所以<α-<π,-<-β<.

所以sin==,

cos==.

所以cos=cos

=coscos+sinα-·sin

=-×+×=-.

(2)因为<<,

所以sin==,

所以tan==-,

所以tan(α+β)==.

思想方法练

1.答案　1+

解析　由题意得f(x)=2cos x·sin x+cos x=sin 2x+(1+cos 2x)=+sin,

所以f(x)的最大值为1+.

2.答案　

解析　cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,

cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,

则

可得cos αcos β=,sin αsin β=.

故tan αtan β==.

3.答案　-2

解析　根据题意得tan α+tan β=-4a,

tan αtan β=3a+1,

∴tan(α+β)===.

∵a>1,∴tan α+tan β<0,tan αtan β>0,

∴tan α<0,tan β<0.

又∵α,β∈,∴α,β∈,

∴-<<0,∴tan<0,

由tan(α+β)==得

2tan2+3tan-2=0,

∴tan=-2.

4.解析　(1)f(x)=2sin2-cos 2x

=1-cos-cos 2x

=1+sin 2x-cos 2x

=2sin+1,

所以函数f(x)的最小正周期T=π.

令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

故函数f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).

(2)因为x∈,

所以2x-∈,

所以sin∈,

所以f(x)的值域为[2,3].

而f(x)=m+2,

所以m+2∈[2,3],即m∈[0,1].

5.D　在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=,因为sin B=,所以cos B=±,

又A+B+C=π,

所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B).

当cos B=时,-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)=-=,即cos C=;

当cos B=-时,-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)=-×-×=,

即cos C=.

综上可知,cos C的值为或.

6.解析　(1)因为f(x)=a+2cos2·cos(x+θ)是奇函数,

所以a+2cos2cos(x+θ)

=-a+2cos2cos(-x+θ),

整理得cos xcos θ=0,所以cos θ=0.

又θ∈(0,π),所以θ=,

所以f(x)=-sin xa+2cos2.

由f=0,得-(a+1)=0,即a=-1.

(2)由(1)易知f(x)=-sin 2x,

由f++cosα+cos 2α=0,

得sinα+=cosα+cos 2α.

因为cos 2α=sin2α+

=sin2α+

=2sinα+cosα+,

所以sinα+=cos2α+·sinα+.

又α∈,所以α+∈,所以sinα+=0或cos2α+=.

由sinα+=0,得α=,

所以cos α-sin α=cos -sin =-.

由cos2=,<α+<,

得cosα+=-,

所以(cos α-sin α)=-,

所以cos α-sin α=-.

综上,cos α-sin α的值为-或-.

7.B　y=(sin x+cos x)2+1=sin 2x+2,故其最小正周期T==π.

8.C　由α,β∈(0,π),得,∈,

∴α-∈,-β∈,

又cos<0,sin>0,

∴α-∈,-β∈,

∴sin==,cos==,

则sin=sin

=sincos-cos·sin=.

9.解析　(1)∵α∈,sin α=,

∴cos α==,

∵α+β∈(0,π),cos(α+β)=-,

∴sin(α+β)==,

∴cos(2α+β)=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=-.

(2)sin β=sin(α+β-α)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=,

又∵β∈,∴β=.

10.解析　(1)a·b=cosx·cos+sinx·sin=cos x,

|a-b|=

==2,

因为x∈,所以sin>0 ,

所以|a-b|=2sin.

(2)f(x)=cos x-4λsin

=-2+2λ2+1,

因为x∈,所以0≤sin≤.

①若λ>0,则当sin=0时,f(x)取得最大值1,这与已知相矛盾;

②若-≤λ≤0,则当sin=-λ时,f(x)取得最大值2λ2+1,由已知得2λ2+1=,所以λ=-;

③若λ<-,则当sin=时,f(x)取得最大值-2λ,由已知得-2λ=,解得λ=-,这与λ<-相矛盾.

综上所述,λ=-.