搜索
    上传资料 赚现金
    高中数学第十章三角恒等变换章末综合测评含解析苏教版必修第二册学案
    立即下载
    加入资料篮
    高中数学第十章三角恒等变换章末综合测评含解析苏教版必修第二册学案01
    高中数学第十章三角恒等变换章末综合测评含解析苏教版必修第二册学案02
    高中数学第十章三角恒等变换章末综合测评含解析苏教版必修第二册学案03
    还剩9页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换本章综合与测试导学案

    展开
    这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换本章综合与测试导学案,共12页。学案主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x))=eq \f(3,5),则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2x))=( )
    A.eq \f(19,25) B.eq \f(16,25) C.eq \f(14,25) D.eq \f(7,25)
    D [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2x))=cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x))=1-2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-x))=1-eq \f(18,25)=eq \f(7,25).]
    2.已知tan α=eq \f(1,2),tan(α-β)=-eq \f(2,5),那么tan(β-2α)的值为( )
    A.-eq \f(3,4) B.-eq \f(1,12) C.-eq \f(9,8) D.eq \f(9,8)
    B [tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan[α+(α-β)]=-eq \f(tan α+tanα-β,1-tan αtanα-β)=-eq \f(\f(1,2)-\f(2,5),1+\f(1,2)×\f(2,5))=-eq \f(1,12).]
    3.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )
    A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
    B [由2sin 2α=cs 2α+1,得4sin αcs α=1-2sin2α+1,即2sin αcs α=1-sin2α.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以cs α=eq \r(1-sin2α),所以2sin αeq \r(1-sin2α)=1-sin2α,解得sin α=eq \f(\r(5),5),故选B.]
    4.已知0<α<eq \f(π,2)<β<π,又sin α=eq \f(3,5),cs(α+β)=-eq \f(4,5),则sin β等于( )
    A.0 B.0或eq \f(24,25)
    C.eq \f(24,25) D.0或-eq \f(24,25)
    C [因为0<α<eq \f(π,2)<β<π,sin α=eq \f(3,5),
    cs(α+β)=-eq \f(4,5),
    所以cs α=eq \f(4,5),sin(α+β)=eq \f(3,5)或-eq \f(3,5).
    所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cs α-cs(α+β)·sin α=eq \f(24,25)或0.
    因为eq \f(π,2)<β<π,
    所以sin β=eq \f(24,25).]
    5.已知A,B均为钝角,sin A=eq \f(\r(5),5),sin B=eq \f(\r(10),10),则A+B的值为( )
    A.eq \f(7π,4) B.eq \f(3π,2) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(3π,4)
    A [因为eq \f(π,2)<A<π,eq \f(π,2)<B<π,
    所以cs A=-eq \f(2\r(5),5),cs B=-eq \f(3\r(10),10).
    所以cs(A+B)=cs Acs B-sin Asin B
    =-eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3\r(10),10)))-eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)=eq \f(\r(2),2).
    又因为π<A+B<2π,
    所以A+B=eq \f(7π,4).]
    6.若eq \f(sin α+cs α,sin α-cs α)=eq \f(1,2),则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=( )
    A.-2 B.2 C.-eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
    C [因为eq \f(sin α+cs α,sin α-cs α)=eq \f(1,2),
    所以eq \f(tan α+1,tan α-1)=eq \f(1,2),
    所以tan α=-3.
    所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))
    =eq \f(tan α+tan\f(π,4),1-tan αtan\f(π,4))=eq \f(-3+1,1--3)=-eq \f(1,2).]
    7.若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),sin 2θ=eq \f(3\r(7),8),则sin θ=( )
    A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(3,4)
    D [因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),
    所以2θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),
    所以cs 2θ≤0,
    所以cs 2θ=-eq \r(1-sin22θ)
    =-eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(7),8)))\s\up12(2))=-eq \f(1,8).
    又cs 2θ=1-2sin2θ,
    所以sin2θ=eq \f(1-cs 2θ,2)=eq \f(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,8))),2)=eq \f(9,16),
    所以sin θ=eq \f(3,4).]
    8.“α+β=eq \f(π,4)”是“(1+tan α)(1+tan β)=2”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分又不必要条件
    D [由(1+tan α)(1+tan β)=2得1+tan α+tan β+tan αtan β=2,
    即tan α+tan β=1-tan αtan β,
    ∴tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)=eq \f(1-tan α·tan β,1-tan α·tan β)=1,
    ∴α+β=eq \f(π,4)+kπ(k∈Z),不一定有“α+β=eq \f(π,4)”;
    反之,“α+β=eq \f(π,4)”不一定有“(1+tan α)(1+tan β)=2”,
    如α=eq \f(π,2),β=-eq \f(π,4),此时tan α无意义;
    ∴“α+β=eq \f(π,4)”是“(1+tan α)(1+tan β)=2”的既不充分又不必要条件.]
    二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分)
    9.已知向量m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x,-\r(3))),n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x,cs2x)),函数f(x)=2m·n+eq \r(3)+1,下列命题中正确的是( )
    A.f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-x))=2-f(x)
    B.f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-x))的图象关于x=eq \f(π,4)对称
    C.若0D.若x1,x2,x3∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(π,2))),则f(x1)+f(x2)>f(x3)
    BD [函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2m·n+eq \r(3)+1=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+1,
    对于A:当x=0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-x))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))=1,2-feq (x)=2-feq (0)=1+eq \r(3),故A错误;
    对于B:f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)-x))=2sineq (-2x)+1,当x=eq \f(π,4)时,对应的函数值取得最小值为-1,所以B正确;
    对于C:x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,2x-eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,3),\f(2π,3))) ,所以函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))不单调,故C错误;
    对于D:因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(π,2))),所以2x-eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(2π,3))),
    ∴feq (x)∈eq [\r(3)+1,3],
    又2eq (\r(3)+1)>3,即2feq (x)min>feq (x)max,x1,x2,x3∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3),\f(π,2))),feq (x1)+feq (x2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3))恒成立,故D对.
    故选BD.]
    10.关于函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))),下列命题中正确的是( )
    A.f(x)的最大值为2
    B.f(x)的最小正周期是π
    C.f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24),\f(13π,24)))上是减函数
    D. 将函数y=eq \r(2)cs 2x的图象向右平移eq \f(π,24)个单位长度后,与函数y=f(x)的图象重合
    BCD [f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))
    =cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))+sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))))
    =cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))
    =eq \r(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))-\f(\r(2),2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)))))
    =eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,3)+\f(π,4)))=eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,12))),
    ∴函数f(x)的最大值为eq \r(2),最小正周期为π,故A错误,B正确;
    又当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24),\f(13π,24)))时,2x-eq \f(π,12)∈[0,π],
    ∴函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24),\f(13π,24)))上是减函数,故C正确;
    y=eq \r(2)cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,24)))))=eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,12)))=f(x),故D正确. 故选BCD.]
    11.已知函数f(x)=(2cs2x-1)sin 2x+eq \f(1,2)cs 4x,若α∈(0,π),且f(α)=eq \f(\r(2),2),则α的值为( )
    A.eq \f(π,16) B.eq \f(11π,16) C.eq \f(9π,16) D.eq \f(7π,16)
    AC [由题意知f(x)=cs 2xsin 2x+eq \f(1,2)cs 4x
    =eq \f(1,2)sin 4x+eq \f(1,2)cs 4x=eq \f(\r(2),2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x+\f(π,4))),
    因为f(α)=eq \f(\r(2),2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α+\f(π,4)))=eq \f(\r(2),2),
    所以4α+eq \f(π,4)=eq \f(π,2)+2kπ,k∈Z,
    即α=eq \f(π,16)+eq \f(kπ,2),k∈Z.
    因为α∈(0,π),所以α=eq \f(π,16)或α=eq \f(π,16)+eq \f(π,2)=eq \f(9π,16),故选AC. ]
    12.已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是( )
    A.函数f(x)的最小正周期是2π
    B.函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8),\f(5π,8)))上是减函数
    C.函数f(x)的图象关于直线x=eq \f(π,8)对称
    D.函数f(x)的图象可由函数y=eq \r(2)sin2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位得到
    BC [f(x)=sin 2x-2sin2x+1=sin 2x+cs 2x=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4))).
    对于A,因为ω=2,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的最小正周期T=π,结论错误;
    对于B,当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8),\f(5π,8)))时,2x+eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(3π,2))),
    则feq (x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8),\f(5π,8)))上是减函数,结论正确;
    对于C,因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))=eq \r(2)为feq (x)的最大值,则feq (x)的图象关于直线x=eq \f(π,8)对称,结论正确;
    对于D,设geq (x)=eq \r(2)sin 2x,则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))=eq \r(2)sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))=eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,2)))=eq \r(2)cs 2x≠feq (x),结论错误.故选BC.]
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
    13.化简:eq \f(2sin 2α,1+cs 2α)·eq \f(cs2α,cs 2α)=________.
    tan 2α [原式=eq \f(2sin 2α,2cs2α)·eq \f(cs2α,cs 2α)=tan 2α.]
    14.tan 19°+tan 41°+eq \r(3)tan 19°tan 41°的值为________.
    eq \r(3) [tan 19°+tan 41°=tan 60°(1-tan 19°tan 41°)
    =eq \r(3)-eq \r(3)tan 19°tan 41°,∴原式=eq \r(3)-eq \r(3)tan 19°tan 41°+eq \r(3)tan 19°tan 41°=eq \r(3).]
    15.已知函数f(x)=eq \r(2)sin ωx,g(x)=eq \r(2)cs ωx,其中ω>0,A,B,C是这两个函数图象的交点,且不共线.当ω=1时,△ABC面积的最小值为________;若存在△ABC是等腰直角三角形,则ω的最小值为________.(本题第一空2分,第二空3分)
    2π eq \f(π,2) [函数f(x)=eq \r(2)sin ωx,g(x)=eq \r(2)cs ωx,其中ω>0,A,B,C是这两个函数图象的交点, 当ω=1时,f(x)=eq \r(2)sin x,g(x)=eq \r(2)cs x.
    所以A,B间的距离为一个周期2π,高为 eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)+eq \f(\r(2),2)×eq \r(2)=2.所以S△ABC=eq \f(1,2)×2π×2=2π.
    如图所示:
    所以当ω=1时,△ABC面积的最小值为2π;
    若存在△ABC是等腰直角三角形,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,
    则eq \f(2π,ω)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)×\f(\r(2),2)+\r(2)×\f(\r(2),2))), 解得ω的最小值为 eq \f(π,2).]
    16.已知eq \f(tan α,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4))))=-eq \f(2,3),则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))的值是________.
    eq \f(\r(2),10) [由eq \f(tan α,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4))))=eq \f(tan α,\f(tan α+1,1-tan α))=eq \f(tan α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-tan α)),tan α+1)=-eq \f(2,3),得3tan2α-5tan α-2=0,
    解得tan α=2,或tan α=-eq \f(1,3).
    sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))=sin 2αcseq \f(π,4)+cs 2αsineq \f(π,4)
    =eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 2α+cs 2α))
    =eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sin αcs α+cs2α-sin2α,sin2α+cs2α)))
    =eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2tan α+1-tan2α,tan2α+1))),
    当tan α=2时,上式=eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2×2+1-22,22+1)))=eq \f(\r(2),10);
    当tan α=-eq \f(1,3)时,
    上式=eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))+1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3)))\s\up12(2)+1)))=eq \f(\r(2),10).
    综上,sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))=eq \f(\r(2),10).]
    四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(本小题满分10分)求eq \f(1+cs 20°,2sin 20°)-sin 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)-tan 5°))的值.
    [解] 原式=eq \f(2cs210°,2sin 20°)-2sin 10°·eq \f(1-tan25°,2tan 5°)
    =eq \f(cs210°,2sin 10°cs 10°)-2sin 10°·eq \f(cs 10°,sin 10°)
    =eq \f(cs 10°,2sin 10°)-2cs 10°=eq \f(cs 10°-2sin 20°,2sin 10°)
    =eq \f(cs 10°-2sin30°-10°,2sin 10°)=eq \f(\r(3),2).
    18.(本小题满分12分)设函数f(x)=sin x,x∈R.
    (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
    (2)求函数y=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,12)))))eq \s\up12(2)+eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))))eq \s\up12(2)的值域.
    [解] (1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
    即sin xcs θ+cs xsin θ=-sin xcs θ+cs xsin θ,故2sin xcs θ=0,所以cs θ=0.
    又θ∈[0,2π),因此θ=eq \f(π,2)或eq \f(3π,2).
    (2)y=eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,12)))))2+eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))))eq \s\up12(2)
    =sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,12)))+sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))
    =eq \f(1-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))),2)+eq \f(1-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,2))),2)
    =1-eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x-\f(3,2)sin 2x))
    =1-eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3))).
    因此,函数的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1-\f(\r(3),2),1+\f(\r(3),2))).
    19.(本小题满分12分)已知向量m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α-\f(\r(2),3),-1)),n=(sin α,1),m与n为共线向量,且α∈[-π,0].
    (1)求sin α+cs α的值;
    (2)求eq \f(sin 2α,sin α-cs α)的值.
    [解] (1)因为m与n为共线向量,
    所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α-\f(\r(2),3)))·1-(-1)·sin α=0,
    所以sin α+cs α=eq \f(\r(2),3).
    (2)因为1+sin 2α=(sin α+cs α)2=eq \f(2,9),
    所以sin 2α=-eq \f(7,9),所以(sin α-cs α)2=(sin α+cs α)2-4sin αcs α=eq \f(2,9)-2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(7,9)))=eq \f(16,9).
    又因为α∈[-π,0],sin α·cs α<0,
    所以α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),0)),
    所以sin α-cs α<0,
    所以sin α-cs α=-eq \f(4,3).
    所以eq \f(sin 2α,sin α-cs α)=eq \f(7,12).
    20.(本小题满分12分)在①函数feq (x)=eq \f(1,2)sin(2ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(φ))<\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度得到geq (x)的图象,geq (x)图象关于原点对称;②向量m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin ωx,cs 2ωx)),n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs ωx,\f(1,4))),ω>0,feq (x)=m·n;③函数feq (x)=cs ωxsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,6)))-eq \f(1,4)eq (ω>0)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知________,函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2).
    (1)若0<θ(2)求函数feq (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,2π))上的单调减区间.
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    [解] 方案一:选条件①
    由题意可知,T=eq \f(2π,2ω)=π,∴ω=1,
    ∴feq (x)=eq \f(1,2)sineq (2x+φ),
    ∴geq (x)=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+φ-\f(π,6))),
    又函数geq (x)图象关于原点对称,
    ∴φ=kπ+eq \f(π,6),k∈Z,
    ∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(φ))∴φ=eq \f(π,6),
    ∴feq (x)=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))).
    (1)∵0<θ∴θ=eq \f(π,4),
    ∴feq (θ)=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \f(1,2)sineq \f(2π,3)=eq \f(\r(3),4).
    (2)由eq \f(π,2)+2kπ≤2x+eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)+2kπ,k∈Z,得eq \f(π,6)+kπ≤x≤eq \f(2π,3)+kπ,k∈Z,
    令k=0,得eq \f(π,6)≤x≤eq \f(2π,3),令k=1,得eq \f(7π,6)≤x≤eq \f(5π,3),
    ∴函数feq (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,2π))上的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(2π,3))),eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,6),\f(5π,3))).
    方案二:选条件②
    ∵m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin ωx,cs 2ωx)),n=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs ωx,\f(1,4))),
    ∴feq (x)=m·n=eq \f(\r(3),2)sin ωxcs ωx+eq \f(1,4)cs 2ωx=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2ωx+\f(1,2)cs 2ωx))=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx+\f(π,6))),
    又T=eq \f(2π,2ω)=π,
    ∴ω=1,
    ∴feq (x)=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))).
    (1)∵0<θ∴θ=eq \f(π,4),
    ∴feq (θ)=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \f(1,2)sineq \f(2π,3)=eq \f(\r(3),4).
    (2)由eq \f(π,2)+2kπ≤2x+eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)+2kπ,k∈Z,得eq \f(π,6)+kπ≤x≤eq \f(2π,3)+kπ,k∈Z,
    令k=0,得eq \f(π,6)≤x≤eq \f(2π,3),令k=1,得eq \f(7π,6)≤x≤eq \f(5π,3),
    ∴函数feq (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,2π))上的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(2π,3))),eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,6),\f(5π,3))).
    方案三:选条件③
    feq (x)=cs ωxsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,6)))-eq \f(1,4)
    =cs ωxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin ωxcs\f(π,6)+cs ωxsin\f(π,6)))-eq \f(1,4)
    =eq \f(\r(3),2)sin ωxcs ωx+eq \f(1,2)cs2ωx-eq \f(1,4)=eq \f(\r(3),4)sin 2ωx+eq \f(1,4)cs 2ωx
    =eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2ωx+\f(1,2)cs 2ωx))=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx+\f(π,6))),
    又T=eq \f(2π,2ω)=π,∴ω=1,∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))).
    (1)∵0<θ∴feq (θ)=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \f(1,2)sineq \f(2π,3)=eq \f(\r(3),4).
    (2)由eq \f(π,2)+2kπ≤2x+eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)+2kπ,k∈Z,得eq \f(π,6)+kπ≤x≤eq \f(2π,3)+kπ,k∈Z,
    令k=0,得eq \f(π,6)≤x≤eq \f(2π,3),令k=1,得eq \f(7π,6)≤x≤eq \f(5π,3).
    ∴函数feq (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,2π))上的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(2π,3))),eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,6),\f(5π,3))).
    21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cs x(sin x+cs x)-eq \f(1,2).
    (1)若0<α<eq \f(π,2),且sin α=eq \f(\r(2),2),求f(α)的值;
    (2)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间.
    [解] f(x)=sin xcs x+cs2x-eq \f(1,2)
    =eq \f(1,2)sin 2x+eq \f(1+cs 2x,2)-eq \f(1,2)
    =eq \f(1,2)sin 2x+eq \f(1,2)cs 2x=eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4))).
    (1)∵0<α<eq \f(π,2),sin α=eq \f(\r(2),2),
    ∴α=eq \f(π,4).
    从而f(α)=eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α+\f(π,4)))=eq \f(\r(2),2)sineq \f(3π,4)=eq \f(1,2).
    (2)T=eq \f(2π,2)=π.
    由2kπ-eq \f(π,2)≤2x+eq \f(π,4)≤2kπ+eq \f(π,2),k∈Z,得
    kπ-eq \f(3π,8)≤x≤kπ+eq \f(π,8),k∈Z.
    ∴f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ-\f(3π,8),kπ+\f(π,8))),k∈Z.
    22.(本小题满分12分)如图,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中y>x>0.
    (1)将十字形的面积表示成θ的函数;
    (2)求十字形的最大面积.
    [解] (1)设S为十字形面积,
    则S=xy+x·eq \f(y-x,2)×2=2xy-x2=2sin θcs θ-cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)<θ<\f(π,2))).
    (2)S=2sin θcs θ-cs2θ=sin 2θ-eq \f(1,2)cs 2θ-eq \f(1,2)
    =eq \f(\r(5),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)sin 2θ-\f(\r(5),5)cs 2θ))-eq \f(1,2)
    =eq \f(\r(5),2)sin(2θ-φ)-eq \f(1,2)(设φ为锐角且tan φ=eq \f(1,2)),
    当sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=eq \f(π,2)时,S最大.
    即当θ=eq \f(π,4)+eq \f(φ,2)时,十字形取得最大面积eq \f(\r(5)-1,2).
    相关学案

    苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形本章综合与测试学案设计: 这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形本章综合与测试学案设计,共10页。学案主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    数学必修 第二册10.3 几个三角恒等式导学案: 这是一份数学必修 第二册10.3 几个三角恒等式导学案,共5页。学案主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数导学案: 这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.2 二倍角的三角函数导学案,共6页。学案主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    • 课件
    • 教案
    • 试卷
    • 学案
    • 其他

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map