初中数学16.1 二次根式课后测评

第16章 二次根式 专项训练

专训1.常见二次根式化简求值的九种技巧

名师点金：

在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化成最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．

估算法

1．若将三个数－，，表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．

(第1题)

公式法

2．计算：(5＋)×(5－2)．

拆项法

3．计算：.[提示：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)]

换元法

4．已知n＝＋1，求＋的值．

整体代入法

5．已知x＝，y＝，求＋－4的值．

因式分解法

6．计算：.

配方法

7．若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求－的值．

辅元法

8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．

先判后算法

9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．

专训2.二次根式运算常见的题型

名师点金：

进行二次根式的运算时，(1)先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式．

利用运算法则进行计算

1．计算：

(1)(－1)(＋1)－＋|1－|－(π－2)0＋；

(2)(2－)2 016·(2＋)2 017－2.

利用公式进行计算

2．计算：

(1)(－1)2＋(＋2)2－2(－1)(＋2)；

(2)(＋－)2－(－＋)2；

(3)－.

利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值

3．已知5＋和5－的小数部分分别为a，b，试求代数式ab－a＋4b－3的值．

利用化简求值

4．先化简，再求值：

÷，其中a＝.

利用整体思想巧求值

5．已知x＝1－，y＝1＋，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．

利用二次根式加减运算的特征求字母的取值(范围)或式子的值

6．已知a，b是正整数，且＋＝，求a＋b的值．

答案

专训1

1.　点拨：因为－＜0，2＜＜3，3＜＜4，所以被墨汁覆盖的数为.

2．解：原式＝(5＋)×[5－()2×]

＝(5＋)×[×(5－)]

＝×(5＋)×(5－)

＝×(25－6)＝19.

3．解：原式＝

＝＋

＝＋＝－＋－

＝－.

4．解：设x＝n＋2＋，y＝n＋2－，

则x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8.

原式＝＋＝＝＝－2＝－2＝n.

当n＝＋1时，原式＝＋1.

5．解：由已知得：x＝3＋2，y＝3－2，所以x＋y＝6，xy＝1，

所以原式＝＝＝30.

6．解：＝

＝

＝＝＝＝.　

7．解：由二次根式的定义，得

∴3－5a＝0，∴a＝.

∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.

∴－＝－＝－＝(－)＝.

当a＝，b＝15时，

原式＝×＝.

方法点拨：对于形如＋＋2或＋－2的代数式一般要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a＋b和a－b以及ab的符号．

8．解：设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，

∴原式＝＝＝－2.

9．解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.

∴b＋a＝－－＝－·＝－＝－＝－＝－.

点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解．

专训2

1．解：(1)原式＝4－9＋－1－1＋2＝－7＋3.

(2)原式＝[(2－)(2＋)]2 016·(2＋)－2×＝2＋－＝2.

2．解：(1)原式＝[(－1)－(＋2)]2＝(－1－－2)2＝9.

(2)原式＝(＋－＋－＋)×(＋－－＋－)＝2×(2－2)＝4－4.

(3)原式＝－＝－(－)＝－＋＝.

点拨：在进行二次根式的混合运算时，灵活运用乘法公式(如(1))和分解因式(如(2)(3))可简化计算过程．

3．思路导引：先明确的整数部分是1，然后再表示出5±的整数部分，再由5＋＝6＋a，5－＝3＋b可求得a，b的值，最后代入求值即可．

解：∵的整数部分为1，

∴5＋＝6＋a，5－＝3＋b，即a＝－1，b＝2－.

∴ab－a＋4b－3＝(－1)(2－)－(－1)＋4×(2－)－3＝－5＋3－＋1＋8－4－3＝1－2.

方法总结：确定二次根式整数部分和小数部分的方法：先采用缩放的方法确定二次根式的整数部分，然后用二次根式与整数部分的差确定小数部分，即由n≤<n＋1可以确定的整数部分为n，小数部分为－n.

4．思路导引：先化简分式，然后将a的值代入，利用二次根式的运算法则求出分式的值．

解：÷＝·＝·＝a＋1.

把a＝代入，得原式＝＋1＝.

5．解：∵x＝1－，y＝1＋，

∴x－y＝(1－)－(1＋)＝－2，

xy＝(1－)(1＋)＝－1，

∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝(－2)2－2×(－2)＋(－1)＝7＋4.

6．思路导引：先将化成最简二次根式，由题意可知，，是可以合并的二次根式，可设出，，然后代入求解．

解：由＋＝可知，，是可以合并的二次根式．

∵＝＝3，故可设＝m，＝n，

则m＋n＝3，

即(m＋n)＝3，

∴m＋n＝3.

又∵m，n是正整数，

∴或

∴或

∴a＋b＝1 110.

点拨：本题容易产生的第一想法是把＋＝两边平方，这样虽然能够得到a＋b，但等式中增加了，同样不能求出结果，故只能根据“若＋＝，则，，是可以合并的二次根式”这一性质来解决问题．