人教版八年级下册17.1 勾股定理课后作业题

第17章 勾股定理 专项训练

专训1.证垂直在解题中的应用

名师点金：

证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．

利用三边的数量关系说明直角

1．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长．

(第1题)

利用转化为三角形法构造直角三角形

2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.

(第2题)

利用倍长中线法构造直角三角形

3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.

(第3题)

利用化分散为集中法构造直角三角形

4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD.

(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；

(2)如图②，当α＝90°时，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．

(第4题)

利用“三线合一”法构造直角三角形

5．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.

(1)求证：CM＋CN＝BD；

(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．

(第5题)

专训2.全章热门考点整合应用

名师点金：

本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的考点可概括为：两个概念，两个定理，两个应用．

两个概念

a．互逆命题

1．有下列命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．

(1)③和⑤是互逆命题吗？

(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？

(3)请指出哪几个命题是互逆命题．

b．互逆定理

2．下列四个定理中，存在逆定理的有(　　)个．

(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；

(2)全等三角形的对应角相等；

(3)同位角相等，两直线平行．

A．0  B．1  C．2  D．3

3．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)同角的补角相等．

两个定理

a．勾股定理

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．

(第4题)

b．勾股定理的逆定理

5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类)．

(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．

(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2<c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？

两个应用

a．勾股定理的应用

6．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入．问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？需要暂时封锁吗？

(第6题)

b．勾股定理逆定理的应用

7．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37°，问：甲巡逻艇的航向？

(第7题)

答案

专训1

1．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，

∴△ABD为直角三角形，

且∠ADB＝90°.

在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，

∴CD＝＝＝15.

2．解：连接AC.在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2，

∴AC＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.

∴△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°，

∴S四边形ABCD＝×2×＋×3×4＝6＋.

(第3题)

3．证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，BE.

∵D为BC的中点，

∴CD＝BD.

又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，

∴△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝13.

在△ABE中，AE＝2AD＝12，

∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.

又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，

∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，

即AB⊥AD.

点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．

4．解：(1)如图①，连接DP，易知△DCP为等边三角形，易证得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝6，DP＝8，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝150°，∴∠BPC＝150°.

(第4题)

 (2)如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，易证得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝1，DP＝CD＝2，

∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.

5．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.

∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.∵CD⊥AB，∠BCD＝45°，

∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，

∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC.

在Rt△CBD中，∠B＝45°，∠CDB＝90°，∴BC＝BD.∴CM＋CN＝BD.

(2)解：CN－CM＝BD，如图②，连接CD，证法同(1)．

(第5题)

专训二

1．解：(1)由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．

(2)能．③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.

(3)①与④，②与⑥分别是互逆命题．

2．C

3．解：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们是互逆定理．

(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理．

4．解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，

整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①

在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，

整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②

由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即CD的长是1.4.

点拨：勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂．

5．解：(1)锐角；钝角

(2)a2＋b2＝22＋42＝20，∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c<6.

①由a2＋b2>c2，得c2<20，0<c<2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；

②由a2＋b2＝c2，得c2＝20，c＝2，∴当c＝2时，这个三角形是直角三角形；

③由a2＋b2<c2，得c2>20，c>2，∴当2<c<6时，这个三角形是钝角三角形．

6．思路导引：要判断公路AB段是否需要暂时封锁，只需要判断点C到公路l的距离是否大于250 m．若大于250 m，则不需要暂时封锁；若小于或等于250 m，则需要暂时封锁．

解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，因为BC2＋AC2＝AB2，BC＝400 m，AC＝300 m，

(第6题)

所以AB2＝4002＋3002＝5002，所以AB＝500 m.

因为SRt△ABC＝AB·CD＝BC·AC，　

所以500×CD＝400×300，所以CD＝240 m.

因为240<250，

所以公路AB段有危险，需要暂时封锁．

7．解：AC＝40×0.1＝4(n mile)，BC＝30×0.1＝3(n mile)．

因为AB＝5 n mile，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB＝90°.

因为∠CBA＝90°－37°＝53°，所以∠CAB＝37°，

所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.