数学人教A版 (2019)4.4 对数函数一课一练

2.4 对数与对数函数

一、选择题

1．设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c     B．c<b<a

C．c<a<b     D．b<c<a

2．计算log29·log34等于(　　)

A.     B.     C．2    D．4

3．(2020届河南新乡二中高三月考)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．(2020届云南曲靖第一中学高三月考)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

5．(2020届黑龙江大庆实验中学高三月考)已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f(log3)的值是(　　)

A．5     B．3     C．－1     D.

6．(多选题)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则(　　)

A．f(x)是奇函数

B．f(x)是偶函数

C．f(x)在(0，10)上是增函数

D．f(x)在(0，10)上是减函数

7．(2020届四川广元二中高三月考)函数f(x)＝(0<a<1)的大致图象是(　　)

A　　　　　　　　　 B

C　　　　　　　　　 D

8．(2020届湖北孝感一中高三月考)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log4)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c     B．c>b>a

C．c>a>b     D．a>c>b

9．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

10．(多选题)若a＞b＞1，－1＜c＜0，则(　　)

A．abc＜bac

B．ac＞bc

C．loga|c|＞logb|c|

D．bloga|c|＞alogb|c|

二、填空题

11．函数f(x)＝的最小值为________．

12．设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，则使f(x)＜0成立的x的取值范围是________．

13．(2020届四川雅安中学高三月考)已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

14．(2020届福建福州第三中学高三月考)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不相等的实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________．

三、解答题

15．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．

16.(2020届湖北孝感一中高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)＞－2.

17．(2020届四川广元二中高三月考)已知函数f(x)＝lg.

(1)求f(2 020)＋f(－2 020)的值；

(2)对于x∈[2，6]，f(x)＜lg恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案

1．C

解析：∵0<a＝0.50.4<0.50＝1，b＝log0.40.3>log0.40.4＝1，c＝log80.4<log81＝0，∴c＜a＜b.故选C.

2．D

解析：(方法一)原式＝·＝＝4.

(方法二)原式＝2log23·＝2×2＝4.故选D.

3．A

解析：因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；当log2a＞log2b＞0＝log21时，有a＞b＞1.故选A.

4．B

解析：由题意知，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(3,1)，解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B.

5．A

解析：由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f＝5.故选A.

6．BD

解析：由得x∈(－10,10)，且f(x)＝lg(100－x2)，∴f(x)是偶函数．又t＝100－x2在(0,10)上单调递减，y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0,10)上单调递减．故选BD.

7．C

解析：当x＞0时，f(x)＝logax单调递减，排除A，B；当x＜0时，f(x)＝－loga(－x)单调递减，排除D.故选C.

8．B

解析：函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．∵b＝＝f(－2)＝f(2)，1<20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a.故选B.

9．A

解析：由题意，知函数f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)为单调递减函数．当0<a<1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝＞2，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C，D均不满足；当a＞1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝＜2，且x＝＞0.又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B.综上只有A满足．

10．CD

解析：令f(x)＝xc－1，则由－1＜c＜0可知函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．再结合a＞b＞1可知f(a)＜f(b)，即ac－1＜bc－1，整理可得abc＞bac，故A错误；令g(x)＝xc，结合a＞b＞1，－1＜c＜0可知函数g(x)是减函数，且g(a)＜g(b)，即ac＜bc，故B错误；由于a＞b＞1，－1＜c＜0，则lg a＞lg b＞0，lg |c|＜0，故＜，＞，所以loga|c|＞logb|c|，故C正确；bloga|c|－alogb|c|＝－＝.因为a＞b＞1，所以lg a＞lg b＞0，所以alg a＞blg b，所以blg b－alg a＜0.又－1＜c＜0，所以lg|c|＜0，所以＞0，即bloga|c|－alogb|c|＞0，故bloga|c|＞alogb|c|成立，故D正确．故选CD.

11．－

解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.

12．(－1,0)

解析：由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．由f(x)<0，可得0＜＜1，∴－1<x<0.

13．4　2

解析：∵logab＋logba＝logab＋＝，∴logab＝2或.∵a>b>1，∴logab＜logaa＝1，∴logab＝，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.

14．(0,1)

解析：由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，如图所示，∴ab＝1,0<c<lg 10＝1，∴abc的取值范围是(0,1)．

15．解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.

由得－1＜x＜3，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数；

当x∈时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

16．解：(1)当x＜0时，－x>0，则f(－x)＝．

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝

(2)因为f(4)＝＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)＞－2转化为f(|x2－1|)＞f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|＜4，解得－＜x＜，即不等式的解集为(－，)．

17．解：(1)由＞0，得x>1或x<－1.

∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}．

又f(x)＋f(－x)＝lg＝0，∴f(x)为奇函数．

故f(2 020)＋f(－2 020)＝0.

(2)当x∈[2,6]时，f(x)<lg恒成立可化为＜恒成立，即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．

又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.

∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，

∴m>9，即实数m的取值范围是(9，＋∞)．