4.1.2　无理数指数幂

课标要求　1.理解有理数指数幂的基本不等式.2.了解无理数指数幂的概念与含义，了解实数指数幂的运算、拓展.

素养要求　通过对有理数指数幂到无理数指数幂的拓展学习，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.

自 主 梳 理

1.有理数指数幂的基本不等式

(1)对任意的正有理数r和正数a，若a>1，则ar>1；若a<1，则ar<1.

(2)对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则ar<1；若a<1，则ar>1.

(3)对任意的正数a，两有理数r与s，

当a>1且r>s，有＝ar－s>1，即ar>as；

当a<1且r>s，有＝ar－s<1，即ar<as.

2.无理数指数幂

(1)一般地，无理数指数幂aμ(a>0，μ为无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

(2)一般的幂运算基本不等式：

对任意的正数μ和正数a，若a>1，则aμ>1；若a<1，则aμ<1.

对任意的负数μ和正数a，若a>1，则aμ<1；若a<1，则aμ>1.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)>1.(×)

提示　<1，>0，故<1.

(2)对于正数a，实数为r与s，若r>s，则ar>as.(×)

提示　当a>1时，ar>as，

当a<1时，ar<as.

(3)整数指数幂的运算性质＝an－m，可以推广到任意实数，即其中a>0，m，n∈R也成立.(√)

2.化简的结果为(　　)

A.5   B. 

C.－   D.－5

答案　B

解析　＝()＝5×＝5＝.

3.化简：

(1)[(2 022)＋]－＝________，

(2)2－π·π－1＝________.

答案　(1)2 022　(2)

4.比较大小

(1)1.1________1，(2)________1，

(3)________1，(4)________1，

(5)________1，(6)(1.3)________1.

答案　(1)>　(2)>　(3)<　(4)<  (5)<　(6)>

题型一　幂的化简

例1 化简下列各式：

(1)(a>0，b>0)；

(2)(2＋)2－；

(3)4x(－3xy－)÷(－6x－y－)(x，y>0).

解　(1)＝＝1；

(2)(2＋)2－＝(2＋)(2－)＝2＝2；

(3)4x(－3xy－)÷(－6x－y－)＝2x＋＋·y－＋＝2xy.

思维升华　指数幂运算的常用技巧

(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.

(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.

训练1 计算或化简：

(1)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；

(2)·(a>0).

解　(1)原式＝(－1)－＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.

(2)原式＝(a·a－)·[(a－5)－·(a－)13]＝(a0)·(a·a－)＝(a－4)＝a－2.

题型二　幂运算的基本不等式

例2 已知a>1，t>0，对任意实数m，求证：am＋t＋am－t>2am.

证明　∵am＋t，am，am－t都为正数，

又＝＝at>1，

∴am＋t>am，am>am－t，

∴＝＝at>1，

∴am＋t－am>am－am－t，

即am＋t＋am－t>2am.

思维升华　对于正数a与实数μ，当μ>0时，若a>1，则aμ>1；若a<1，则aμ<1.当μ<0时，若a>1，则aμ<1；若a<1，则aμ>1.

训练2 若a>b>0，对r<0，求证：ar<br.

证明　∵a>b>0，∴>1，

又∵r<0，∴<1，

即<1，∴ar<br.

题型三　实数指数幂的计算求值

例3 (1)若x＝2，则(x＋3)＝________.

(2)若x－x－＝1，则x＋x－1＝________；x2＋x－2＝________.

答案　(1)±1　(2)3　7

解析　(1)因为x＝2，则＝23＝8，得x2＝23，解得x＝±2，

所以(x＋3)＝(3±2)＝[(±1)2]＝±1.

(2)将x－x－＝1，两边平方得x＋x－1－2＝1，则x＋x－1＝3.

x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，

所以x2＋x－2＝7.

思维升华　利用整体代换法求分数指数幂

(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键.

(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.

x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(x±x－)2∓2，x＋x－＝(x±x－)2∓2.

训练3 已知a＋a－＝3，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

解　(1)因为a＋a－＝3，所以＝a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.

(2)因为a＋a－1＝7，所以(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.

[课堂小结]

1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.

2.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.

一、基础达标

1.在，2－，，2－1中，最大的数是(　　)

A.   B.2－

C.   D.2－1

答案　C

解析　＝－2，2－＝＝，＝，2－1＝，所以最大.

2.若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是(　　)

A.R B.∪

C. D.

答案　D

解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<.

3.＋(－1)－1÷0.75－2＋＝(　　)

A.   B. 

C.－   D.－

答案　A

解析　原式＝－1÷＋＝－1÷＋＝－＋＝.

4.已知a>0，化简()4·()4的结果是(　　)

A.a16   B.a8

C.a4   D.a2

答案　C

解析　原式＝·＝4·＝a2·a2＝a4.

5.2，3，6这三个数的大小关系为(　　)

A.6<3<2   B.6<2<3

C.2<3<6   D.3<2<6

答案　B

解析　2＝2＝＝，

3＝3＝＝，6＝.

∵<<，∴6<2<3.

6.计算(4－3)＋3＝________.

答案　

解析　原式＝4(－3)(＋3)＝47－9＝4－2＝.

7.如果a＝3，b＝384，那么＝________.

答案　3×2n－3

解析　

＝3(128)n－3＝3×2n－3.

8.已知a>0，化简－＝________.

答案　4

解析　因为a>0，

所以－＝－＝4.

9.计算下列各式(式中字母都是正数)：

(1)(0.027)＋－；

(2)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)；

(3).

解　(1)(0.027)＋－＝[(0.3)3]＋－－

＝0.09＋－＝0.09.

(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－＝4ab0＝4a.

(3)＝＝m－＋m.

10.求下列各式的值：

(1)7－3－6＋；

(2)－0.250.5＋0.5－2－.

解　(1)原式＝7×3－3－6＋

＝7×3－6×3－6×3－＋3＝2×3－2×3×3－

＝2×3－2×3＝0.

(2)原式＝－[(0.5)2]0.5＋22－1＝－＋4－1＝.

二、能力提升

11.(多选)下列各式的化简中，正确的是(　　)

A.－＝(－x) B.x－＝－

C.＝(x，y≠0) D.(－1)＋1＝2

答案　CD

解析　－＝－x，x－＝，故A，B都错，C，D正确.

12.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.

答案　　2

解析　利用一元二次方程根与系数的关系，

得α＋β＝－2，αβ＝.

则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，

(2α)β＝2αβ＝2.

13.化简下列各式：

(1)(a>0，b>0)；

(2)(a>0)；

(3)－(a>0).

解　(1)＝＝a＋b.

(2)＝＝a2－－＝a(a>0).

(3)－＝－

＝a－－a－＝0.

三、创新拓展

14.已知x＋x－1＝3，求下列各式的值：

(1)x＋x－；(2)x＋x－.

解　(1)(x＋x－)2＝x1＋x－1＋2＝3＋2＝5，

∴x＋x－＝±，

又x＋x－1＝3，得x>0，

所以x＋x－＝.

(2)x＋x－＝(x)3＋(x－)3＝(x＋x－)·[(x)2－x·x－＋(x－)2]＝(x＋x－)·[(x＋x－1)－1]＝(3－1)＝2.