5.2.2　同角三角函数的基本关系

课标要求　1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.

素养要求　通过同角三角函数式的应用，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

自 主 梳 理

1.同角三角函数的基本关系

2.同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.

(2)tan α＝的变形公式：

sin α＝cos__αtan__α；cos α＝.

温馨提醒　(1)在应用变形关系式sin α＝±，cos α＝±时，切记“±”号一定不能省略；“±”号是由角α的终边位置决定的，切不可不加分析，凭想象乱写乱用关系式.

(2)已知sin α，cos α，tan α中的一个值，求另外两个的值时，要注意关系式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.

自 主 检 验

1.思考辨析，判断正误

(1)sin2α＋cos2β＝1.(×)

提示　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.

(2)sin2＋cos2＝1.(√)

(3)对任意的角α，都有tan α＝成立.(×)

提示　当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.

(4)若sin α＝，则cos α＝.(×)

提示　cos α＝±.

2.下列四个结论中可能成立的是(　　)

A.sin α＝且cos α＝

B.sin α＝0且cos α＝－1

C.tan α＝1且cos α＝－1

D.α是第二象限角时，tan α＝－

答案　B

解析　根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且

cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.

3.若α∈且sin αcos α＝，则sin α＋cos α＝________.

答案　

解析　(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋＝，又∵α∈，sin α>0，

cos α>0，∴sin α＋cos α＝.

4.若＝－1，则tan α＝______.

答案　2

解析　原式可化为＝－1.则tan α＝2.

题型一　同角三角函数的基本关系及简单应用

例1 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.

解　∵cos α＝－<0，

∴α是第二或第三象限角，

(1)当α是第二象限角时，则sin α＝ ＝ ＝，

tan α＝＝＝－.

(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－＝－，tan α＝.

思维升华　(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解

(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.

训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.

解　由tan α＝＝，

得sin α＝cos α.①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.

又α是第三象限角，

∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.

题型二　三角函数式的化简

例2 化简：

(1)－；

(2)；

(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.

解　(1)－＝

＝＝＝－2tan2α.

(2)＝＝＝1.

(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α＝

＝＝

思维升华　三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.

训练2 化简＋(1＋tan2α)cos2α.

解　原式＝＋cos2α

＝＋·cos2α＝1＋1＝2.

题型三　三角函数式的求值

角度1　弦切互化求值

例3 已知tan α＝2.

(1)求的值；

(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.

解　(1)法一　(代入法)∵tan α＝2，

∴＝2，

∴sin α＝2cos α.

∴＝＝－.

法二　(弦化切)∵tan α＝2.

＝＝＝＝－.

(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝

＝＝＝.

思维升华　对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.

角度2　sin α±cos α型求值问题

例4 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值.

解　因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，

所以(sin θ＋cos θ)2＝，

即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，

所以sin θcos θ＝－.

由上知，θ为第二象限的角，

所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝

＝＝.

思维升华　已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.

训练3 (1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.

(2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝________.

答案　(1)－　(2)或－

解析　(1)∵sin α＋cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝，

即2sin αcos α＝－<0，

又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，

∴α∈(，π)，

故sin α－cos α＝＝，

可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

(2)由题中等式易知cos α≠0，

则2cos2α－3sin αcos α＝＝＝，

整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，

即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，

解得tan α＝或tan α＝－.

题型四　三角恒等式的证明

角度1　一般恒等式的证明

例5 求证：＝.

证明　法一　

左边＝＝＝

＝＝右边.

所以等式成立.

法二　右边＝＝＝

＝＝左边.

所以等式成立.

思维升华　证明三角恒等式常用的方法

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；

(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；

(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；

(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.

角度2　条件恒等式的证明

例6 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.

证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，

所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.

所以＋1＝2(＋1)，

通分可得＝，

即cos2β＝2cos2α，

所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，

即sin2β＝2sin2α－1.

思维升华　含有条件的三角恒等式证明的常用方法

(1)直推法：从条件直推到结论；

(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；

(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.

训练4 (1)求证：＝；

(2)已知＋＝1，求证＋＝1.

证明　(1)∵右边＝＝

＝＝

＝＝左边，

∴原等式成立.

(2)设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，

则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.

由＋＝1，得＋＝1，

即(m－n)2＝0.∴m＝n，

∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.

[课堂小结]

1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.

2.在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取.

一、基础达标

1.化简的结果是(　　)

A.cos 160°   B.±|cos 160°|

C.±cos 160°   D.－cos 160°

答案　D

解析　＝

＝|cos 160°|＝－cos 160°.

2.已知sin α－cos α＝－，则sin α·cos α等于(　　)

A.   B.－ 

C.－   D.

答案　C

解析　因为sin α－cos α＝－，

平方可得1－2sin αcos α＝，

所以2sin αcos α＝－，

即sin αcos α＝－.

3.已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α＝(　　)

A.－   B.－ 

C.   D.

答案　A

解析　∵sin α＝，α为第二象限角，

∴cos α＝－，∴tan α＝－.

4.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)

A.   B. 

C.1   D.

答案　C

解析　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.

5.(多选)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α的值为(　　)

A.－3  B.－  C.  D.3

答案　BD

解析　因为sin α＋2cos α＝，

又sin2α＋cos2α＝1，

联立解得或

故tan α＝＝－或3.

6.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.

答案　1

解析　(1＋tan215°)cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.

7.已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.

答案　－

解析　∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，

又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，

又∵α∈，∴cos α＝－.

8.化简(1－cos α)＝________.

答案　sin α

解析　原式＝(1－cos α)＝(1－cos α)

＝＝＝sin α.

9.已知tan α＝2，求下列代数式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.

解　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝＝＝＝.

10.求证：＝.

证明　法一　

∵左边＝＝

＝＝

＝＝＝右边.

∴原等式成立.

法二　∵右边＝＝；

左边＝＝＝

＝.

∴左边＝右边，原等式成立.

二、能力提升

11.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　　)

A.锐角三角形   B.钝角三角形

C.等边三角形   D.等腰直角三角形

答案　B

解析　∵sin α＋cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝，

即1＋2sin αcos α＝，

∴sin α·cos α＝－<0，

∵α是三角形一内角，∴α∈.

∴此三角形为钝角三角形.

12.已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________.

答案　－

解析　由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，

故原式＝＝＝sin α(1＋sin α)＝(－)×(1－)＝－.

13.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈.

(1)求＋的值；

(2)求m的值.

解　(1)由题意，得

所以＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ

＝.

(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，

将上式两边平方，

得1＋2sin θcos θ＝，

所以sin θcos θ＝，

由(1)，知＝，所以m＝.

此时Δ＝[－(＋1)]2－4×2×＝(－1)2>0，∴m＝符合题意.

三、创新拓展

14.设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.

解　假设存在实数m满足条件，由题设得，

Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①

∵sin α<0，cos α<0，

∴sin α＋cos α＝－m<0，②

sin αcos α＝>0.③

又sin2α＋cos2α＝1，

∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.

把②③代入上式得

－2×＝1，

即9m2－8m－20＝0，

解得m1＝2，m2＝－.

∵m1＝2不满足条件①，舍去；

m2＝－不满足条件②③，舍去.

故满足题意的实数m不存在.