湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式课堂教学ppt课件

课后素养落实(十六)　一元二次不等式的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列四个不等式，其中解集是R的是(　　)

A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0

C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1

C　[A显然不可能；

B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；

C中Δ＝62－4×10<0，满足条件；

D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C．]

2．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　　)

A．{k|0≤k≤1} B．{k|0<k≤1}

C．{k|k<0或k>1} D．{k|k≤0或k≥1}

A　[(1)当k＝0时，8≥0显然符合题意；

(2)当k≠0时，由题意可知

即解得0<k≤1．

综上可知0≤k≤1，故选A．]

3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．{a|a<2} B．{a|a≤2}

C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2}

D　[当a－2＝0，即a＝2，－4<0，恒成立；

当a－2≠0时，

解得－2<a<2，∴－2<a≤2，故选D．]

4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)

A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}

C．{x|15<x<20} D．{x|10≤x<20}

C　[设这批台灯的销售单价为x元，

则[30－(x－15)×2]x>400，

即x2－30x＋200<0，∴10<x<20，

又∵x>15，∴15<x<20.故选C．]

5．若不等式x2－4x>2ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．1<a<4 B．－4<a<－1

C．a<－4或a>－1 D．a<1或a>4

B　[不等式x2－4x>2ax＋a可变形为x2－(4＋2a)x－a>0，∵该不等式对一切实数x恒成立，∴Δ<0，即(4＋2a)2－4·(－a)<0，化简得a2＋5a＋4<0，解得－4<a<－1，所以实数a的取值范围是－4<a<－1．故选B．]

二、填空题

6．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则实数a的取值范围是________．

　[当a＝0时，1>0为真命题，符合题意；

当a≠0时，要使∀x∈R，ax2＋ax＋1>0为真命题，则对应的抛物线开口向上且与x轴没有交点，

可得 ⇒0<a<4.

综上可得实数a的取值范围是}．]

7．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合为________．

{a|0≤a≤4}　[①当a＝0时，满足题意；

②当a≠0时，应满足解得0<a≤4.

综上可知，a值的集合为{a|0≤a≤4}．]

8．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．

3≤t≤5　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400××t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]

三、解答题

9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

[解]　(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>，

∴所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

10.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(单位：m)与汽车的车速v(单位：km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关实数数据如图所示，其中

(1)求n的值；

(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？

[解]　(1)由题意得

解得因为n∈N，所以n＝6.

(2)由于刹车距离不超过12.6 m，即s≤12.6，所以＋≤12.6，因此v2＋24v－5 040≤0，

解得－84≤v≤60.因为v≥0，

所以0≤v≤60，

即行驶的最大速度为60 km/h.

1．(多选题)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是(　　)

A．0<a<1 B．－1<a<1

C．0≤a≤1 D．a<0或a>

BC　[“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”，则Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1；

所以“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是BC．]

2．若x>0，y>0，且＋＝1，x＋2y>m2＋7m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．{m|－8<m<1}

B．{m|m<－8或m>1}

C．{m|m<－1或m>8}

D．{m|－1<m<8}

A　[由基本不等式得x＋2y＝＝＋＋4≥2＋4＝8，

当且仅当＝，即当x＝2y时，等号成立，所以，x＋2y的最小值为8.

由题意可得m2＋7m<min＝8，即m2＋7m－8<0，解得－8<m<1．

因此，实数m的取值范围是{m|－8<m<1}，故选A．]

3．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

－4<a<0　a≤－6或a≥2　[由Δ1<0即a2－4(－a)<0得－4<a<0；由Δ2≥0即a2－4(3－a)≥0得a≤－6或a≥2.]

4．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．

－8≤λ≤4　[因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，

所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，

即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，

由二次不等式的性质可得，

Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，

所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.]

某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

[解]　(1)设下调后的电价为x元/kw·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为

y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．

(2)依题意，有

整理，得

解得0.60≤x≤0.75.

∴当电价最低定为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.