高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用同步达标检测题

5.7　三角函数的应用

A级 必备知识基础练

1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin2t+,s2=10cos 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是(　　)

A.s1>s2 B.s1<s2

C.s1=s2 D.不能确定

2.

如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+φ+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

3.

如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所走过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是(　　)

4.(2022天津河西高一期末)如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π),则在6≤x≤14时这段曲线的函数解析式是　　　　　　　　　　　.(不要求写定义域) 

5.某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sint-+20(t∈[0,24]),则这一天的最低气温是　　　 ℃. 

6.如图所示,某动物种群数量1月1日最低为700,7月1日最高为900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.

(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式;(其中t以年初以来的月为计量单位)

(2)估计当年3月1日动物种群数量.

B级 关键能力提升练

7.(2021北京海淀高一月考)在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为              (　　)

A.x=sint- 

B.x=3sin t

C.x=sin3t+ 

D.x=3sint+

8.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为              (　　)

9.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定y(单位:千元)的函数解析式为(　　)

A.y=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)

B.y=9sin(1≤x≤12,x∈N*)

C.y=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N*)

D.y=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)

10.(2022江苏无锡高一期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车,在匀速转动过程中,筒车上一盛水筒M距离水面的高度H(单位:米)与转动时间t(单位:秒)满足函数关系式H=2sint+φ+,φ∈0,,且t=0时,盛水筒M与水面的距离为2.25米,当筒车转动100秒后,盛水筒M与水面的距离为　　　　　米. 

C级 学科素养创新练

11.国际油价P(单位:美元)在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin+60(A>0,ω>0),t为天数,现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150时达到最低油价,则ω的最小值为　　　　　. 

5.7　三角函数的应用

1.C　当t=时,s1=5sin=5sin =-5,s2=10cos =10×-=-5,故s1=s2.

2.C　由题意可知当sinx+φ取最小值-1时,

函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,

∴y=3sinx+φ+5,当sinx+φ取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.

3.C　设所对的圆心角为α,则α=l,

弦AP的长d=2|OA|sin,

即有d=f(l)=2sin,0≤l≤2π.

故C选项的图象符合要求.

4.y=10sinx++20　由图可知,A=×(30-10)=10,T=2×(14-6)=16,b=20,

∴ω=.∵点(10,20)在函数的图象上,

∴10sin×10+φ+20=20,即sin+φ=0,

则+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-,k∈Z.

∵|φ|<π,则φ=.

则这段曲线的函数解析式是y=10sinx++20.

5.14　因为0≤t≤24,所以-t-,故当t-=-,即t=2时,函数取最小值-6+20=14.

6.解 (1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π),则

解得A=100,b=800.

周期T=2×(6-0)=12,∴ω=,

∴y=100sint+φ+800.

又当t=6时,y=900,

∴900=100sin×6+φ+800,

∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,

∴φ=-,即y=100sint-+800.

(2)当t=2时,

y=100sin×2-+800=750,

即当年3月1日动物种群数量约是750.

7.D　设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T==3,故ω=,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,x=3sint+.故选D.

8.C　由题意可得f(x)= 0≤f(x)≤,排除A,B,D,选项C满足函数的图象,故选C.

9.A　(方法1)令x=3可排除D;令x=7,可排除B;由A==2可排除C.故选A.

(方法2)由题意,可得A==2,b=7,

周期T==2×(7-3)=8,

∴ω=,∴y=2sin+7.

∵当x=3时,y=9,∴2sin+7=9.

即sin=1.

又|φ|<,∴φ=-,

∴y=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*).

10.0.25　∵H=2sint+φ+,φ∈0,,

当t=0时,H=2sin φ+=2.25,则sin φ=,

∵φ∈0,,∴φ=.

故H=2sint++.

∴当t=100时,盛水筒M与水面距离为H=2sin×100++=2×-+=0.25(米).

11.　因为国际油价P在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin+60,最高油价80美元,所以A=20.

当t=150时达到最低油价,

即sin=-1,此时150ωπ+=2kπ-,k∈Z,因为ω>0,所以令k=1,得150ωπ+=2π-,解得ω=.故ω的最小值为.