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人教版高中数学必修第一册模块综合测评含答案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全册综合课时作业，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模块综合测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022河南焦作高一期末)设集合A={x|y=x-1},B={y|y=2x+1},则A∩B=( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
2.已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
A.2 B.22 C.102 D.2
4.已知角α终边上一点M的坐标为(1,3),则sin 2α等于( )
A.-12 B.12 C.-32 D.32
5.(2022天津一中高一期末)已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1是R上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,1) B.17,13
C.0,13 D.19,13
6.已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(2021河南豫南九校第三次联考)已知函数f(x)的图象关于原点对称,且满足f(x+4)+f(-x)=0,且当x∈(2,4)时,f(x)=-log12(x-1)+m,若f(2 021)-12=f(-1),则m=( )
A.43 B.34 C.-43 D.-34
8.设函数f(x)=2cos2x+π8+sin2x+π4,x∈(0,3π),则下列判断正确的是( )
A.函数的图象的一条对称轴为直线x=π6
B.函数在区间π2,5π4上单调递增
C.∃x0∈(0,3π),使f(x0)=-1
D.∃a∈R,使得函数y=f(x+a)在其定义域内为偶函数
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法错误的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
10.已知0
C.1a>1b D.1lna>1lnb
11.(2021山东潍坊高一期末)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则以下说法正确的是( )
A.函数g(x)在0,π6上单调递增
B.函数y=g(x)的图象关于点-π6,0对称
C.gx-π2=-g(x)
D.gπ6≥g(x)
12.已知函数f(x)=x4+2x2+ax2+1(x∈R)的值域为[m,+∞),则实数a与实数m的取值可能为( )
A.a=0,m=0
B.a=1,m=1
C.a=3,m=3
D.a=2,m=2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.lg 4+lg 25-(0.5-2-2)×278 23的值是 .
14.将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
15.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= .
16.设常数a∈R,则方程|x+a|·ex=1的解的个数组成的集合是A= .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知p:函数f(x)=(a-m)x在R上是减函数,q:关于x的方程x2-2ax+a2-1=0的两根都大于1.
(1)当m=5时,p是真命题,求a的取值范围;
(2)若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件,求m的取值范围.
18.(12分)(2022广东普宁高一期末)已知函数f(x)=-x2+bx+c,关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|1
(2)如果函数g(x)=f(x)-mx在[1,2]上具有单调性,求m的取值范围.
19.(12分)(2022山东菏泽高一期末)已知函数f(x)=x2+bx+1ax(a>0)为奇函数,且方程f(x)=2有且仅有一个实根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=ln f(ex),求证:函数y=g(x)为偶函数.
20.(12分)(2022江西上饶高一期末)已知某厂家生产某种产品的年固定成本为100万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(万元),当年产量不足80千件时,C(x)=12x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=52x+20 000x+2-600(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式.
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
21.(12分)(2022天津滨海新区高一期末)已知函数f(x)=sin2x+π3+sin2x-π3+3cos 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当x∈0,π2时,
①求函数f(x)的单调递减区间;
②求函数f(x)的最大值、最小值,并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值.
22.(12分)(2022黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+1-74a(a为非零常数).
(1)若a>0,且方程f(x)=0在区间[0,2]上有两个不等实根,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式:f(x)>2a-74a+3.
模块综合测评
1.D 由于A={x|y=x-1}={x|x≥1},B={y|y=2x+1}={y|y>1},所以A∩B=(1,+∞).
2.A a=log72<12,b=log0.70.2>log0.70.7=1,0.7
则由基本不等式有2a+5b≥210ab=2,
当且仅当2a=5b,ab=10,即a=2,b=5时,等号成立.
故选D.
4.D 由角α终边上一点M的坐标为(1,3),
得sin α=32,cos α=12,
故sin 2α=2sin αcos α=32,
故选D.
5.B 由题意得3a-1<0,3a-1+4a≥0,0
若k为偶数,则sin α=sin(kπ+β)=sin β;
若k为奇数,则sin α=sin(kπ-β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π-β)=sin β.
(2)当sin α=sin β时,α=β+2mπ或α+β=π+2mπ,m∈Z,即α=kπ+(-1)kβ(k=2m)或α=kπ+(-1)kβ(k=2m+1),
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ.
所以“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的充要条件.
故选C.
7.C 因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(x+4)+f(-x)=0,所以f(x+4)=-f(-x)=f(x),
故函数f(x)为周期函数,且周期为4.
则f(2 021)=f(1),f(-1)=-f(1),
则由f(2 021)-12=f(-1)可得f(1)=13.
因为f(1)=f(-3)=-f(3)=log12(3-1)-m=13,
解得m=-43.故选C.
8.D 函数f(x)=1+cos2x+π4+sin2x+π4=1+2cos 2x,
x∈(0,3π),当x=π6时,2x=π3不能使函数取得最值,
所以直线x=π6不是函数的图象的对称轴,故A错误;
当x∈π2,54π时,2x∈π,52π,函数先增后减,故B错误;
若f(x)=-1,则cos 2x=-2不成立,故C错误;
当a=32π时,f(x+a)=1-2cos 2x,函数是偶函数,
故D正确.故选D.
9.ABD 由题意知f(0)·f(1)<0,所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点,又f(1)·f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.故选ABD.
10.ACD 因为0
因为0
所以1lna>1lnb,同理可得,1a>1b.
故选ACD.
11.BC 函数f(x)=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)=sin2x+π3的图象.
对于A,由于x∈0,π6,所以2x+π3∈π3,2π3,则函数在该区间上先增后减,故A错误;
对于B,当x=-π6时,g-π6=0,故B正确;
对于C,gx-π2=sin2x-π2+π3=sin2x-2π3=-sin2x+π3=-g(x)成立,故C正确;
对于D,当x=π6时,gπ6=sin 2π3=32≠1,
即gπ6≥g(x)不成立,故D错误.
故选BC.
12.ABD f(x)=x4+2x2+ax2+1=(x2+1)2+a-1x2+1=x2+1+a-1x2+1,
设x2+1=t,t≥1,则y=t+a-1t.
当a=0时,y=t-1t在[1,+∞)上单调递增,t=1时,y=0,故y∈[0,+∞),A正确;
当a=1时,y=t在[1,+∞)上单调递增,t=1时,y=1,故y∈[1,+∞),B正确;
当a=3时,y=t+2t在[1,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,故ymin=22,C错误;
当a=2时,y=t+2-1t在[1,+∞)上单调递增,t=1时,y=2,故y∈[2,+∞),D正确.故选ABD.
13.-52 原式=lg 100-2×94=2-92=-52.
14.x=-5π24 将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度后得到函数y=3sin2x-π6+π4=3sin2x-π12的图象.
由2x-π12=π2+kπ,k∈Z,得
平移后的对称轴的方程为x=7π24+kπ2,k∈Z.
当k=0时,x=7π24,当k=-1时,x=-5π24.
所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-5π24.
15.1 ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,且f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,
∴f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1),
∴f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1),
即f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1.
16.{1,2,3} 由题意得,|x+a|=1ex,设f(x)=1ex,g(x)=|x+a|,在直角坐标系中分别画f(x),g(x)的图象,如图所示,
所以方程解的个数可能为1或2或3.
17.解 (1)因为m=5,所以f(x)=(a-5)x,
因为p是真命题,所以0
(2)若p是真命题,则0
若q是真命题,则a-1>1,解得a>2.
因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件,
所以m≥2,即m的取值范围为[2,+∞).
18.解 (1)因为关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|1
故不等式cx2+bx-1>0即为-2x2+3x-1>0,
即2x2-3x+1<0,解得12
(2)由(1)可得f(x)=-x2+3x-2,
函数g(x)=f(x)-mx=-x2+(3-m)x-2,
因为g(x)在[1,2]上具有单调性,
故3-m2≤1或3-m2≥2,解得m≥1或m≤-1.
故实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
19.(1)解 函数f(x)=x2+bx+1ax为奇函数,
所以f(x)=-f(-x),
即x2+bx+1ax=-(-x)2+b(-x)+1a(-x),
化简得2bx=0,得b=0,故f(x)=x2+1ax.
又方程f(x)=2有且仅有一个实根,则x2+1ax=2,
即x2-2ax+1=0有且仅有一个实根,
所以(-2a)2-4×1×1=0,得a2=1,
解得a=1,a=-1(舍去),所以f(x)=x2+1x.
(2)证明 因为g(x)=ln f(ex)=lne2x+1ex,显然g(x)的定义域为R,其图象关于原点对称,
又g(-x)=lne-2x+1e-x=lne2x+1ex=g(x),
所以函数y=g(x)为偶函数.
20.解(1)∵每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,
当0
∴L(x)=-12x2+40x-100,0
当x≥80时,L(x)=500-2x-20 000x+2=500-2(x+2)+10 000x+2-2≤500-22(x+2)·10 000x+2-2=500-2×198=104.
当且仅当x+2=10 000x+2,即x=98时,等号成立.
∵700>104,∴当年产量为40千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为700万元.
21.解(1)f(x)=sin2x+π3+sin2x-π3+3cos 2x=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3.
∵T=2π2=π,
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)①∵x∈0,π2,
∴z=2x+π3∈π3,4π3,
∵y=sin z,z∈π3,4π3的单调递减区间是π2,4π3,
且由π2≤2x+π3≤4π3,得π12≤x≤π2,
故函数f(x)的单调递减区间为π12,π2.
②由①知,f(x)在π12,π2上单调递减,在0,π12上单调递增,且f(0)=2sinπ3=3,fπ12=2sinπ2=2,fπ2=2sin 4π3=-3,故当x=π12时,f(x)取最大值为2;当x=π2时,f(x)取最小值为-3.
22.解 (1)∵方程f(x)=ax2+(a-1)x+1-74a=0(a>0)在[0,2]上有两个不等实根,
∴a>0,Δ=(a-1)2-4a(1-74a)>0,f(0)≥0,f(2)≥0,0
(2)不等式f(x)>2a-74a+3等价于ax2+(a-1)x-2+2a>0,可化为(ax-2)x+a+1a>0.
∵a≠0,∴①当a>0时,原不等式可化为x-2ax+a+1a>0,解得x>2a或x<-a+1a;
②当a=-3时,原不等式可化为(-3x-2)x+23>0,解得x∈⌀;
③当a<-3时,原不等式可化为x-2ax+a+1a<0,解得-a+1a
②当-3
④当a<-3时,原不等式的解集为-a+1a,2a.
模块综合测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022河南焦作高一期末)设集合A={x|y=x-1},B={y|y=2x+1},则A∩B=( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
2.已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
A.2 B.22 C.102 D.2
4.已知角α终边上一点M的坐标为(1,3),则sin 2α等于( )
A.-12 B.12 C.-32 D.32
5.(2022天津一中高一期末)已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1是R上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,1) B.17,13
C.0,13 D.19,13
6.已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.(2021河南豫南九校第三次联考)已知函数f(x)的图象关于原点对称,且满足f(x+4)+f(-x)=0,且当x∈(2,4)时,f(x)=-log12(x-1)+m,若f(2 021)-12=f(-1),则m=( )
A.43 B.34 C.-43 D.-34
8.设函数f(x)=2cos2x+π8+sin2x+π4,x∈(0,3π),则下列判断正确的是( )
A.函数的图象的一条对称轴为直线x=π6
B.函数在区间π2,5π4上单调递增
C.∃x0∈(0,3π),使f(x0)=-1
D.∃a∈R,使得函数y=f(x+a)在其定义域内为偶函数
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法错误的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
10.已知0
C.1a>1b D.1lna>1lnb
11.(2021山东潍坊高一期末)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则以下说法正确的是( )
A.函数g(x)在0,π6上单调递增
B.函数y=g(x)的图象关于点-π6,0对称
C.gx-π2=-g(x)
D.gπ6≥g(x)
12.已知函数f(x)=x4+2x2+ax2+1(x∈R)的值域为[m,+∞),则实数a与实数m的取值可能为( )
A.a=0,m=0
B.a=1,m=1
C.a=3,m=3
D.a=2,m=2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.lg 4+lg 25-(0.5-2-2)×278 23的值是 .
14.将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
15.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= .
16.设常数a∈R,则方程|x+a|·ex=1的解的个数组成的集合是A= .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知p:函数f(x)=(a-m)x在R上是减函数,q:关于x的方程x2-2ax+a2-1=0的两根都大于1.
(1)当m=5时,p是真命题,求a的取值范围;
(2)若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件,求m的取值范围.
18.(12分)(2022广东普宁高一期末)已知函数f(x)=-x2+bx+c,关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|1
(2)如果函数g(x)=f(x)-mx在[1,2]上具有单调性,求m的取值范围.
19.(12分)(2022山东菏泽高一期末)已知函数f(x)=x2+bx+1ax(a>0)为奇函数,且方程f(x)=2有且仅有一个实根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=ln f(ex),求证:函数y=g(x)为偶函数.
20.(12分)(2022江西上饶高一期末)已知某厂家生产某种产品的年固定成本为100万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(万元),当年产量不足80千件时,C(x)=12x2+10x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=52x+20 000x+2-600(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式.
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?
21.(12分)(2022天津滨海新区高一期末)已知函数f(x)=sin2x+π3+sin2x-π3+3cos 2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当x∈0,π2时,
①求函数f(x)的单调递减区间;
②求函数f(x)的最大值、最小值,并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值.
22.(12分)(2022黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+1-74a(a为非零常数).
(1)若a>0,且方程f(x)=0在区间[0,2]上有两个不等实根,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式:f(x)>2a-74a+3.
模块综合测评
1.D 由于A={x|y=x-1}={x|x≥1},B={y|y=2x+1}={y|y>1},所以A∩B=(1,+∞).
2.A a=log72<12,b=log0.70.2>log0.70.7=1,0.7
则由基本不等式有2a+5b≥210ab=2,
当且仅当2a=5b,ab=10,即a=2,b=5时,等号成立.
故选D.
4.D 由角α终边上一点M的坐标为(1,3),
得sin α=32,cos α=12,
故sin 2α=2sin αcos α=32,
故选D.
5.B 由题意得3a-1<0,3a-1+4a≥0,0
若k为偶数,则sin α=sin(kπ+β)=sin β;
若k为奇数,则sin α=sin(kπ-β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π-β)=sin β.
(2)当sin α=sin β时,α=β+2mπ或α+β=π+2mπ,m∈Z,即α=kπ+(-1)kβ(k=2m)或α=kπ+(-1)kβ(k=2m+1),
即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ.
所以“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的充要条件.
故选C.
7.C 因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(x+4)+f(-x)=0,所以f(x+4)=-f(-x)=f(x),
故函数f(x)为周期函数,且周期为4.
则f(2 021)=f(1),f(-1)=-f(1),
则由f(2 021)-12=f(-1)可得f(1)=13.
因为f(1)=f(-3)=-f(3)=log12(3-1)-m=13,
解得m=-43.故选C.
8.D 函数f(x)=1+cos2x+π4+sin2x+π4=1+2cos 2x,
x∈(0,3π),当x=π6时,2x=π3不能使函数取得最值,
所以直线x=π6不是函数的图象的对称轴,故A错误;
当x∈π2,54π时,2x∈π,52π,函数先增后减,故B错误;
若f(x)=-1,则cos 2x=-2不成立,故C错误;
当a=32π时,f(x+a)=1-2cos 2x,函数是偶函数,
故D正确.故选D.
9.ABD 由题意知f(0)·f(1)<0,所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点,又f(1)·f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.故选ABD.
10.ACD 因为0
因为0
所以1lna>1lnb,同理可得,1a>1b.
故选ACD.
11.BC 函数f(x)=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)=sin2x+π3的图象.
对于A,由于x∈0,π6,所以2x+π3∈π3,2π3,则函数在该区间上先增后减,故A错误;
对于B,当x=-π6时,g-π6=0,故B正确;
对于C,gx-π2=sin2x-π2+π3=sin2x-2π3=-sin2x+π3=-g(x)成立,故C正确;
对于D,当x=π6时,gπ6=sin 2π3=32≠1,
即gπ6≥g(x)不成立,故D错误.
故选BC.
12.ABD f(x)=x4+2x2+ax2+1=(x2+1)2+a-1x2+1=x2+1+a-1x2+1,
设x2+1=t,t≥1,则y=t+a-1t.
当a=0时,y=t-1t在[1,+∞)上单调递增,t=1时,y=0,故y∈[0,+∞),A正确;
当a=1时,y=t在[1,+∞)上单调递增,t=1时,y=1,故y∈[1,+∞),B正确;
当a=3时,y=t+2t在[1,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,故ymin=22,C错误;
当a=2时,y=t+2-1t在[1,+∞)上单调递增,t=1时,y=2,故y∈[2,+∞),D正确.故选ABD.
13.-52 原式=lg 100-2×94=2-92=-52.
14.x=-5π24 将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度后得到函数y=3sin2x-π6+π4=3sin2x-π12的图象.
由2x-π12=π2+kπ,k∈Z,得
平移后的对称轴的方程为x=7π24+kπ2,k∈Z.
当k=0时,x=7π24,当k=-1时,x=-5π24.
所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-5π24.
15.1 ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,且f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,
∴f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1),
∴f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1),
即f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1.
16.{1,2,3} 由题意得,|x+a|=1ex,设f(x)=1ex,g(x)=|x+a|,在直角坐标系中分别画f(x),g(x)的图象,如图所示,
所以方程解的个数可能为1或2或3.
17.解 (1)因为m=5,所以f(x)=(a-5)x,
因为p是真命题,所以0
(2)若p是真命题,则0
若q是真命题,则a-1>1,解得a>2.
因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件,
所以m≥2,即m的取值范围为[2,+∞).
18.解 (1)因为关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|1
故不等式cx2+bx-1>0即为-2x2+3x-1>0,
即2x2-3x+1<0,解得12
(2)由(1)可得f(x)=-x2+3x-2,
函数g(x)=f(x)-mx=-x2+(3-m)x-2,
因为g(x)在[1,2]上具有单调性,
故3-m2≤1或3-m2≥2,解得m≥1或m≤-1.
故实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
19.(1)解 函数f(x)=x2+bx+1ax为奇函数,
所以f(x)=-f(-x),
即x2+bx+1ax=-(-x)2+b(-x)+1a(-x),
化简得2bx=0,得b=0,故f(x)=x2+1ax.
又方程f(x)=2有且仅有一个实根,则x2+1ax=2,
即x2-2ax+1=0有且仅有一个实根,
所以(-2a)2-4×1×1=0,得a2=1,
解得a=1,a=-1(舍去),所以f(x)=x2+1x.
(2)证明 因为g(x)=ln f(ex)=lne2x+1ex,显然g(x)的定义域为R,其图象关于原点对称,
又g(-x)=lne-2x+1e-x=lne2x+1ex=g(x),
所以函数y=g(x)为偶函数.
20.解(1)∵每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,
当0
∴L(x)=-12x2+40x-100,0
当x≥80时,L(x)=500-2x-20 000x+2=500-2(x+2)+10 000x+2-2≤500-22(x+2)·10 000x+2-2=500-2×198=104.
当且仅当x+2=10 000x+2,即x=98时,等号成立.
∵700>104,∴当年产量为40千件时,该厂在这一商品生产中所获利润最大,最大利润为700万元.
21.解(1)f(x)=sin2x+π3+sin2x-π3+3cos 2x=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3.
∵T=2π2=π,
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)①∵x∈0,π2,
∴z=2x+π3∈π3,4π3,
∵y=sin z,z∈π3,4π3的单调递减区间是π2,4π3,
且由π2≤2x+π3≤4π3,得π12≤x≤π2,
故函数f(x)的单调递减区间为π12,π2.
②由①知,f(x)在π12,π2上单调递减,在0,π12上单调递增,且f(0)=2sinπ3=3,fπ12=2sinπ2=2,fπ2=2sin 4π3=-3,故当x=π12时,f(x)取最大值为2;当x=π2时,f(x)取最小值为-3.
22.解 (1)∵方程f(x)=ax2+(a-1)x+1-74a=0(a>0)在[0,2]上有两个不等实根,
∴a>0,Δ=(a-1)2-4a(1-74a)>0,f(0)≥0,f(2)≥0,0
(2)不等式f(x)>2a-74a+3等价于ax2+(a-1)x-2+2a>0,可化为(ax-2)x+a+1a>0.
∵a≠0,∴①当a>0时,原不等式可化为x-2ax+a+1a>0,解得x>2a或x<-a+1a;
②当a=-3时,原不等式可化为(-3x-2)x+23>0,解得x∈⌀;
③当a<-3时,原不等式可化为x-2ax+a+1a<0,解得-a+1a
②当-3
④当a<-3时,原不等式的解集为-a+1a,2a.
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