人教版高中数学必修第一册第五章5-6第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用习题含答案

第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用

A级 必备知识基础练

1.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴方程为(　　)

A.x=(k∈Z)

B.x=(k∈Z)

C.x=(k∈Z)

D.x=(k∈Z)

2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则其解析式为(　　)

A.y=5sin

B.y=5sin

C.y=5sin

D.y=5sin

3.已知ω>0,函数f(x)=cos的图象的一条对称轴为直线x=,一个对称中心为,则ω有(　　)

A.最小值2 B.最大值2

C.最小值1 D.最大值1

4.将函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的取值为(　　)

A. B. C.0 D.-

5.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值为　. 

6.(2022广东深圳高一期末)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数的解析式f(x)=　　　　　. 

7.函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)在一个周期内,当x=时,函数f(x)取得最大值2,当x=时,函数f(x)取得最小值-2,则函数解析式为　　　　　　　　　. 

B级 关键能力提升练

8.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的部分图象不可能是(　　)

9.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各解析式符合条件的是(　　)

A.y=4sin+2

B.y=2sin+2

C.y=2sin+2

D.y=2sin+2

10.将函数f(x)=cos2x-的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则关于函数g(x)的正确结论是(　　)

A.奇函数,在0,上单调递减

B.最大值为1,图象关于直线x=对称

C.最小正周期为π,图象关于点,0对称

D.偶函数,在-上单调递增

11.(多选题)将函数y=sin(x+φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F',若F'的一个对称中心为,则φ的取值不可能是              (　　)

A. B. C. D.

12.(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的图象关于直线x=对称

B.函数f(x)的图象关于点-,0对称

C.函数f(x)在区间上单调递增

D.直线y=1与函数y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为

13.将函数f(x)=2sin x的图象的所有点的横坐标缩短为原来的一半,再把图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象,则g(x)=　　　　　;若函数g(x)在区间上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　. 

14.若函数f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈0,,则x0=　　　　. 

15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的最小正周期为π,且图象上一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.

C级 学科素养创新练

16.函数y=2sin πx-(x∈[-2,1)∪(1,4])的所有零点之和为　　　　　. 

第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用

1.B　将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,所得到的图象对应函数的解析式为y=2sin 2x+=2sin,由2x++kπ,k∈Z,得x=,k∈Z.

2.B　由题图知,A=5,由-π=,知T=3π,

∴ω=,则y=5sin.

由图象知最高点坐标为,

将其代入y=5sin,得5sin=5,

∴+φ=2kπ+(k∈Z).解得φ=2kπ+(k∈Z).

∵|φ|<π,∴φ=,

∴y=5sin.

3.A　由题意知,故T=≤π.

∵ω>0,∴ω≥2.

4.B　将函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后,得到y=sin的图象.因为它是偶函数,所以φ++kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z.当k=0时,φ=.

5.-　由题意可得sin=±1,解得+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).

因为-<φ<,所以k=0,φ=-.

6.2sin2x+　根据图象可得A=2.又T=2--=,解得ω=2.又f=2sin2×+φ=0,则+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z,因为-π<φ<π,可得φ=,故f(x)=2sin2x+.

7.f(x)=2sin　由题意可知A=2,,所以T=π.因此=π,即ω=2.

故f(x)=2sin.

8.D　当a=0时,f(x)=1,选项C正确;当a≠0时,

函数f(x)=1+asin ax的最小正周期T=,振幅为|a|,所以当|a|<1时,T>2π.

当|a|>1时,T<2π,由此可知A,B有可能出现,D不可能.

9.D　因为最大值是4,故选项A不符合题意;

因为最小正周期T=,所以ω=4,故排除选项B;

令4x++kπ,k∈Z,则4x=+kπ,k∈Z,即x=,k∈Z.

令,得k=∉Z,排除选项C,故选D.

10.B　将函数f(x)=cos2x-的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=cos2x+=cos 2x的图象,则函数g(x)为偶函数,故A错误;

g(x)的最大值为1,当x=时,g(x)=cos π=-1,为最小值,故g(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;

g(x)的最小正周期为=π,当x=时,g(x)=cos =-,故C错误;

当x∈-时,2x∈-,g(x)的图象先增后减,故D错误.

故选B.

11.ABC　图象F'对应的函数为y=sin,则+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.令k=1,得φ=,φ的取值不可能是.

12.BCD　由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,A=2,,因此T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).过点,-2,因此+φ=+2kπ,k∈Z,又0<|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=2sin2x+.

当x=时,f=-1,故A错;

当x=-时,f-=0,故B正确;

当x∈时,2x+,所以f(x)=2sin2x+在上单调递增,故C正确;

当-≤x≤时,2x+,所以直线y=1与函数y=f(x)的图象有4个交点,设这4个交点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x1+x2+x3+x4=×2+×2=,故D正确.

13.2sin　将函数f(x)=2sin x的图象的所有点的横坐标缩短为原来的一半,可得y=2sin 2x的图象;再向左平移个单位长度得到g(x)=2sin的图象.

由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).

令k=0,得g(x)在上单调递增.

又g(x)在上单调递增,所以,即0≤,解得0≤a≤.

令k=1,得g(x)在上单调递增.

又g(x)在上单调递增,所以,即≤2a≤,得≤a≤.

综上≤a≤.

14.　由f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,知T=π,ω=2,又图象关于点(x0,0)成中心对称,得2x0+=kπ(k∈Z),而x0∈0,,则x0=.

15.解(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M,得A=2.

由最小正周期T=π,得ω==2.

由点M在图象上,得2sin=-2,

即sin=-1,

所以+φ=2kπ-(k∈Z),

故φ=2kπ-(k∈Z),

又φ∈,

所以k=1,φ=.

所以函数的解析式为f(x)=2sin.

(2)因为x∈,所以2x+,

所以当2x+,即x=0时,函数f(x)取得最小值1;

当2x+,即x=时,函数f(x)取得最大值.

16.8　函数y=2sin πx-(x∈[-2,1)∪(1,4])的零点即方程2sin πx=(x∈[-2,1)∪(1,4])的根,作函数y=2sin πx与y=的部分图象如图所示:

由图可知当x∈[-2,1)∪(1,4]时,两个函数的图象共有8个公共点,所以原函数有8个零点,分别设为x1,x2,…,x8.

y=2sin πx-=2sin[π(1-x)]-.

令t=1-x∈[-3,0)∪(0,3],相应的,设8个零点分别为t1,t2,…,t8,

则y=2sin πt-,

该函数是奇函数,故零点之和为0,即t1+t2+…+t8=0,

从而x1+x2+…+x8=8,所以原函数的零点之和为8.