人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课后复习题

课时作业55　三角函数的应用

——基础巩固类——

一、选择题

1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　D　)

A．该质点的振动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为－5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大

D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零

解析：由题中图象及简谐运动的有关知识知，T＝0.8 s，A＝5 cm.当t＝0.1 s或0.5 s时，v为零．

2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3sin，那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和一次所需的时间(秒)为(　A　)

A．3,4   B．－3,4

C．3,2    D．－3,2

解析：振幅A＝3(厘米)，T＝＝4(秒)．故选A.

3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？(　C　)

A．[0,5]   B．[5,10]

C．[10,15]    D．[15,20]

解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.

4．在两个弹簧上分别挂一个质量为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：

s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　C　)

A．s1>s2   B．s1<s2

C．s1＝s2    D．不能确定

解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2，故选C.

5．如图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　A　)

解析：当x∈时，f(x)＝π－2x，

当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.

6．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是(　C　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin    D．y＝sin

解析：由题意知，函数的周期为T＝60，

∴|ω|＝＝.

设函数解析式为y＝sin.

∵初始位置为P0，

∴t＝0时，y＝，∴sinφ＝，∴φ可取，

∴函数解析式可以是y＝sin.

又由秒针顺时针转动可知，y的值从t＝0开始要先逐渐减小，故y＝sin，故选C.

二、填空题

7.一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为α(rad)，α作为时间t(s)的函数，满足关系α(t)＝sin.经过5π s单摆完成5次完整摆动．

解析：由已知可得函数的最小正周期T＝＝π，所以要完成5次完整摆动，需要5个周期，即需要5π(s)．

8．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为.

解析：因为Asin＋60≤80，sin≤1，所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，

即sin＝－1，

此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.

9.如图所示的图象显示的是相对于海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为y＝－6sinx.

解析：将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，所以ω＝＝.将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则×6＋φ＝0.所以φ＝－π.

所以函数关系式为：y＝6sin＝－6sinx.

三、解答题

10．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．

(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；

(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？

解：(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.

(2)令10sin＋20＝15，得sin＝－，

而x∈[4,16]，所以x＝.

令10sin＋20＝25，得sin＝，

而x∈[4,16]，所以x＝.

故该细菌能存活的最长时间为－＝小时．

11．已知某海滨浴场的海浪高度y是时间t(0≤t≤24)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)可近似地看成函数y＝Acosωt＋b(A>0，ω>0)．

(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

(2)根据规定，当海浪高度高于1米时浴场才可对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内在8：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者冲浪．

解：(1)由表中数据知函数f(t)的最小正周期T＝12，

∴ω＝＝＝.

当t＝0时，y＝1.5，故A＋b＝1.5　①，

当t＝3时，y＝1，故b＝1　②.

由①②得A＝0.5，b＝1，

∴函数表达式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．

(2)由题可知，当y>1时，浴场才可对冲浪爱好者开放，

由cost＋1>1，得cost>0，∴2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)　③.

∵0≤t≤24，故可令③中k的值分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.

故在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时可供冲浪爱好者冲浪．

——能力提升类——

12．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度(单位时间内所走的弧度)为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　C　)

解析：P从P0出发，逆时针运动，t＝0时，d＝，t与d满足关系式d＝(t≥0)，故选C.

13．动点A(x，y)在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是(　D　)

A．[0,1]   B．[1,7]

C．[7,12]    D．[0,1]和[7,12]

解析：∵T＝12，∴ω＝＝，

从而设y关于t的函数为y＝sin.

又t＝0时，y＝，∴φ＝，

∴y＝sin，

∴2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，

即12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z时，函数单调递增．

∵0≤t≤12，

∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．

14．为了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，那么，正整数ω的最小值是629.

解析：问题等价于T≤，即≤，

所以ω≥200π，所以正整数ω的最小值为629.

15．函数y＝sin(ωx＋φ)在同一个周期内，当x＝时取最大值1，当x＝时，取最小值－1.

(1)求函数的解析式y＝f(x)；

(2)函数y＝sinx的图象经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图象？

(3)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0<a<1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和．

解：(1)∵＝2×，∴ω＝3.

又sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，

又|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin.

(2)先将y＝sinx的图象向右平移个单位得y＝sin的图象，再将y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象．

(3)∵f(x)＝sin的周期为π，

∴y＝sin在[0,2π]内恰有3个周期，

∴sin＝a(0<a<1)在[0,2π]内有6个实根且x1＋x2＝，同理，x3＋x4＝π，x5＋x6＝π，

故所有实数根之和为＋＋＝.