人教版高中数学必修第一册第五章5-4-3正切函数的性质与图象习题含答案

5.4.3　正切函数的性质与图象

A级 必备知识基础练

1.函数f(x)=的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.

2.(多选题)与函数y=tan的图象不相交的一条直线方程是(　　)

A.x= B.x=-

C.x= D.x=-

3.函数y=(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数,也不是偶函数

4.下列说法错误的是(　　)

A.正切函数是周期函数,最小正周期为π

B.正切函数的图象是不连续的

C.直线x=kπ+(k∈Z)是正切曲线的渐近线

D.把y=tan x,x∈的图象向左、右平行移动kπ个单位长度,就得到y=tan x的图象

5.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间0,上单调递增的是(　　)

A.y=sin 2x B.y=cos 2x

C.y=tan x D.y=sin

6.若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为　　　　　. 

7.若tan≤1,则x的取值范围是　　　　　. 

8.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.

B级 关键能力提升练

9.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是(　　)

10.在区间范围内,函数y=tan x与函数y=sin x 图象交点的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

11.方程tan2x+=在[0,2π)上的解的个数是(　　)

A.5 B.4 C.3 D.2

12.(多选题)下列关于函数f(x)=tan2x+的相关性质的命题,正确的有(　　)

A.f(x)的定义域是

B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x)的单调递增区间是(k∈Z)

D.f(x)的对称中心是,0(k∈Z)

13.(多选题)对于函数f(x)=asin x+btan x+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的结果可能是              (　　)

A.4和6 B.3和1

C.2和4 D.1和2

14.已知函数y=tan ωx在区间上单调递减,则ω的取值范围为　　　　　　. 

15.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:

①对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;

②f(x)的图象关于对称;

③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;

④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.

其中不正确的说法的序号是　　　　　. 

16.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.

C级 学科素养创新练

17.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为,且过点(0,-3).

(1)求f(x)的解析式;

(2)求满足f(x)≥的x的取值范围.

5.4.3　正切函数的性质与图象

1.A　由题意得

即 k∈Z,

所以x≠(k∈Z),选A.

2.AD　令2x-+kπ,k∈Z,

得x=,k∈Z,

∴直线x=,k∈Z与函数y=tan的图象不相交,∴当k=-1时,x=-;

当k=0时,x=.

3.A　函数的定义域为xx≠kπ+,且x≠π+2kπ,k∈Z,关于原点对称.

设y=f(x)=,

则f(-x)==-f(x).

所以y=f(x)是奇函数.故选A.

4.D　正切函数是周期函数,周期为kπ(k∈Z),最小正周期为π;正切曲线是由相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的,故A,B,C均正确.选项D中,没有明确k的取值,故D错.

5.C　在区间0,上,2x∈(0,π),则y=sin 2x不单调,故A错误;在区间0,上,2x∈(0,π),y=cos 2x单调递减,故B错误;在区间0,上,y=tan x单调递增,且其最小正周期为π,故C正确;根据函数以π为最小正周期,y=sin的周期为=4π,故D错误.故选C.

6.2或3　由题意知1<<2,即k<π<2k.又k∈N,所以k=2或k=3.

7.x-kπ<x≤kπ,k∈Z　由题意可得-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,

解得-kπ<x≤kπ,k∈Z.

8.解∵-≤x≤,

∴-1≤tan x≤1.

令tan x=t,则t∈[-1,1].

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.

∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,

当t=1,即x=时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

9.D　当<x<π时,tan x<sin x,y=2tan x<0;

当x=π时,y=0;

当π<x<时,tan x>sin x,y=2sin x,且-2<y<0.

10.C　在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sin x与y=tan x在区间内的图象,需明确x∈0,时,有sin x<x<tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明),然后利用对称性作出x∈时两函数的图象(注意正切函数的定义域),如图所示,由图象可知它们有三个交点.

11.B　由题意知,2x++kπ,k∈Z,

所以x=,k∈Z.又x∈[0,2π),

所以x=0,,π,,共4个.故选B.

12.AC　对A,令2x++kπ(k∈Z),解得x≠(k∈Z),

则函数y=f(x)的定义域是xx≠,k∈Z,A选项正确;

对B,函数y=f(x)的最小正周期为,B选项错误;

对C,令kπ-<2x+<kπ+(k∈Z),解得<x<(k∈Z),

则函数y=f(x)的单调递增区间是(k∈Z),C选项正确;

对D,令2x+(k∈Z),解得x=(k∈Z),

则函数y=f(x)的图象的对称中心为,0(k∈Z),D选项错误.

13.ABC　设g(x)=asin x+btan x,显然g(x)为奇函数.

∵f(1)=g(1)+c,f(-1)=g(-1)+c,

∴f(1)+f(-1)=2c.

∵c∈Z,∴f(1)+f(-1)为偶数.故选ABC.

14.[-1,0)　由题意可知ω<0,

又,故-1≤ω<0.

15.①　①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tan x的图象,可知其关于(k∈Z)对称,令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.

16.解y=tan-ax=tan-ax+,

∵y=tan x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上单调递增,

∴a<0,

又x∈,

∴-ax∈-,-,

∴-ax∈,

∴

解得-≤a≤6-8k(k∈Z).

由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.

∴a=-2<0,

∴存在a=-2∈Z,满足题意.

17.解(1)由题意可得f(x)的周期T=.

因为ω>0,所以ω=,得f(x)=Atan,它的图象过点,

所以tan=0,

即tan=0,

所以+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z.

又|φ|<,所以φ=-,

所以f(x)=Atan.

它的图象过点(0,-3),

所以Atan=-3,得A=3,

所以f(x)=3tan.

(2)因为3tan,所以tan,得kπ+x-<kπ+,k∈Z,

解得≤x<,k∈Z,所以满足f(x)≥的x的取值范围是,k∈Z.