人教版高中数学必修第一册第五章5-5-1第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式习题含答案

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

A级 必备知识基础练

1.(2021黑龙江哈尔滨高一期末)化简cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°的值为(　　)

A. B.- C. D.-

2.已知A+B=45°,则(1+tan A)(1+tan B)的值为(　　)

A.1 B.2

C.-2 D.不确定

3.函数f(x)=cos-cos是 (　　)

A.周期为π的偶函数

B.周期为2π的偶函数

C.周期为π的奇函数

D.周期为2π的奇函数

4.(2022新疆维吾尔自治区哈密伊州高一期末)已知tanα-=,则tan α=(　　)

A. B.- C.5 D.-5

5.若锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β的值是(　　)

A. B. C. D.

6.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=.

7.设tan θ=2,则tan=　　　　　,=　　　　　. 

B级 关键能力提升练

8.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α= (　　)

A. B. C. D.

9.设α∈,β∈,且tan α=,则(　　)

A.3α-β= B.3α+β=

C.2α-β= D.2α+β=

10.在△ABC中,如果sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形一定是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

11.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan A·tan C,则角B等于(　　)

A.30° B.45° C.120° D.60°

12.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为(　　)

A. B.

C. D.

13.函数y=cos x+cos的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　. 

14.若cos α=-,sin β=-,α∈,π,β∈,2π,则sin(α+β)的值为　　　　　. 

15.化简求值:

(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);

(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);

(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.

C级 学科素养创新练

16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的取值范围是　. 

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1.C　cos 16°cos 44°-cos 74°sin 44°=cos 16°cos 44°-sin 16°sin 44°=cos(16°+44°)=cos 60°=,故选C.

2.B　(1+tan A)(1+tan B)=1+(tan A+tan B)+tan Atan B=1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B=1+1-tan Atan B+tan Atan B=2.

3.D　因为f(x)=cos-cos=-sin x,所以函数f(x)的最小正周期为=2π.

又f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),x∈R,所以函数f(x)为奇函数.故选D.

4.B　tanα-=,解得tan α=-,故选B.

5.C　∵cos α=,cos(α+β)=,α,β∈,

∴0<α+β<,

∴sin α=,sin(α+β)=,

∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=.

6.0　由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.

7.-3　　由tan θ=2,得tan=-3,cos θ≠0,

所以.

8.D　tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.

9.C　由tan α=,得,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin.

又α∈,β∈,

故α-β=-α,即2α-β=.

10.C　∵A+B+C=π,

∴A=π-(B+C).

由已知可得sin(B+C)=2sin Ccos B,

∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B,

即sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0.

∵0<B<π,0<C<π,

∴-π<B-C<π,

∴B=C.故△ABC一定为等腰三角形.

11.D　由公式变形得tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B)=tan(180°-C)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)=-tan C+tan Atan Btan C,

∴tan A+tan B+tan C=-tan C+tan Atan Btan C+tan C=tan Atan Btan C=3.

∵tan2B=tan Atan C,

∴tan3B=3,∴tan B=,

则B=60°.故选D.

12.A　由题意知

①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37,

则sin(A+B)=,

∴在△ABC中,sin C=,

∴C=或C=.

若C=,则A+B=,

∴1-3cos A=4sin B>0,

∴cos A<.

又,∴A>.

此时A+C>π,不符合题意,∴C≠,∴C=.

13.-　(方法1)y=cos x+cos xcos-sin xsincos x-sin x=cos.

当cos=-1时,ymin=-;

当cos=1时,ymax=.

(方法2)y=cos+cos=coscos+sinsin+coscossincossin=coscos,所以-≤y≤.

14.　∵cos α=-,α∈,π,

∴sin α=.

∵sin β=-,β∈,2π,

∴cos β=.

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+-×-=.

15.解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.

(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.

(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°=cos(21°+24°)=cos 45°=.

16.[8,+∞)　由已知条件sin A=2sin Bsin C,sin(B+C)=2sin Bsin C,

sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,

两边同除以cos Bcos C,tan B+tan C=2tan Btan C,

∵-tan A=tan(B+C)=,

∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C.

∴tan Atan Btan C=tan A+2tan Btan C

≥2,

令tan Atan Btan C=x>0,

即x≥2,即x≥8,或x≤0(舍去),

∴x的最小值为8.

当且仅当tan B=2+,tan C=2-,tan A=4(或tan B,tan C互换)时取等号,此时A,B,C均为锐角.可得tan Atan Btan C的取值范围是[8,+∞).