人教版高中数学必修第一册第五章5-4-2第2课时单调性、最大值与最小值习题含答案

第2课时　单调性、最大值与最小值

A级 必备知识基础练

1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是(　　)

A. B.

C. D.

2.下列函数中,周期为π,且在上单调递减的是(　　)

A.y=sin B.y=cos

C.y=sin D.y=cos

3.函数y=cosx+,x∈0,的值域是 (　　)

A.- B.-

C.,1 D.,1

4.函数y=的最小值是(　　)

A.2 B.-2 C.1 D.-1

5.函数y=sin2x+2cos x的最大值和最小值分别是(　　)

A.,- B.,-2

C.2,- D.2,-2

6.函数f(x)=sin-x,x∈[0,π]的单调递增区间为　　　　　,单调递减区间为　　　　　. 

7.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为　　　　　　　　. 

8.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=　　　　　. 

B级 关键能力提升练

9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值可能是(　　)

A. B.- C. D.

10.函数y=(x∈R)的最大值是(　　)

A. B. C.3 D.5

11.已知函数f(x)=sin,其中x∈,若f(x)的值域是,则α的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

12.函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为(　　)

A. B.1 C. D.

13.(多选题)(2021广州番禺高一期末)设函数f(x)=sinx-,则下列结论正确的是 (　　)

A.f(x)的最小正周期为2π

B.f(x)的图象关于直线x=对称

C.f(x)的图象关于点-,0对称

D.f(x)在区间0,上单调递增

14.求函数y=sin2x+sin x-1的最大值和最小值.

15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.

(1)求ω的值;

(2)求y=f(x)的单调递增区间;

(3)若x∈,求y=f(x)的值域.

C级 学科素养创新练

16.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,α,β是锐角三角形的两个内角,求证:f(sin α)>f(cos β).

第2课时　单调性、最大值与最小值

1.C　画出y=|sin x|的图象即可求解.

故选C.

2.A　因为函数周期为π,所以排除C,D.

又因为y=cos=-sin 2x在上为增函数,所以B不符合.故选A.

3.B　因为0≤x≤,所以≤x+π.

所以cosπ≤cosx+≤cos,

所以-≤y≤.故选B.

4.B　由y==2-,当sin x=-1时,y=取得最小值-2.故选B.

5.B　因为函数y=sin2x+2cos x=1-cos2x+2cos x=-(cos x-1)2+2,又cos x∈.

所以当cos x=-1,即x=π时,函数y取得最小值为-4+2=-2;当cos x=,即x=时,函数y取得最大值为-+2=.

6.,π　0,　f(x)=-sinx-,

令-+2kπ≤x-+2kπ,k∈Z,

则-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z时,f(x)单调递减.

又0≤x≤π,所以0≤x≤,

即f(x)的单调递减区间为0,,

同理f(x)的单调递增区间为,π,

所以f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间为0,,单调递增区间为,π.

7.sin 3<sin 1<sin 2　因为1<<2<3<π,sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3.

y=sin x在0,上单调递增,且0<π-3<1<π-2<,所以sin(π-3)<sin 1<sin(π-2),

即sin 3<sin 1<sin 2.

8.　∵x∈,

即0≤x≤,且0<ω<1,

∴0≤ωx≤,

∴f(x)max=2sin,x∈,

∴sin,即ω=.

9.D　由题意,当x=时,f(x)=sin2×+φ=±1,

故+φ=kπ+(k∈Z),

解得φ=kπ+(k∈Z).

当k=0时,φ=,故φ的值可能是.

10.C　由题意有y=-1,而1≤2-cos x≤3,所以≤4,所以≤y≤3.故函数y的最大值是3.

11.D　若-≤x≤α,则-≤x+≤α+,

∵当x+=-或x+时,sin=-,

∴要使f(x)的值域是,

则有≤α+≤α≤π,

即α的取值范围是.

12.A　因为x++-x=,

所以f(x)=sinx++cosx-=sinx++cos-x=sinx++sinx+=sinx+≤.所以f(x)max=.故选A.

13.AD　对于A,ω=1,T=2π,故A正确;

对于B,由x-=kπ+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,

k=0时,x=,k=-1时,x=-,故B错误;

对于C,由x-=kπ,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,k=0时,x=,k=-1时,x=-,故C错误;

对于D,由-<x-,解得-<x<,

故函数在-上单调递增,故D正确.

故选AD.

14.解令t=sin x∈[-1,1],则y=t2+t-1=,显然-≤y≤1,故函数的最大值为1,最小值为-.

15.解(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.

(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,

所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.

又|φ|<,所以φ=.

所以函数f(x)的解析式是y=sin.

令2x+,k∈Z,

解得x∈,k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(3)因为x∈,所以2x+.

所以sin,

即函数的值域为.

16.证明由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),

所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.

因为函数f(x)在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.

因为α,β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>,

即>α>-β>0.

因为y=sin x在上单调递增,

所以sin α>sin=cos β,

且sin α∈[0,1],cos β∈[0,1],

所以f(sin α)>f(cos β).