第五章 三角函数单元测试（拔高版）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

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2022-2023学年上学期第五章 三角函数单元测试卷（拔高版）

高一数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教必修一2019第五单元 三角函数。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．（2020·江苏·泰兴市第二高级中学高一期末）函数的最小正周期为

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【详解】

分析：根据正切函数的周期求解即可．

详解：由题意得函数的最小正周期为．

故选C．

点睛：本题考查函数的最小正周期，解答此类问题时根据公式求解即可．

2．（2021·广西·藤县第六中学高一期末）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

【答案】A

【分析】

由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.

【详解】

由函数图象平移变换的性质可知：

将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：

.

则函数的单调递增区间满足：，

即，

令可得一个单调递增区间为：.

函数的单调递减区间满足：，

即，

令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．（2020·江苏·泰兴市第二高级中学高一期末）化简 = 

A．sin2+cos2 B．sin2-cos2 C．cos2-sin2  D．± (cos2-sin2)

【答案】A

【分析】

利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简．

【详解】

根据诱导公式，化简得

又因为

所以选A

【点睛】

本题考查了三角函数式的化简，关键注意符号，属于中档题．

4．（2021·全国·高一专题练习）的值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】

根据正切的差角公式逆用可得答案．

【详解】

，

故选：B．

5．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

通过函数的图象可得到：A=3，，，则，然后再利用点在图象上求解.，

【详解】

由函数的图象可知：A=3，，，

所以，

又点在图象上，

所以，

即，

所以，

即，

因为，

所以

所以

故选：B

【点睛】

本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

6．（2021·全国·高一课时练习）智能主动降噪耳机工作的原理 ：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）.已知噪音的声波曲线（，，）的振幅为1 ，周期为2π，初相为0，则通过挺感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题意可求出噪音的声波曲线，而且由题意可反向波曲线与原曲线关于轴对称，可求出．

【详解】

解：由某噪音的声波曲线，，的振幅为1，周期为，初相为0，

知声波曲线：，

通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为．

故选：．

【点睛】

本题考查由已知条件求三角函数，属于基础题．

7．（2022·全国·高三专题练习）若，则的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

作出函数的图象，结合正弦、余弦函数图象与性质，即可求解.

【详解】

由题意，作出函数的图象，如图所示，

当时，可得，

则；

当时，可得，则，

所以函数的值域为.

故选：B.

8．（2021·广东惠州·高一期末）已知，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（    ）．

A． B．5 C． D．-1

【答案】B

【分析】

根据二倍角的余弦公式转化为对任意的，恒成立．再构造函数，利用二次函数知识求出最大值即可得解.

【详解】

由题意知，对任意的，，即，即恒成立．

令，

当时，，，

实数的最小值为5．

故选：B．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9．（2022·全国·高三专题练习）定义：在平面直角坐标系中，若存在常数，使得函数的图象向右平移个单位长度后，恰与函数的图象重合，则称函数是函数的“原形函数”.下列四个选项中，函数是函数的“原形函数”的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ABD

【分析】

根据所给定义，即函数的平移规则计算可得.

【详解】

解：由，知，将向右移动一个单位可得到，故选项正确；

由知，将向右移动个单位可得到，故选项正确；

由知，将向下移动个单位可得到，故选项不正确；

由知，将向右移动个单位可得到，故选项正确；

故选：．

【点睛】

本题考查函数图象的变换，同时也涉及了三角函数的恒等变换以及指对数的运算，属于中档题．

10．（2021·江苏无锡·高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．的值域为

D．在上单调递增

【答案】AC

【分析】

对已知函数去绝对值写成分段函数的形式，作出其函数图象，借助于三角函数的图象逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.

【详解】

当即时，

，

当即时，

，

所以

作出的图象如下图所示：

对于选项A：由图知，是的对称轴，即的图象关于直线对称，故选项A正确；

对于选项B：由图知不是的对称中心，即的图象关于点不对称，故选项B不正确；

对于选项C：由图知的最大值为，最小值为，所以的值域为，故选项C正确；

对于选项D：在上不单调递增，故选项D不正确，

故选：AC

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是利用已知函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合的思想可研究该函数的对称性、最值和单调性.

11．（2020·江苏·仪征市第二中学高一期末）已知函数其中的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线 对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增

D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为

【答案】CD

【分析】

现根据图像求出函数的解析式，再根据图像性质对每个选项进行判断即可.

【详解】

由图可知，，即，

因，且，故，因此，

又因的图像过点，所以 ，

因，故，因此.

对于选项A，由，得的对称轴为，

故不是函数的对称轴，因此A错；

对于选项B，由，得函数的对称中心为，，

故函数的图像关于点对称，因此B错；

对于选项C，由，

得函数的单增区间为，，

故函数在区间上单调递增，因此C正确；

对于选项D，由，做出如下图形：

由图可知，函数与的图像在上有4个交点，

则这4个交点的横坐标之和为，故D正确.

故选：CD.

【点睛】

已知的部分图像求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：

(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或，即可求出；

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

12．（2021·广东惠州·高一期末）设函数，则下列选项正确的有（    ）

A．的最小正周期是

B．满足

C．在上单调递减，那么的最大值是

D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到

【答案】AC

【分析】

首先化简，再利用三角函数的图像与性质，逐项分析判断即可得解.

【详解】

对于选项，即A正确：

对于选项

，

即不是的对称轴，故B错误：

对于选项时，单调递碱，

故减区间为，，的最大值是，故C正确；

对于的图象向右平移个单位得到

，故D错误．

故选：AC．

第Ⅱ卷

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．（2017·江苏·泰州中学高一期末）若，则__________．

【答案】

【详解】

因为， ，

所以.

14．（2020·江苏·泰兴市第二高级中学高一期末）若，，则_______．

【答案】

【分析】

由化简得到：，再对变形即可．

【详解】

由得：

即：，又

解得：，

所以．

【点睛】

本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，考查计算能力及观察能力，属于基础题．

15．（2020·江苏·仪征市第二中学高一期末）若函数的部分图象如图所示，则的值为_______________．

【答案】.

【分析】

由所给函数图像 过点,，列式，利用诱导公式可得.

【详解】

由函数图像过点,,得，，所以，又两点在同一周期，所以，.故答案为4.

【点睛】

本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.

16．（2021·江苏南通·高一开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为_______米.

【答案】0.25

【分析】

根据时，盛水筒到水面的距离，由函数关系式，求出，再将代入函数关系式，即可得出结果.

【详解】

因为筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，

所以，则，

又，所以，则，

因此当时，，

即当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为米.

故答案为：

四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·江苏·仪征市第二中学高一期末）（1）已知，求的值；

（2）已知（），求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由得，代入原式，化简即可得结果；

（2）由，得，平方后可求的值，再求，然后判断符号即可得答案.

【详解】

（1）由得，

所以，.

（2）由，得①，

将①两边平方得，故，所以.

又，所以，，，则.

【点睛】

方法点睛：对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.

18．（2017·江苏·泰州中学高一期末）已知函数，.

（1）求函数的最大值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）;（2）

【详解】

试题分析：（1）化简函数，根据函数的性质可得最值；

（2）将代入化简后的函数解析式可得，化简，代入求解即可.

试题解析：（1） ，

当时，；

（2） ，，即 ，

.

点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，这是看函数名称之间的差异，从而确定要使用的公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，这是分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.

19．（2020·江苏星联亿创科技有限公司高一月考）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）．

(1)若,,求花坛的面积；

(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？

【答案】（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大.

【分析】

(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；

(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD的长度.

【详解】

(1)设花坛的面积为S平方米.

答：花坛的面积为；

(2) 圆弧的长为米，圆弧的长为米，线段的长为米

由题意知，

即   *  ， 

，

由*式知，，

记则

所以=   

当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，

答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.

【点睛】

本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.

20．（2020·天津市第二南开中学高一期末）已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后解不等式，可求得函数的单调递增区间；

（2）利用图象平移求出函数的解析式，由得出，然后利用两角和的余弦公式可求出的值.

【详解】

（1），

解不等式，得.

因此，函数的单调递增区间为；

（2）由题意可得，

，，

，，则，

因此，.

【点睛】

本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了利用图象变换求函数解析式以及利用两角和的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.

21．（2020·江苏·高一课时练习）设函数（R）．

（1）求函数在R上的最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；

（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围．

【答案】（1）（2）（3）

【分析】

（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值；

（2）恒成立需要保证即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得到的范围；

（3）通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求的范围，这里将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围.

【详解】

解：（1）令，，则，对称轴为．

①，即，．

②，即，．

③，即，．

综上可知，   

（2）由题意可知，，，的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有

故．       

（3）令，．由题意可知，当时，有两个不等实数解，所以原题可转化为在内有两个不等实数根．所以有

【点睛】

（1）三角函数中，形如或者都可以采用换元法求解函数最值；

（2）讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度上减少了遗漏条件的可能.

22．（2021·全国·高一课时练习）设a为正实数．如图，一个水轮的半径为a m，水轮圆心 O 距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点）开始计算时间．

（1）将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数；

（2）点 P 第一次达到最高点需要多少时间．

【答案】（1）  （2）4s；

【分析】

（1）建立直角坐标系，根据题意结合三角函数定义可以求出点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数；

（2）根据正弦型函数的单调性求出最大值即可.

【详解】

（1）如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系．

当t= 0时，点 P 的坐标为，角度为;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈，可知水轮转动的角速度为rad / s,所以 t 时刻，角度为;根据三角函数定义，可得

⑵ 当时，，所以，解得t=4+12k，

所以当k= 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要4s．

【点睛】

考查了数学阅读能力，考查了建模能力，考查了正弦型函数的最值，属于基础题.