人教版高中数学必修第一册第五章5-5-1第1课时两角差的余弦公式习题含答案

5.5　三角恒等变换

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第1课时　两角差的余弦公式

A级 必备知识基础练

1.(2022河南南阳高一期末)cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=(　　)

A. B. C.- D.-

2.计算的值是(　　)

A. B.- C. D.-

3.已知锐角α,β满足cos α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　)

A. B.- C. D.-

4.化简=　　　　　. 

5.若cos θ=-,θ∈,则cos=　　　　　. 

6.(2021山东威海高一期末)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,π,α+β∈,2π,求角β的值.

B级 关键能力提升练

7.(2021河南洛阳高一期末)已知sin α-sin β=1-,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为 (　　)

A. B. C. D.1

8.(2021四川成都高一期末)已知cosx-=-,则cos x+cosx-等于(　　)

A.- B.± C.-1 D.±1

9.

《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为(　　)

A. B. C. D.0

10.(多选题)下列满足sin αsin β=-cos αcos β的有(　　)

A.α=β=90° B.α=-18°,β=72°

C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°

11.(多选题)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是(　　)

A.- B.-

C. D.

12.(多选题)已知α,β,γ∈0,,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是(　　)

A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=-

C.β-α= D.β-α=-

13.已知△ABC中,sin(A+B)=,cos B=-,则sin B=　　　　　,cos A=　　　　　. 

14.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则sin=　　　　　,cos=. 

15.若x∈,且sin x=,求2cosx-+2cos x的值.

C级 学科素养创新练

16.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标分别为.求cos(α-β)的值.

第1课时　两角差的余弦公式

1.B　由两角差的余弦公式可得cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=cos(45°-15°)=cos 30°=,故选B.

2.C　.

3.A　∵α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-,

∴sin α=,sin(α+β)=,

∴cos(2π-β)=cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.故选A.

4.　原式=.

5.-　∵cos θ=-,θ∈,

∴sin θ=-.

∴cos=cos θcos+sin θsin=-=-.

6.解 由α-β∈,π,且cos(α-β)=-,

得sin(α-β)=.

由α+β∈,2π,且cos(α+β)=,

得sin(α+β)=-.

∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×-+-×=-1.

又α+β∈,2π,α-β∈,π,

∴2β∈.

∴2β=π,则β=.

7.B　因为sin α-sin β=1-,

所以sin2α-2sin αsin β+sin2β=. ①

又因为cos α-cos β=,

所以cos2α-2cos αcos β+cos2β=. ②

所以①+②得2cos(α-β)=,

所以cos(α-β)=,故选B.

8.C　因为cosx-=-,

所以cos x+cosx-=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x=cos x+sin x=cosx-=-1.故选C.

9.A　设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为4∶9,

所以小正方形的边长为,可得cos α-sin α=, ①

sin β-cos β=, ②

由图可得:cos α=sin β,sin α=cos β,

①×②可得:=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),

解得cos(α-β)=.

10.BC　由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合.

11.AC　对比公式特征知,cos φ=,sin φ=-,故φ=-都合适.

12.AC　由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β.

两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1,

∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,∴A正确,B错误.

∵α,β,γ∈0,,∴sin γ=sin β-sin α>0,

∴β>α,∴β-α=,∴C正确,D错误.

13.　在△ABC中,因为cos B=-<0,

所以B为钝角,

则sin B=,且A+B∈.

由sin(A+B)=,得cos(A+B)=-,

所以cos A=cos[(A+B)-B]=cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B=-.

14.　因为0<α<,

所以+α<,

又cos,

所以sin,

因为-<β<0,所以,

又cos,

所以sin.

于是cos=cos

=coscos+sinsin

=.

15.解因为x∈,sin x=,所以cos x=-.于是2cos+2cos x=2cos xcos +sin xsin +2cos x=2+2cos x=sin x+cos x=.

16.解依题意,得cos α=,cos β=.

因为α,β为锐角,所以sin α=,sin β=,

所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.