人教版高中数学必修第一册第五章5-5-1第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式习题含答案

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

A级 必备知识基础练

1.(多选题)下列各式中,一定成立的有(　　)

A.sin 8α=2sin 4αcos 4α

B.1-sin2α=(sin α-cos α)2

C.sin2α=

D.tan 2α=

2.化简·cos 28°的结果为(　　)

A.sin 28° B.sin 28°

C.2sin 28° D.sin 14°cos 28°

3.设sin α=,2π<α<3π,则sin+cos= (　　)

A.- B. C. D.-

4.已知等腰三角形底角的正弦值为,则顶角的正弦值是(　　)

A. B. C.- D.-

5.若,则tan 2α=(　　)

A.- B. C.- D.

6.(2021上海虹口高一期末)已知α∈(0,π),且有1-2sin 2α=cos 2α,则cos α=　　　　. 

7.化简:=　　　　　. 

8.求下列各式的值:

(1);

(2)2tan 15°+tan215°;

(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.

B级 关键能力提升练

9.(2022甘肃天水高一期末)已知tan ,则的值为(　　)

A. B.-

C. D.-

10.已知函数f(x)=,则(　　)

A.函数f(x)的最大值为,无最小值

B.函数f(x)的最小值为-,最大值为0

C.函数f(x)的最大值为,无最小值

D.函数f(x)的最小值为-,无最大值

11.4sin 80°-=(　　)

A. B.- 

C. D.2-3

12.若α∈,且cos2α+cos,则tan α=(　　)

A. B. 

C. D.或-7

13.(多选题)下列各式的值为的是(　　)

A. 

B.tan 15°cos215°

C.cos2sin2 

D.

14.(多选题)已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)的图象关于直线x=对称

B.f(x)的周期为

C.(π,0)是f(x)的图象的一个对称中心

D.f(x)在区间上单调递增

15.若θ∈,sin 2θ=,则cos 2θ=　　　　　;sin θ=　　　　　. 

16.化简:(2π<α<3π)=　　　　　. 

17.(2021安徽合肥高一检测)求证:-tan θtan 2θ=1.

18.已知sin α+cos α=,α∈,sinβ-=,β∈.

(1)求sin 2α和tan 2α的值;

(2)求cos(α+2β)的值.

C级 学科素养创新练

19.在△ABC中,sin Acos A=sin Bcos B,且A≠B.

(1)求证:A+B=;

(2)求sin A+sin B的取值范围;

(3)若(sin Asin B)x=sin A+sin B,试确定实数x的取值范围.

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

1.AC

2.A　原式=tan 28°cos 28°=sin 28°.故选A.

3.A　∵sin α=,∴=1+sin α=.

又2π<α<3π,∴π<,

∴sin<0,cos<0,∴sin+cos=-.

4.A　设底角为θ,则θ∈,顶角为π-2θ.

∵sin θ=,∴cos θ=,

∴sin(π-2θ)=sin 2θ=2sin θcos θ=2×.

5.B　等式左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得,解得tan α=-3,

∴tan 2α=.

6.　由1-2sin 2α=cos 2α,得1-cos 2α=2sin 2α,

即2sin2α=4sin αcos α.

又α∈(0,π),所以sin α≠0,所以sin α=2cos α>0.

由sin2α+cos2α=(2cos α)2+cos2α=5cos2α=1,

解得cos α=.

7.tan 2α　原式==tan 2α.

8.解(1)原式=

=

=

==1.

(2)原式=tan 30°(1-tan215°)+tan215°

=(1-tan215°)+tan215°=1.

(3)(方法1)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°

=cos 20°cos 40°cos 80°

=

=

=

=

=.

(方法2)令x=sin 10°sin 50°sin 70°,

y=cos 10°cos 50°cos 70°.

则xy=sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°

=sin 20°·sin 100°·sin 140°

=sin 20°sin 80°sin 40°

=cos 10°cos 50°cos 70°

=y.

∵y≠0,∴x=.

从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.

9.A　∵tan ,

∴

==tan ,故选A.

10.D　因为f(x)==-tan x,0<x≤,所以函数f(x)的最小值为-,无最大值.故选D.

11.B　4sin 80°-

=

==-.

12.C　cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或tan α=-7.又α∈,所以tan α=,故选C.

13.ACD　A符合,原式=tan 45°=;B不符合,原式=sin 15°·cos 15°=sin 30°=;C符合,原式=·cos;D符合,原式=sin 30°=.

14.AB　因为函数f(x)=|sin x||cos x|=|sin xcos x|=|sin 2x|,

画出函数图象,如图所示,

由图可知,f(x)的图象的对称轴是直线x=,k∈Z,

所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,A正确;

f(x)的最小正周期是,所以B正确;

f(x)是偶函数,其图象没有对称中心,C错误;

由图可知,f(x)=|sin 2x|在区间上单调递减,D错误.

15.-　∵θ∈,

∴sin θ>0,2θ∈,∴cos 2θ≤0.

∴cos 2θ=-=-=-.

又cos 2θ=1-2sin2θ,

∴sin2θ=,

∴sin θ=.

16.2sin　∵2π<α<3π,

∴π<.

∴

==2sin.

17.证明 -tan θtan 2θ=

==1.

18.解(1)由题意得(sin α+cos α)2=,

即1+sin 2α=,

∴sin 2α=,又易知2α∈,

∴cos 2α=,

∴tan 2α=.

(2)∵β∈,β-,sin,

∴cos,

∴sin 2=2sincos.

又sin 2=-cos 2β,∴cos 2β=-.

又易知2β∈,∴sin 2β=.

又cos2α=,∴cos α=,∴sin α=,

∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β==-.

19.(1)证明因为sin Acos A=sin Bcos B,

所以sin 2A=sin 2B,

解得2A=2B或2A+2B=π,

即A=B,或A+B=.

又A≠B,所以A+B=.

(2)解由(1)可知A+B=,故sin A+sin B=sin A+sin=sin A+cos A=sin.

由题意可知0<A<,所以<A+,

所以1<sin,

故sin A+sin B的取值范围是(1,].

(3)解由题意可知sin Asin B≠0,

所以x=,

设sin A+cos A=t∈(1,],

则t2=1+2sin Acos A,

故sin Acos A=,代入得x==2,

故实数x的取值范围为[2,+∞).