人教版高中数学选择性必修第二册第五章5-3-2第2课时函数的最大(小)值习题含答案

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第2课时　函数的最大(小)值
必备知识基础练
1.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是(　　)
A.1,-1 B.1,-17
C.3,-17 D.9,-19
2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6 h到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是(　　)
A.6 h B.7 h C.8 h D.9 h
3.(多选题)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则(　　)

A.函数在区间[-2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得
B.2为f(x)的极小值点
C.f(x)在12,2上单调递减
D.f(-2)是f(x)的最小值
4.(2022江苏连云港高二期末)函数f(x)=(x+1)ex的最小值是　　　　　. 
5.函数y=x+12x2(x>0)的最小值为　　　　　. 
6.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为　　　　　,最小表面积为　　　　　. 
7.求下列函数的最值:
(1)f(x)=sin x+cos x,x∈-π2,π2;
(2)f(x)=ln(1+x)-14x2,x∈[0,2].






关键能力提升练
8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(　　)
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
9.函数f(x)=6x-x3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为(　　)
A.-46 B.-35 C.6 D.5
10.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是(　　)
A.-13 B.-15 C.10 D.15
11.若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)
C.(-3,0) D.[-3,0]
12.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是　　　　　　　. 
13.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xln x≤-x2+ax-3成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 
14.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式.
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.







15.已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在1e,e上的最大值.














16.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-3+10(x-6)2,其中3 (1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
















学科素养创新练
17.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)当a<0时,求函数f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤-34a-2.













参考答案

第2课时　函数的最大(小)值
1.C　f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f'(x)=0,得x=±1.
又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,
f(-1)=-1+3+1=3,1∉[-3,0].
所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.
2.C　由题意,得
y'=-38t2-32t+36=-38(t+12)(t-8).
令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.
当6≤t<8时,y'>0;当8 3.ABC　由导函数y=f'(x)的图象可知,函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,因此在区间[-2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得,故A正确;f(x)在-2,12和(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)和12,2上单调递减,且2为f(x)的极小值点,故B和C均正确;f(-2)是函数f(x)的极小值,但不一定是最小值,故D错误.故选ABC.
4.-1e2　函数f(x)=(x+1)ex的导数为f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为f(-2)=(-2+1)e-2=-1e2.
5.32　y'=1+12×(-2)×1x3=1-1x3=x3-1x3=(x-1)(x2+x+1)x3,所以当x>1时,y'>0,当0 6.3　27π　设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为27r2,所以S=πr2+2πr×27r2=πr2+54πr(r>0),S'=2πr-54πr2,令S'=0,解得r=3.
当03时,S'>0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
∴Smin=π×32+54π3=9π+18π=27π.
7.解(1)f'(x)=cos x-sin x.
令f'(x)=0,即tan x=1,
且x∈-π2,π2,所以x=π4.
又因为fπ4=2,f-π2=-1,fπ2=1,
所以当x∈-π2,π2时,函数的最大值为fπ4=2,最小值为f-π2=-1.
(2)f'(x)=11+x-x2,
令11+x-x2=0,化简为x2+x-2=0,
解得x1=-2(舍去),x2=1.
f(1)=ln 2-14,f(0)=0,f(2)=ln 3-1>0,
∵f(1)>f(2),
∴f(0)=0为函数f(x)在[0,2]上的最小值,
f(1)=ln 2-14为函数f(x)在[0,2]上的最大值.
8.D　设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,所以L'(p)=-3p2-300p+11 700.
令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).
此时,L(30)=23 000.
因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.
9.B　由f(x)=6x-x3+6得f'(x)=3x-3x2=3(1-x2x)x,由f'(x)=0可得x=1.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(1)=11,
又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为-46,所以最大值与最小值之和为-35.故选B.
10.A　对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,
且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,
f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值为-13.
11.D　∵f(x)=-x3-3x2+1,
∴f'(x)=-3x2-6x,
令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减


由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.
当x>0时,f(x)f(-3)=1.
又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,
∴a的取值范围为[-3,0].故选D.
12.(-∞,2ln 2-2]　函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex的图象与直线y=a有交点,而g'(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex的图象与直线y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.
13.[4,+∞)　2xln x≤-x2+ax-3,则a≥2ln x+x+3x.
设h(x)=2ln x+3x+x(x>0),则h'(x)=(x+3)(x-1)x2.
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.
14.解(1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=403x+5.
而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).
(2)f'(x)=6-2 400(3x+5)2,令f'(x)=0,即2 400(3x+5)2=6,
解得x=5或x=-253(舍去).
当0 当50.
故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70.
当隔热层为5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.
15.解(1)f'(x)=ax-2bx(x>0).
由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切,
得f'(1)=0,f(1)=-12,即a-2b=0,-b=-12,解得a=1,b=12.
(2)由(1),得f(x)=ln x-12x2,定义域为(0,+∞).
f'(x)=1x-x=1-x2x.
令f'(x)>0,得01,
所以f(x)在1e,1上是增函数,在(1,e]上是减函数,
所以f(x)在1e,e上的最大值为f(1)=-12.
16.解(1)因为x=5时,y=11,所以a2+10=11,a=2.
(2)由(1)知,该商品每日的销售量y=2x-3+10(x-6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)·2x-3+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3 从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),
于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(3,4)
4
(4,6)
f'(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减

由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点,
所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
17.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+2ax+2a+1=(x+1)(2ax+1)x.令f'(x)=0,则x=-1或x=-12a.
若a<0,则-12a>0,当x∈0,-12a时,f'(x)>0;当x∈-12a,+∞时,f'(x)<0.
故f(x)在0,-12a上单调递增,在-12a,+∞上单调递减.
(2)证明由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-12a处取得最大值,最大值为f-12a=ln -12a-1-14a.
所以f(x)≤-34a-2等价于ln -12a-1-14a≤-34a-2,即ln-12a+12a+1≤0.
设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=1x-1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.
所以当x>0时,g(x)≤0.
从而当a<0时,ln -12a+12a+1≤0,即f(x)≤-34a-2.