人教版高中数学选择性必修第二册第五章5-3-1函数的单调性习题含答案

这是一份人教版高中数学选择性必修第二册第五章5-3-1函数的单调性习题含答案，共13页。

5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
必备知识基础练
1.函数y=f(x)在定义域-32,3内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)≤0的解集为(　　)

A.-13,1∪[2,3)
B.-1,12∪43,83
C.-32,12∪[1,2]
D.-32,-13∪12,43
2.(多选题)函数f(x)=(x-3)ex在下列区间上为增函数的是(　　)
　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(3,4) D.(2,+∞)
3.(2021江西南昌高二期末)已知定义在R上的函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是(　　)

A.f(b)>f(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(e)>f(d)
D.f(c)>f(b)>f(a)
4.(2021陕西西安中学高二期末)已知函数f(x)=x+ln x,则下列选项正确的是(　　)
A.f(e) B.f(π) C.f(e) D.f(2.7) 5.若函数f(x)=ln x+12x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为(　　)
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
6.(多选题)函数f(x)=xln x(　　)
A.在0,1e上是减函数
B.在0,1e上是增函数
C.在1e,5上是增函数
D.在1e,5上是减函数
7.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象可能是(　　)


8.函数f(x)=(x2+x+1)ex的递减区间为　　　　　. 
9.已知函数f(x)=x+bln x在区间(0,2)上不单调,则实数b的取值范围是　　　　　. 
10.求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=3+x·ln x;
(2)f(x)=x+bx(b>0).





11.设f(x)=ex-ax-2,求f(x)的单调区间.





关键能力提升练
12.(2021江西上饶横峰中学高二月考)函数f(x)的定义域为R,f(1)=0,f'(x)为f(x)的导函数,且f'(x)>0,则不等式(x-2)f(x)>0的解集是(　　)
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(0,1)∪(2,+∞)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
13.(2021黑龙江双鸭山期末)已知a∈R,则“a≤3”是“f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的实数x,都有f'(x)+1<0,且f(1)=-1,则(　　)
A.f(0)<0 B.f(e)<-e
C.f(e)>f(0) D.f(2)>f(1)
15.已知函数f(x)=12x2+aln x,若对任意两个不等的正数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>4恒成立,则a的取值范围为(　　)
A.[4,+∞) B.(4,+∞)
C.(-∞,4] D.(-∞,4)
16.(多选题)若函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,则满足f(2x2-1)+f(x)>0的x的取值范围可能为(　　)
A.-1,12 B.(-∞,-1)
C.-12,1 D.12,+∞
17.(多选题)(2021重庆八中高二期末)下列函数在定义域上为增函数的有(　　)
A.f(x)=2x4 B.f(x)=xex
C.f(x)=x-cos x D.f(x)=ex-e-x-2x
18.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是　　　　　. 
19.(2021江西南昌新建一中高二期末)已知f(x)满足f(4)=f(-3)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是　　　　　. 

20.已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.












学科素养创新练
21.(多选题)若函数g(x)=exf(x)(e=2.718 28…,是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数,则称函数f(x)具有M性质,则下列函数中具有M性质的是(　　)
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
22.(2021河南新乡月考)已知函数f(x)=2x+ax-ln x-5.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若a≥4,证明:当x>0时,f(x)>0.








参考答案

5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
1.A　由题意f'(x)≤0的解集就是函数的单调递减区间,根据图象可知f'(x)≤0的解集为-13,1∪[2,3),故选A.
2.CD　f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,
令f'(x)>0,即(x-2)ex>0,解得x>2.
∴f(x)的递增区间为(2,+∞),CD符合.
3.D　由函数的导数的图象可知函数f(x)在区间(-∞,c)上单调递增,在区间(c,e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增,而a 4.D　因为函数f(x)=x+ln x(x>0),
所以f'(x)=12x+1x>0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又因为2.7 所以f(2.7) 5.B　由f(x)=ln x+12x2-bx,
可得f'(x)=x2-bx+1x(x>0).
由题意可得存在x>0,使得f'(x)=x2-bx+1x<0,
即存在x>0,使得x2-bx+1<0,等价于b>x+1x成立,即b>x+1xmin.
又x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以b>2.故选B.
6.AC　由f(x)=xln x,可得f'(x)=ln x+x·1x=ln x+1(x>0).
由f'(x)>0,可得x>1e;由f'(x)<0,可得0 所以函数f(x)在0,1e上是减函数,在1e,+∞上是增函数.故选AC.
7.B　由y=f'(x)的图象知,y=f(x)为增函数,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢,故选B.
8.(-2,-1)　f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=ex(x2+3x+2)=ex(x+1)(x+2),
令f'(x)<0,解得-2 所以函数f(x)的递减区间为(-2,-1).
9.(-2,0)　f'(x)=1+bx=x+bx,令g(x)=x+b(x>0),则g(x)是增函数,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).
10.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,即ln x+1>0,得x>1e.
令f'(x)<0,即ln x+1<0,得0 故函数f(x)的单调递增区间为1e,+∞,单调递减区间为0,1e.
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f'(x)=x+bx'=1-bx2,令f'(x)>0,
即1x2(x+b)(x-b)>0,得x>b或x<-b.
令f'(x)<0,即1x2(x+b)(x-b)<0,所以-b 11.解f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a.
若a≤0,则f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
12.A　由题意可知f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
又f(1)=0,(x-2)f(x)>0,所以当x>2时,
由f(x)>0可知f(x)>f(1),即x>1,因此x>2;
当x<2时,由(x-2)f(x)>0可知f(x)<0,
即f(x) 所以不等式(x-2)f(x)>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),故选A.
13.A　当f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增时,f'(x)=2x+2x-a≥0在(0,+∞)内恒成立,
而2x+2x≥22x·2x=4,
所以a≤4,记作B=(-∞,4],令A=(-∞,3],
因为A⫋B,所以“a≤3”是“f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增”的充分不必要条件,故选A.
14.B　构造g(x)=f(x)+x,则g'(x)=f'(x)+1.
又f'(x)+1<0,所以g'(x)<0,
所以函数g(x)在R上单调递减.
又g(1)=f(1)+1=-1+1=0,
所以g(e) 故选B.
15.A　令g(x)=f(x)-4x,因为f(x1)-f(x2)x1-x2>4,
所以g(x1)-g(x2)x1-x2>0,
即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
故g'(x)=x+ax-4≥0在(0,+∞)上恒成立,
即a≥4x-x2,令h(x)=4x-x2,x∈(0,+∞),
则h(x)=4x-x2≤h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范围为[4,+∞).故选A.
16.BD　函数f(x)=ex-e-x+sin 2x,定义域为R,
且满足f(-x)=e-x-ex+sin(-2x)=-(ex-e-x+sin 2x)=-f(x),
∴f(x)为R上的奇函数.
又f'(x)=ex+e-x+2cos 2x≥2+2cos 2x,当且仅当x=0时,等号成立.
当x=0时,2+2cos 2x≠0,∴f'(x)>0恒成立,∴f(x)为R上的增函数.
又f(2x2-1)+f(x)>0,
得f(2x2-1)>-f(x)=f(-x),
∴2x2-1>-x,即2x2+x-1>0,
解得x<-1或x>12,
∴x的取值范围是(-∞,-1)∪12,+∞.
故选BD.
17.CD　函数f(x)=2x4定义域为R,其导数为f'(x)=8x3,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域R上不是增函数;
函数f(x)=xex定义域为R,其导数为f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,所以f(x)在定义域R上不是增函数;
函数f(x)=x-cos x定义域为R,其导数为f'(x)=1+sin x≥0,所以f(x)在定义域R上是增函数;
函数f(x)=ex-e-x-2x定义域为R,其导数为f'(x)=ex+e-x-2≥2ex·e-x-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)在定义域R上是增函数.故选CD.
18.1,32　显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-1x=4x2-1x.
由f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为12,+∞;由f'(x)<0,得函数f(x)单调递减区间为0,12.因为函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以k-1<12 综上可知,1≤k<32.
19.(-3,4)　由函数y=f'(x)的图象可知,当x<0时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.
因为f(4)=f(-3)=1,所以当x≤0时,由f(x)<1=f(-3),可得-30时,由f(x)<1=f(4),可得0 综上所述,不等式f(x)<1的解集为(-3,4).
20.解(1)由f(x)=lnx+kex,可得f'(x)=1x-k-lnxex.
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,
∴f'(1)=0,即1-ke=0,解得k=1.
(2)由(1)知,f'(x)=1x-lnx-1ex(x>0),设h(x)=1x-ln x-1(x>0),则h'(x)=-1x2-1x<0.
可知h(x)在(0,+∞)上为减函数,
由h(1)=0知,当0h(1)=0,故f'(x)>0;
当x>1时,h(x) 综上,f(x)的递增区间是(0,1),递减区间是(1,+∞).
21.AB　对于A,g(x)=ex·2-x=e2x在定义域R上是增函数,故A符合题意;
对于B,g(x)=(x2+2)ex,g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0,所以g(x)在定义域R上是增函数,故B符合题意;
对于C,g(x)=ex·3-x=e3x在定义域R上是减函数,C不符合题意;
对于D,g(x)=ex·cos x,则g'(x)=2excosx+π4,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,D不符合题意.
22.(1)解当a=1时,f(x)=2x+1x-ln x-5,
∴f'(x)=2-1x2-1x=(2x+1)(x-1)x2,
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0 ∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).
(2)证明设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=1x-1=1-xx.
由g'(x)>0,得01.
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故g(x)≤g(1)=0,即ln x≤x-1,
即-ln x≥-x+1①,当且仅当x=1时,等号成立.
要证f(x)≥0,即2x+ax-ln x-5≥0,
只需证x+ax-4≥0.
∵a≥4,x>0,∴x+ax≥2a≥4,
∴x+ax-4≥0②,当且仅当x=2,a=4时,等号成立.
∵①②两个不等式取得等号的条件不同,
∴当a≥4,x>0时,f(x)>0.