人教版高中数学选择性必修第二册第五章培优课——恒成立、能成立问题习题含答案

培优课——恒成立、能成立问题

必备知识基础练

1.若函数f(x)=-x2+4x+bln x在(0,+∞)上是减函数,则b的取值范围是(　　)

A.(-∞,-2] B.(-∞,-2)

C.(-2,+∞) D.[-2,+∞)

2.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0,则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.e D.

3.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)

C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]

4.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2,1]都成立,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

5.已知函数f(x)=x+,其中a∈R,e是自然对数的底数.

(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[0,+∞)上的零点个数;

(2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.

6.已知函数f(x)=ex-2ax(a∈R).

(1)若a=,求函数f(x)的单调区间;

(2)当x∈[2,3]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

关键能力提升练

7.(多选题)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x+1)f'(x)-f(x)<x2+2x对x∈(0,+∞)恒成立.下列结论正确的是              (　　)

A.2f(2)-3f(1)>5

B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+x+

C.f(3)-2f(1)<7

D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+x+

8.若存在x∈,e,使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立,则实数m的最大值为(　　)

A.+3e-2 B.+e+2

C.4 D.e2-1

9.已知函数f(x)=sin2x+--mx在0,上是减函数,则实数m的最小值是(　　)

A.- B.- C. D.

10.已知函数f(x)=若∃x0∈R且x0≠0,使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数k的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.-∞, 

C.[-1,+∞) D.-,+∞

11.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-axa>,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为　　　　　. 

12.设函数f(x)=ax3-3x+1(a>1),若对于任意的x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为　　　　　. 

13.已知函数f(x)=,x∈[1,3],且∀x1,x2∈[1,3],x1≠x2,<2恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 

14.已知函数f(x)=xln x.

(1)求f(x)的最小值;

(2)若对任意x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.

学科素养创新练

15.已知函数f(x)=(x+a)ex,其中a为常数.

(1)若函数f(x)在区间[-1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;

(2)若f(x)≥e3-xex在x∈[0,1]时恒成立,求实数a的取值范围.

参考答案

培优课——恒成立、能成立问题

1.A　∵f(x)=-x2+4x+bln x在(0,+∞)上是减函数,∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,即f'(x)=-2x+4+≤0,即b≤2x2-4x.

∵2x2-4x=2(x-1)2-2≥-2,∴b≤-2.

2.D　∵f'(x)=-a,x>0,

∴当a≤0时,f'(x)>0恒成立,故函数f(x)单调递增,不存在最大值;

当a>0时,令f'(x)=0,得x=,

∴当x∈0,时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,

当x∈,+∞时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,

∴f(x)max=f=ln-1=0,解得a=.

3.A　f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,故f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故f(x)min=f(0)=1+a.

若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.

4.(-∞,-15]　设f(x)=4x3+4x2+1,x∈[-2,1],则f'(x)=12x2+8x,令f'(x)=0,得x=0或x=-.所以在区间-2,-上,f'(x)>0,f(x)为增函数,在区间-,0上,f'(x)<0,f(x)为减函数,在区间(0,1)上,f'(x)>0,f(x)为增函数,因此在闭区间[-2,1]上,函数f(x)在x=-处取得极大值f-,在x=0时函数取得极小值f(0),且f(0)=1,f(1)=9,f(-2)=-15,所以f(-2)=-15是最小值,所以实数a≤-15.

5.解(1)当a=-1时,f(x)=x-,

则f'(x)=1+>0,

∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,

又f(0)=-1<0,f(1)=1->0,

故∃x0∈(0,1),使得f(x0)=0,

∴函数f(x)在区间[0,+∞)上有1个零点.

(2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立,

即a>ex(2-x)恒成立,

令g(x)=ex(2-x),则g'(x)=ex(1-x),

令g'(x)>0,得x<1;令g'(x)<0,得x>1,

∴g(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,

∴g(x)max=g(1)=e,

∴a的取值范围为(e,+∞).

6.解(1)当a=时,f(x)=ex-x,f'(x)=ex-1,

令f'(x)=0,得x=0;

令f'(x)>0,得x>0;

令f'(x)<0,得x<0.

所以函数f(x)=ex-x的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).

(2)当x∈[2,3]时,f(x)=ex-2ax≥0恒成立,等价于2a≤对任意的x∈[2,3]恒成立,

即2a≤min,

设g(x)=,则g'(x)=,显然当x∈[2,3]时,g'(x)>0恒成立.

∴g(x)在[2,3]上是增函数,∴g(x)min=g(2)=,

∴2a≤,即a≤.

故实数a的取值范围为-∞,.

7.CD　设函数g(x)=,

则g'(x)=

=,

因为(x+1)f'(x)-f(x)<x2+2x,所以g'(x)<0,

故g(x)在(0,+∞)上是减函数,从而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)-3f(1)<5,

f(3)-2f(1)<7,故A错误,C正确;

当0<x<1时,若f(1)=2,因为g(x)在(0,+∞)上是减函数,所以g(x)>g(1)=,即,

即f(x)>x2+x+,故D正确,B错误.

8.A　∵2xln x+x2-mx+3≥0,

∴m≤2ln x+x+.

设h(x)=2ln x+x+,

则h'(x)=+1-,

当≤x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,

当1<x≤e时,h'(x)>0,h(x)单调递增.

∵存在x∈,e,m≤2ln x+x+成立,

∴m≤h(x)max.

∵h=-2++3e,h(e)=2+e+,

∴h>h(e).

∴m≤+3e-2,

∴m的最大值是+3e-2.

9.D　由f(x)=sin2x+--mx在0,上是减函数,

得f'(x)=2cos2x+-x-m≤0x∈0,,

即2cos2x+-x≤mx∈0,,

令g(x)=2cos2x+-xx∈0,,

则g'(x)=-4sin2x+-1x∈0,,

当x∈0,时,≤2x+,

则2≤4sin2x+≤4,

所以-5≤-4sin2x+-1≤-3,即g'(x)<0,

所以g(x)在x∈0,上是减函数,g(x)max=g(0)=,

所以m≥,m的最小值为.

10.D　由题意可得,存在实数x0≠0,使得f(-x0)=f(x0)成立,假设x0>0,则-x0<0,

所以有-kx0=ln x0,则k=-,

令h(x)=-,则h'(x)=,

令h'(x)>0,即ln x>1,解得x>e,

令h'(x)<0,即ln x<1,解得0<x<e,

则h(x)在(0,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,

所以h(x)≥h(x)min=h(e)=-=-,

所以k≥-.

11.1　由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.

令f'(x)=-a=0,得x=,

∵a>,∴0<<2.

当0<x<时,f'(x)>0;

当<x<2时,f'(x)<0.

∴f(x)max=f=-ln a-1=-1.

解得a=1.

12.4　由题意得,f'(x)=3ax2-3,当a>1时,令f'(x)=3ax2-3=0,解得x=±,±∈(-1,1).

①当-1≤x<-时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

②当-<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减;

③当<x≤1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

所以只需f≥0,且f(-1)≥0即可,

由f≥0,得a·3-3·+1≥0,解得a≥4,

由f(-1)≥0,可得a≤4.

综上可得a=4.

13.-∞,　设x1>x2,<2可化为f(x1)-2x1<f(x2)-2x2,

可得函数g(x)=f(x)-2x=-2x在x∈[1,3]内单调递减,

∴g'(x)=-2≤0在x∈[1,3]上恒成立,

即a≤在x∈(1,3]内恒成立,

令h(x)=,x∈(1,3],

则h'(x)=<0在x∈(1,3]内恒成立,

∴函数h(x)在x∈(1,3]内单调递减,∴a≤h(3)=.

则实数a的取值范围是-∞,.

14.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x,

令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0<x<,

所以当x=时,f(x)取得最小值,最小值为f=-.

(2)依题意知,f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,

即不等式a≤ln x+对于x∈[1,+∞)恒成立.

令g(x)=ln x+,则g'(x)=,

当x>1时,g'(x)>0,故g(x)在(1,+∞)内单调递增,所以g(x)的最小值是g(1)=1.

因此a≤g(x)min=g(1)=1,故a的取值范围为(-∞,1].

15.解(1)由f(x)=(x+a)ex,得f'(x)=(x+a+1)ex,

∵函数f(x)在区间[-1,+∞)上是增函数,

∴f'(x)=(x+a+1)ex≥0在区间[-1,+∞)上恒成立,

即a≥-x-1在区间[-1,+∞)上恒成立.

∵当x∈[-1,+∞)时,-x-1∈(-∞,0],∴a≥0,

即实数a的取值范围是[0,+∞).

(2)f(x)≥e3-xex在x∈[0,1]时恒成立,等价于a≥e3-x-2x在x∈[0,1]时恒成立,

令g(x)=e3-x-2x,则a≥g(x)max,

∵g'(x)=-e3-x-2<0,

∴g(x)在[0,1]上是减函数,

∴g(x)在区间[0,1]上的最大值g(x)max=g(0)=e3,

∴a≥e3,即实数a的取值范围是[e3,+∞).