人教版高中数学选择性必修第二册第五章培优课——函数的单调性与导数关系的应用习题含答案

培优课——函数的单调性与导数关系的应用

必备知识基础练

1.已知f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π),则f(x)的单调递增区间是(　　)

A.(π,2π) B.(0,π)

C. D.

2.若f(x)=x3-ax2的单调递减区间是[0,2],则正数a的值是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知函数f(x)=,当1<x<3时,下列关系正确的是(　　)

A.f()<f(x)<f2(x) 

B.f(x)<f()<f2(x)

C.f2(x)<f()<f(x)

D.f2(x)<f(x)<f()

4.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)

A.[1,+∞) B.a=1

C.(-∞,1] D.(0,1)

5.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)·f'(x)>0的解集为 (　　)

A.(-∞,-2)∪(1,+∞)

B.(-∞,-2)∪(1,2)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)

D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)

6.(多选题)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则(　　)

A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0)

C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)

7.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是　　　　. 

8.若函数f(x)=(x2+mx)ex的单调递减区间是-,1,则实数m的值为　　　　　. 

9.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2.

(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.

关键能力提升练

10.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)

A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)

11.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是(　　)

A.- B.-

C.1, D.1,

12.已知函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R).若存在x∈,2,使得f(x)>xf'(x)成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.,+∞ B.,+∞ 

C.(,+∞) D.(3,+∞)

13.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R内的单调函数,则实数m的取值范围为　　　　　. 

14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,若当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则不等式xf(x)>0的解集是　　　　　. 

15.(2021山东烟台期中)已知函数f(x)=exsin x-ax在(-π,0)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　. 

16.试讨论函数f(x)=kx-ln x的单调区间.

学科素养创新练

17.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).

(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,则实数a的取值范围是　　　　　; 

(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　. 

18.已知函数y=ax与y=-在(0,+∞)内都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.

参考答案

培优课——函数的单调性与导数关系的应用

1.C　∵f(x)=2cos2x+1=2+cos 2x,x∈(0,π),

∴f'(x)=-2sin 2x.

令f'(x)>0,则sin 2x<0.

又x∈(0,π),∴0<2x<2π.

∴π<2x<2π,即<x<π.

2.A　f'(x)=x2-2ax,令f'(x)≤0,由于a>0,解得0≤x≤2a,故2a=2,即a=1.

3.A　由题意得f'(x)=,当1<x<3时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,3)上单调递增.

又1<<x<3,所以f()<f(x).

由f(x)在(1,3)上单调递增,可知当x∈(1,3)时,f(x)>f(1)=e,所以f2(x)>f(x).

综上,f()<f(x)<f2(x).

4.A　f'(x)=3x2-2ax-1.

因为f(x)在区间(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1≤0在区间(0,1)内恒成立.

所以f'(0)≤0,f'(1)≤0.

所以a≥1.故选A.

5.D　原不等式⇔

即

解得x<-1或x>3或-1<x<1.

6.AB　令g(x)=(x∈R),因为f'(x)<f(x),所以g'(x)=<0,

故g(x)在R上单调递减,而ln 2>0,2>0,

故g(ln 2)<g(0),g(2)<g(0),

即,

所以f(ln 2)<2f(0),f(2)<e2f(0).

7.(0,+∞)　若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则其导数y'=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b>0.

8.-　f'(x)=[x2+(m+2)x+m]ex.

因为f(x)的单调减区间是-,1,所以方程f'(x)=0的两个根分别为x1=-,x2=1,即解得m=-.

9.解(1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2,

∴f'(x)=3x2+2x-1,∴f'(1)=4.

又f(1)=3,∴切点坐标为(1,3),

∴所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.

(2)f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)·(3x-a),

由f'(x)=0得x=-a或x=.

又a>0,由f'(x)<0,得-a<x<,

由f'(x)>0,得x<-a或x>,

故f(x)的单调递减区间为-a,,单调递增区间为-∞,-a和,+∞.

10.D　令F(x)=(g(x)恒不为0),则F(x)为奇函数,F'(x)=,

∵当x<0时,F'(x)>0,

∴F(x)在(-∞,0)内为增函数.

又F(3)==0,∴F(-3)=0.

∴当x<-3时,F(x)<0;

当-3<x<0时,F(x)>0.

又F(x)为奇函数,∴当0<x<3时,F(x)<0;

当x>3时,F(x)>0.

而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式,

∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).

11.C　由题意,得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-.

令f'(x)=0,解得x=或x=-(舍去).

当0<x<时,f'(x)<0,函数f(x)在区间0,上单调递减;

当x>时,f'(x)>0,函数f(x)在区间,+∞上单调递增.

因为函数f(x)在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<<k+1,解得-<k<.

又k-1≥0,所以1≤k<.故选C.

12.C　设g(x)=,则g'(x)=,存在x∈,2,使得f(x)>xf'(x)成立等价于存在x∈,2,使得g'(x)<0成立.

∵g(x)==ln x+(x-a)2,

∴g'(x)=+2(x-a).

由g'(x)<0得a>x+,

∴a>x+min,x∈,2,

又x+≥2,当且仅当x=∈,2时,等号成立,

∴a>.故选C.

13.　f'(x)=3x2+2x+m,

因为f(x)是R内的单调函数,

所以f'(x)≥0恒成立或f'(x)≤0恒成立.

因为导函数的二次项系数3>0,所以只能有f'(x)≥0恒成立.

所以Δ=4-12m≤0,故m≥.

经检验,当m=时,只有一个点使f'(x)=0,符合题意,故实数m的取值范围是.

14.(-∞,-2)∪(2,+∞)　由题意设g(x)=xf(x),

则g'(x)=xf'(x)+f(x).

∵当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,

∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.

∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴g(x)是定义在R上的偶函数.

又f(2)=0,则g(2)=2f(2)=0,

∴不等式xf(x)>0等价于g(x)>0=g(2),

∴|x|>2,解得x<-2或x>2,

∴不等式xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(2,+∞).

15.(-∞,-]　由题意f'(x)=ex(sin x+cos x)-a≥0在(-π,0)上恒成立,

即a≤ex(sin x+cos x)在(-π,0)上恒成立,

令g(x)=ex(sin x+cos x),x∈(-π,0),

则g'(x)=2excos x,易知x∈-π,-时,g'(x)<0;x∈-,0时,g'(x)>0,

故g(x)在-π,-上单调递减,在-,0上单调递增,

故g(x)min=g-=-,故a≤-即为所求.

16.解函数f(x)=kx-ln x的定义域为(0,+∞),

f'(x)=k-.

当k≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,

则f(x)在(0,+∞)上单调递减.

当k>0时,由f'(x)<0,即<0,

解得0<x<;

由f'(x)>0,即>0,解得x>.

∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,,

单调递增区间为,+∞.

综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;

当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,,单调递增区间为,+∞.

17.(1)(-1,0)∪(0,+∞)　(2)-,0∪(0,+∞)　(1)由题知h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h'(x)=-ax-2.

由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,可得当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>有解.

设G(x)=(x>0),所以只要a>G(x)min即可.

而G(x)=-12-1,所以G(x)min=-1.

因为a≠0,所以-1<a<0或a>0.

(2)由h(x)在[1,4]上单调递减,得当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥恒成立.

设H(x)=,x∈[1,4],所以a≥H(x)max,而H(x)=-12-1,因为x∈[1,4],所以∈,1,

所以H(x)max=-(此时x=4).

因为a≠0,所以-≤a<0或a>0.

18.解因为函数y=ax与y=-在(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.

由y=ax3+bx2+5,得y'=3ax2+2bx.

令y'>0,得3ax2+2bx>0,所以-<x<0.

令y'<0,得3ax2+2bx<0,所以x<-或x>0.

故函数y=ax3+bx2+5的单调递增区间为,单调递减区间为和(0,+∞).