专题3 单变量存在恒成立与存在性问题-高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版选择性必修第二、三册)

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专题7.2 均值不等式与线性规划【1013】．（2022·全国·高考真题·★★）若x，y满足约束条件则的最大值是（       ）A． B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.故选：C.【1014】．（2022·浙江·高考真题·★★）若实数x，y满足约束条件则的最大值是（       ）A．20 B．18 C．13 D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线过时有最大值.由可得，故，故，故选：B.【1015】．（2021·浙江·高考真题·★★）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.【1016】．（2021·全国·高考真题·★★★）下列函数中最小值为4的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．【1017】．（2021·全国·高考真题·★★）若满足约束条件则的最小值为（       ）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由可得点,转换目标函数为，上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，此时.故选：C.【1018】．（2017·全国·高考真题·★★）设x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最小值是（       ）A．－15 B．－9 C．1 D．9【答案】A【解析】【分析】作出可行域，z表示直线的纵截距，数形结合知z在点B(－6，－3)处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数，z表示直线的纵截距，，数形结合知函数在点B(－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z的最小值为－12－3＝－15.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.【1019】．（2019·浙江·高考真题·★★）若实数满足约束条件，则的最大值是A． B．1C．10 D．12【答案】C【解析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.【1020】．（2014·安徽·高考真题·★★★）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为A． B． C．2或1 D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：题中的约束条件表示的区域如下图，将化成斜截式为，要使其取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合，所以或.考点：1.线性规划求参数的值.【1021】．（2012·浙江·高考真题·★★）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．【1022】．（2010·重庆·高考真题·★★）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式，整理得即，又，【1023】．（2011·安徽·高考真题·★★★）设变量满足则的最大值和最小值分别为A．１，－１ B．２，－２ C．１，－２ D．２，－１【答案】B【解析】【详解】试题分析：由约束条件，作出可行域如图，设 ，则 ，平移直线 ，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．考点：线性规划.【1024】．（2007·海南·高考真题·★★★）已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】【详解】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，当且仅当x=y时取“=”，【1025】．（2021·天津·高考真题·★★★）若，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【1026】．（2016·江苏·高考真题·★★★）已知实数满足则的取值范围是     .【答案】【解析】【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线距离的平方为的最小值，为，原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为，因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.【1027】．（2016·全国·高考真题·★★）若满足约束条件 则的最小值为_________.【答案】【解析】【详解】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最小值，即．【考点】简单的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：（1）作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；（2）作出目标函数的等值线（等值线是指目标函数过原点的直线）；（3）求出最终结果．【1028】．（2020·天津·高考真题·★★★★）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.【1029】．（2022·全国·郑州一中模拟预测·★★）已知x，y满足约束条件，则的最小值为（       ）A．-3 B．0 C．3 D．6【答案】C【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】不等式组表示的可行域如图所示阴影部分，作直线，在直线中，表示直线的纵截距，向上平移直线增大，向下平移直线减小，平移该直线，当它过点时，为最小值．故选：C．【1030】．（2022·山东泰安·模拟预测·★★★★）已知，则的最小值是（       ）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.【1031】．（2022·浙江·镇海中学模拟预测·★★★）若实数x，y满足，且的最大值为8，则实数m的值为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，利用线性规划去求实数m的值即可.【详解】画出不等式组表示的可行域如图所示， 由图中直线斜率关系知：当直线向上平移时，依次经过点O，B，A．故经过点A时，z有最大值，由，得．故选：C．【1032】．（2022·上海松江·二模·★★★）已知正实数、满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，即，解得或（舍去），即的最小值为4，当且仅当时等号成立.故答案为：4【1033】．（2022·上海·位育中学模拟预测·★★★★）已知 ， 且， 则 的最小值为_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求最小值.【详解】，而，当且仅当时等号成立，由可得或，故，当且仅当或等号成立，故的最小值为.故答案为：.【1034】．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测·★★★）若、，且，则的最小值为（       ）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.故选：A.【1035】．（2022·浙江湖州·模拟预测·★★）若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（       ）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】作出可行域，绘制出目标函数，考虑截距最小的情况.【详解】如图，作出可行域，目标函数经过点B（1，1）时在y轴上有最小的截距，因为截距即z，故此时z最小，.故选：A【1036】．（2022·河南安阳·模拟预测·★★）已知实数x，y满足，则（       ）A．最小值为-7，最大值为2 B．最小值为-2，最大值为7C．最小值为-7，无最大值 D．最大值为2，无最小值【答案】C【解析】【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目标函数的最大最小值．【详解】作出可行域，如图所示阴影部分：，，即，直线越往上移的取值越小，当直线往上平移至经过点时，取最小值，此时，当直线往下平移至经过点时，，因为该点取不到，所以无法取到最大值，即的最小值为-7，无最大值．故选：C．【1037】．（2022·河南安阳·模拟预测·★★）已知实数x，y满足，则的最大值为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】作出可行域如图所示：把转化为直线，经过点A时，纵截距最小，z最大.由解得：，此时.故选：A【1038】．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测·★★★★）已知正实数a，b满足，则下列结论不正确的是（       ）A．有最大值 B．的最小值是8C．若，则 D．的最大值为【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：，∴，当且仅当时，等号成立，故A正确；对B：，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；对C：，∴，∴，故C正确；对D：由可知，故，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：B.【1039】．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测·★★）若实数、满足，则的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】先画出不等式组表示的可行域，然后由，得，作出直线，向上平移过点时，目标函数取得最大值，求出点的坐标，代入目标函数可求得结果【详解】不等式组表示的可行域如图所示由，得，作出直线，向上平移过点时，目标函数取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故答案为：6【1040】．（2022·上海奉贤·二模·★★）满足线性约束条件的目标函数的最大值是________.【答案】2【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故答案为：.【1041】．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测·★★）若变量满足约束条件则的最小值是______【答案】##1.5【解析】【分析】作出可行域，根据图形找到最优解，将最优解的坐标代入目标函数即可得到答案.【详解】作出可行域如图：,化简可得：，由图可知，点为最优解，联立解得，所以，所以，故答案为：【1042】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★）设x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】11【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴上截距最大值即可求出答案.【详解】作出不等式组所表示的可行域，如下图，平移直线，当直线过点时，z取得最大值．联立，解得：，所以z取得最大值为：11.故答案为：11.【1043】．（2022·上海虹口·二模·★★）函数的值域为_________.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式即可解出．【详解】因为，所以，当且仅当时取等号．故答案为：．【1044】．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测·★★★★）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________.【答案】8【解析】【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义先求出，进而得到关系，再由均值不等式可得出答案.【详解】设直线与曲线相切于点 由函数的导函数为，则 解得 所以，即则当且仅当，即时取得等号.故答案为：8【1045】．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测·★★★）已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由基本不等式求解【详解】由题意当且仅当即时等号成立，故答案为：【1046】．（2022·山东师范大学附中模拟预测·★★★）已知随机变量，且，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由正态分布的对称性可知：，解得：，因为，所以，由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，所以不等式得最小值为故答案为：【1047】．（2022·上海·华师大二附中模拟预测·★★★）若实数、满足条件，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法求出的取值范围，即可得出的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立可得，即点，联立可得，即点，令，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，所以，，故，因此，的最大值为.故答案为：.