高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时练习，共41页。

5.3.2.1　函数的极值
【考点梳理】
知识点一　函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二　函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．











【题型归纳】
题型一：求函数的极值
1．（2022秋·山东淄博·高二统考期末）已知是函数的极小值点，则的极大值为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知函数，满足．
(1)求实数a的值；
(2)求的单调区间和极值．

3．（2022秋·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知函数当时，取得极值.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和极大值.

题型二：由极值求参数
4．（2022秋·四川资阳·高二校考期中）函数在处有极值为，那么，的值为（    ）
A．， B．，
C．，或， D．，
5．（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数有极值，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·山西太原·高二太原市外国语学校校考阶段练习）若函数在处有极值10，则（    ）
A．6 B． C．或15 D．6或






题型三：由极值点求参数的值或取值范围
7．（2022秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知没有极值，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（   ）
A．或 B．或
C． D．
9．（2022秋·北京房山·高二北京市房山区房山中学校考期中）已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

题型四：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系
10．（2022秋·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）

A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极大值
11．（2022秋·河南南阳·高二邓州市第一高级中学校校考期末）已知函数有两个极值点，且，则下列选项正确的是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
12．（2022秋·天津·高二校联考期末）如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（    ）

①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

题型五：利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
13．（2022秋·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
14．（2022秋·江西抚州·高二金溪一中校联考期末）设，是函数的两个极值点，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

15．（2022秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考阶段练习）设，，（为自然对数的底数），若不是函数的极值点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

题型六：函数极值的综合问题

16．（2022秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）设为实数，函数.
(1)求的极值；
(2)若曲线与轴仅有一个交点，求的取值范围.

17．（2022·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的极大值点．

18．（2022秋·青海西宁·高二校联考期末）已知函数．
(1)若是的极值点，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若恒成立，求的取值范围．

【双基达标】
一、单选题
19．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校联考期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

20．（2021秋·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）函数的图像如图所示，则关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数有3个极值点
B．函数在区间上是增加的
C．函数在区间上是增加的
D．当时，函数取得极大值
21．（2022秋·贵州遵义·高二统考期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ）

A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值







22．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（    ）

A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点
23．（2022秋·北京平谷·高二统考期末）函数在上的极小值点为（    ）
A． B． C． D．
24．（2022秋·广东肇庆·高二统考期末）等比数列中的项，是函数的极值点，则（    ）
A．3 B． C． D．
25．（2022秋·吉林·高二校联考期末）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值．
26．（2022秋·云南曲靖·高二校考期中）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.







【高分突破】
一、单选题
27．（2022秋·北京顺义·高二统考期末）已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（    ）
A． B．一定存在极小值点
C．若，则是函数的极小值点 D．若，则
28．（2022秋·北京房山·高二统考期末）已知函数，以下4个命题：
①函数为偶函数；
②函数在区间单调递减；
③函数存在两个零点；
④函数存在极大值和极小值．
正确命题的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．曲线在点处的切线斜率小于零
B．函数在区间上单调递增
C．函数在处取得极大值
D．函数在区间内至多有两个零点




30．（2022秋·北京海淀·高二统考期末）已知函数，，给出下列三个结论：
①一定存在零点；
②对任意给定的实数，一定有最大值；
③在区间上不可能有两个极值点．
其中正确结论的个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3

二、多选题
31．（2022春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）关于函数，下列结论正确的是（    ）
A．函数的定义域为 B．函数在上单调递增
C．函数的最小值为，没有最大值 D．函数的极小值点为
32．（2022秋·辽宁锦州·高二统考期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．是的极小值点
C．函数在上有极大值 D．是的极大值点
33．（2022秋·重庆万州·高二校考阶段练习）若函数有大于零的极值，则实数的可能取值为（    ）
A． B． C． D．


34．（2022秋·江苏苏州·高二校考期中）已知函数，则（    ）
A．和0是函数的极值点
B．在上单调递增
C．的极大值为
D．的极小值为
35．（2022秋·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．当时，在点的切线方程是
B．当时，在R上是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．若有两个极值点，则
36．（2022秋·福建莆田·高二统考期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ）
A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点
C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值
37．（2022秋·广东·高二校联考期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．时，取得极大值 B．时，取得最小值
C． D．

38．（2022秋·广东东莞·高二统考期末）已知函数有两个极值点，，则下列选项正确的有（    ）
A． B．函数有两个零点
C． D．
三、填空题
39．（2022春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________
40．（2022秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）如图是函数的导函数的图象：
①函数在区间上严格递减；   
②；
③函数在处取极大值；     
④函数在区间内有两个极小值点．
则上述说法正确的是______．

41．（2022秋·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）函数的极大值与极小值分别为和，则____．
42．（2022秋·新疆省直辖县级单位·高二新疆石河子一中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是__________．
①有且只有一个极值点；      
②设，则与的单调性不同；
③有个零点；    
④在上单调递增.


43．（2022·全国·高二假期作业）若函数有两个极值点，则实数取值范围是______
44．（2022·高二单元测试）设函数，已知在有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是__________．（填序号）
①        ②在上单调递增
③在上单调递减    ④在上至多有2个极大值点

四、解答题
45．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）已知函数，，，且．
(1)若，，求函数的极值；
(2)设，当时，对任意，都有成立，求的最大值．

46．（2022·全国·高二专题练习）已知 ，曲线在点处取得极值．
(1)求的值；
(2)求函数的极值．

47．（2022·全国·高二专题练习）设函数
(1)求函数的表达式；
(2)求函数的单调区间，极大值，极小值；
(3)若时，恒有，求实数的取值范围.

48．（2022秋·辽宁·高二校联考期末）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若为的两极值点，且，求正数的取值范围.

49．（2022秋·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有三个极值点，求的取值范围．








50．（2022秋·甘肃酒泉·高二统考期末）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围．

参考答案：
1．C
【分析】由极值点的性质可得，求出的值，列表分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值.
【详解】因为，则，由题意可得，
解得，，，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增

所以，函数的极大值为.
故选：C.
2．(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.

【分析】（1）求导后根据求解即可；
（2）求导后根据导函数的正负区间，进而求得原函数的单调区间，从而得到极值即可.
（1）
由题意，，又，解得
（2）
由（1），且为增函数.
令可得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在处有极小值，无极大值.
综上单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
3．(1)
(2)单调递增区间是和，单调递减区间为，．

【分析】（1）分析已知条件，当时，取得极值得，可解得，；
（2）由 确定增区间，由得减区间，从而确定极值点，即可求出极大值．
（1）
解：由题意可得，
又当时，取得极值，
，即，解得，
．
（2）
解：，令，得，
当时，，函数单调递减；
当或时，，函数单调递增；
函数的单调递增区间是和，单调递减区间为．
因此，在处取得极大值，且．
4．A
【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．
【详解】，
由题意可知即，
则解得或，
当时，，
在处不存在极值，不符合题意；
当时，，
，，，，符合题意．
，
故选：A．
5．D
【分析】先求导，由题设得必有两个不等的实根，再利用判别式求解即可.
【详解】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，
则，解得.
故选：D.
6．B
【分析】先求出函数的导函数 ，然后根据在 时 有极值10，得到 ，求出满足条件的 ，然后验证在 时是否有极值，即可求出
【详解】 ，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
7．C
【分析】根据没有极值，可知无变号零点，由二次函数性质可知，由此可解不等式求得结果.
【详解】；
在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
8．B
【分析】由题设知有两个变号零点，结合判别式的符号求m的范围即可.
【详解】由，又有极大值、极小值，
所以有两个变号零点，则，
整理得，可得或.
故选：B
9．B
【分析】由题，求导函数，由函数有极大值和极小值，即有两个不同解，由此，，求解即可
【详解】由题，，函数有极大值和极小值，所以有两个不同解，所以，，解得，
故选：B
10．B
【分析】直接由导函数图象判断出函数的单调区间，进而得到函数的极值，依次判断4个选项即可.
【详解】由图象可知，函数在上单调递减，A错误；函数在上单调递增，B正确，C错误；
函数在处取得极小值，D错误.
故选：B.
11．C
【分析】由极值点定义可知是方程的两根且，由可得的范围，由单调性和可得结果.
【详解】由题意知：定义域为，；
有两个极值点，是方程的两根且，
，则，；
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
又，，.
故选：C.
12．C
【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．
【详解】解：由导函数的图象可知，当时，
当时，当时，当时，
所以在区间上单调递减，故①错误；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，
在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；
故选：C．
13．B
【分析】先求导由，是极值点，得，进而将不等式恒成立转化为，构造函数求得最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】由题意得，，，所以，是方程的两个正根，
所以，不等式恒成立，即恒成立；
又，
则，又，可得，则.
令，则，
所以在上单调递减，所以，故.
故选：B.
【点睛】解决极值点问题，通常求导转化为导数根的问题，结合韦达定理可将双变量问题转化为单变量问题；而恒成立问题，通常采用参变分离，转化为函数最值问题，利用导数加以解决.
14．D
【分析】首先求函数的导数，再根据极值点的分布，求参数的取值范围.
【详解】，则，是的两相异实根，则解得．
故选:D
15．B
【分析】求导函数，根据题意得的根为，从而表示出，再令新函数，求导函数，判断单调性与最小值.
【详解】，
因为不是函数的极值点，
所以的根为，
所以，即，则，
令，，
因为时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增
所以，所以的最小值为.
故选：B
【点睛】求解本题的关键是将不是函数的极值点，转化为有两个相等的实数根，从而表示出，再利用导函数判断单调性与最小值.
16．(1)极小值为，极大值为
(2)

【分析】（1）函数连续可导，只需讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况来确定极值点，求出极值（2）曲线与轴仅有个交点,等价于函数的图象与直线仅有个交点，数形结合即可求解
【详解】（1），
令，解得，
当时，；当时，；当时；，
所以，当时，取得极大值；
当时，取得极小值.
（2）由,得
由题意知,曲线与轴仅有个交点,等价于函数的图象与直线仅有个交点，
因为,
当或时,当时,,
所以函数在区间和上单调递增,
在区间上单调递减,
所以函数的极大值为,函数的极小值为,
如图所示：

由图可知，和的图象仅有一个公共点,当且仅当:或,
即或,
所以,实数的取值范围为
17．(1)
(2)

【分析】（1）先利用奇函数的定义可求出的值，再利用导数的几何意义可求得切线方程，
（2）先求出函数的单调区间，从而可求出极大值点.
（1）
因为函数为奇函数，所以，
从而得到，即，所以．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）
，
由，得，由，得或，
所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
所以函数的极大值点是．
18．(1)
(2)答案见解析
(3)．

【分析】（1）求出导函数，利用是函数极值点则求出的值并检验即可；
（2）求出定义域及导函数，讨论和时的正负，可得到函数的单调性；
（3）若恒成立，则，由第（2）问讨论的结果，求出函数的最小值，求解即可求出的范围.
（1）
．
因为，所以，得．
经检验，当时，是函数极值点．
所以.
（2）
因为
①若，则恒成立，在上单调递增．
②若，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）
由（2）知，
当时，，所以单调递增，又，
故不恒成立，
当时，，符合题意，
当时， 在上单调递减，在上单调递增.
∴
由恒成立，可得
，解得，∴，
所以a的取值范围．
19．B
【分析】求导，根据题意可得有2个不同的正实数根，从而可得出答案.
【详解】解：，
因为函数的定义域为，且函数有2个极值点，
则有2个不同的正实数根，
所以且，
即实数的取值范围是.
故选：B．
20．C
【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，，函数单调递增，，函数单调递减，结合图像即可判断函数的单调区间及极值.
【详解】结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值.所以D错误；
故函数有2个极值点，所以A错误；
函数的单调性为：单增区间；单减区间.故B错误，C正确.
故选：C.
21．C
【分析】根据导函数的图象判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值
【详解】由导函数的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
所以和为极小值点，为极大值点，所以函数有3个极值点，
所以和中的最小的，为函数的最小值，无最大值，
所以ABD正确，C错误，
故选：C
22．C
【分析】由图象判断区间符号和零点个数，进而判断的驻点、极值点个数.
【详解】由题图知：从左到右依次分为5个区间，
区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，即有4个驻点，
综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，且为拐点.
所以C正确，A、B、D错误.
故选：C
23．C
【分析】分析函数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可.
【详解】对于函数，，
因为，当时，，当时，，当时，，
所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．
因此，函数在上的极小值点为.
故选：C.
24．D
【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.
【详解】由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以.
故选：D.
25．(1)
(2)极小值，无极大值

【分析】（1）由导数的几何意义，求在处的斜率，进而得到切线方程；
（2）根据导函数的正负判断单调区间，再求极值即可.
【详解】（1）由题知，，，
∴，而，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令得；令得，
∴的单调减区间是，的单调增区间是．
∴当时，取极小值，无极大值．
26．(1)在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，无极小值.
(2)

【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；
（2）令，利用分离参数法得到，利用导数求出的最大值即可求解.
（1）
解：当时，，定义域为，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，无极小值.
（2）
解：由，得，
令，只需，
，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以k的取值范围为．
27．D
【分析】求出导函数，有两个不等实根，然后由极值点、单调性与的根的关系判断各选项．
【详解】，是极大值点，有两个不等实根，
，即，
设有两不等实根和，是极大值点，则时，，时，，从而时，，是极小值点．B正确；
由于时，，因此A正确；
若，则，,的两解互为相反数，即，C正确；
时，，，D错．
故选：D．
28．C
【分析】根据函数的表达式满足的关系可判断①，根据基本初等函数的单调性即可判断的单调性，进而可判断②，根据零点与方程根的关系可判断③，根据极值点的判断可求解④.
【详解】由得，故为偶函数，①对，当时，，单调递减，故②，
令或，故③对；
当时，，故在上单调递减，由于为偶函数，故在上单调递增，故没有极小值，故④错误.
故选：C
29．D
【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.
【详解】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A错误；在，故在区间上单调递减，故B错误，在的左右两侧，故不是极值点，故C错误，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D正确；
故选：D
30．C
【分析】依据零点存在定理并分类讨论求得的零点判断①；利用导数并分类讨论判定是否有最大值判断②；举反例否定③
【详解】①当时，，由，可得在存在零点
当时，，由，
，可得在存在零点
当时，在单调递减，值域
又在单调递增，值域，
则与的图象在必相交，
则在存在零点
综上，一定存在零点.判断正确；
②当时，，，在单调递增，存在最大值；
当时，，则，
在上单调递减，值域，
当，时，在上值域
则在上恒成立，则在单调递增，存在最大值；
当时，在上单调递减，
则在上单调递减，，
则，使得
则时，，时，
则在单调递增，在单调递减，存在最大值；
当时，在上单调递增，
当时，，恒成立，
则在单调递增，
当时，单调递增，值域为
又当时，单调递减，值域为
则当时，
若，则在单调递增，
则在单调递增，存在最大值；
若，使得时；时；
则在单调递增，在单调递减，又在单调递增，
则在有最大值；
综上，对任意给定的实数，在有最大值.判断正确；
③令，则，，
在上单调递减，值域，
在上单调递增，值域，
又，，
则，使得
则当，或时，，单调递增
当时，，单调递减
则在区间上有两个极值点．判断错误.
故选：C
31．BD
【分析】对于A，注意到可知，由此可判断；
对于B，对求导，利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确；
对于C，举反例排除即可；
对于D，利用导数与函数极值的关系可判断其正确.
【详解】对于A，因为，所以，解得，故的定义域为，故A错误；
对于B，，令，得，故在上单调递增，故B正确；
对于C，令，则，故的最小值不为，故C错误；
对于D，令，得或，所以在和上单调递减，
令，得，故结合两侧的单调性可知是的极小值点，故D正确.
故选：BD.
32．AD
【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质和导函数的图象逐一判断即可.
【详解】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；
当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；
当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，
故选：AD
33．BC
【分析】求出函数的导数，确定取得极值的条件并求出极大值，再列出不等式求解作答.
【详解】函数的定义域为，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，无极值，不符合题意，
当时，当时，，当时，，则当时，函数取得极大值，
因此，即，解得，显然选项A，D不满足，B，C满足.
故选：BC
34．ACD
【分析】先求导，再求出函数的单调区间和极值，判断即得解.
【详解】解：由题得
当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以和0分别是函数的极大值点和极小值点，所以选项A正确；
所以在上单调递减，所以选项B错误；
函数的极大值为，所以选项C正确；
函数的极小值为，所以选项D正确.
故选：ACD
35．ABD
【分析】根据导数的几何意义，可判断A的正误；求导可得解析式，设，利用导数可得的单调性和最值，结合a的范围，可得的正负，即可判断B的正误；当时，可得恒成立，即可得恒成立，则单调递减，分析可判断C的正误；根据有两个极值点，可得有2个实根，根据的单调性和最值，分析即可得答案.
【详解】对于A：当时，，则，即切点（0,0）
又，
所以切线的斜率，
所以切线方程为，即，故A正确；
对于B：由题意得，
设，则，
令，解得，
当时，，则为增函数，
当时，，则为减函数，
所以，
因为，所以，，
所以，又恒成立，
所以在R上恒成立，则在R上是减函数，故B正确；
对于C：当时，由B选项可得，
所以恒成立，即恒成立，
所以在R上是单调减函数，无极值点，
反之若只有一个极值点，不成立，故C错误；
对于D：若有两个极值点，则有2个实根，
因为恒成立，所以有2个实根，
由B选项可得，
所以，解得.
又，
根据零点存在性定理可得，在和分别存在1个零点，
结合的单调性可得满足题意，故D正确；
故选：ABD
【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，如无法判断的正负，需构造函数，再次求导，根据的单调性及最值，可得的正负，再进行分析求解，考查分析计算的能力，属中档题.
36．ACD
【分析】利用二次导数以及，研究的单调性可判断ACD；直接观察函数零点可判断B.
【详解】，记
因为，且，在区间上显然递增，
所以记为的零点，则有
所以当时，，在上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，
所以当时，有极小值，D正确；
由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确；
易知，故B错误
故选：ACD
37．ACD
【分析】结合导函数的图像得出函数的单调性，再由极值和最值的含义进行判断即可.
【详解】结合导函数的图像可知，在上单增，则，C正确；在上单减，则，D正确；
由于，显然不是最小值，B错误；又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确.
故选：ACD.
38．ACD
【分析】问题化为在上有两个变号零点，讨论参数a研究的单调性，结合零点存在性定理判断区间零点情况，进而求出a的范围，再研究的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数，且可得，最后应用对数均值不等式判断C、D.
【详解】由题设，在上有两个变号零点，
令，则，
若，则，即递增，此时不可能存在两个零点；
所以，则时，递增；时，递减；
故，而，
要存在零点，则，可得，则，
此时x趋向于正无穷时趋于负无穷，则在各有一个零点，满足题设，A正确；
由上，不妨设，
在上，递减；在上，递增，且，
所以x趋向于时趋于0，，，
故上无零点，上不一定存在零点，B错误；
由对数均值不等式，证明如下：
令，要证，即证，
若，则，故在上递减，
所以，即，故得证；
令要证，即证，
若，则，故在上递增，
所以，即，故得证；
综上，，
故，C正确；
，，即恒成立，，
又因为C选项，
所以 ，故，D正确.
故选：ACD.
【点睛】注意将问题化为在上有两个变号零点求参数范围问题，由此得到的的单调性和零点情况判断的单调性和零点，根据零点得到，利用对数均值不等式求证不等式.
39．
【分析】由题意得到有两个不等的零点，且在两零点的两侧，导函数符号相反，参变分离后构造，求导研究其单调性和极值，最值情况，画出图象，数形结合求出的取值范围.
【详解】由，得，
∵函数有两个极值点，
∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极小值也是最小值为，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
画出的图象，如下：

要使有两个不等实数根，
则，即，经验证，满足要求.
故的取值范围为．
故答案为：.
40．②④
【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案.
【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故，故①错误，②正确；
由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误；
由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，在和上导函数大于0，
故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确.
故答案为：②④
41．
【分析】利用导数求得的极值，从而求得正确答案.
【详解】，
在区间递增；在区间递减.
所以是的极大值，即，
是的极小值，即，
所以.
故答案为：
42．①②④
【分析】经过二次求导后，可确定，使得，且在上单调递增，由此可确定的单调性，由此可知④正确；根据极值点定义可知①正确；根据为偶函数，假设与单调性相同，由对称性知假设错误，知②正确；由单调性，结合零点存在定理可知有且仅有两个零点，知③错误.
【详解】对于①，由题意知：定义域为，，
令，则恒成立，
在上单调递增，又，，
，使得，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
有且仅有一个极值点，①正确；
对于②，，
，为上的偶函数，图象关于轴对称；
由①知：在，上单调递增；
若与在上单调性相同，则在上单调递减，
与单调性不同，②正确；
对于③，由①知：在上单调递减，在上单调递增，且；
，即在上有且仅有一个零点，
，又，在上有且仅有一个零点；
综上所述：有且仅有两个零点，③错误；
对于④，由①知：在上单调递增，且，
在上单调递增，④正确.
故答案为：①②④.
43．
【分析】结合已知条件可知有两个不同的实数根，然后利用一元二次函数的判别式即可求解.
【详解】由题意可知，，
∵有两个极值点，
∴有两个不同的实数根，
故，即或.
从而实数取值范围是.
故答案为：.
44．②
【分析】利用已知条件求出的范围,判断A;利用函数的单调性判断B、C;函数的极大值判断D.
【详解】由题,因为在有且仅有2个极小值点,所以,即.
因为，所以,故①正确；
因为,所以.
因为在单调递增,只有当时在单调递增才成立,故②错误;
因为在单调递减,所以在上单调递减.故③正确;
因为两端点取不到,且,所以在上至多有2个极大值点.故④正确.
故答案为：②
45．(1)极大值为，极小值为；
(2).

【分析】（1）求出，时函数的导数，解不等式，，求得函数的单调区间，结合单调性求极值；(2)化简不等式，并分离变量可得，利用导数求函数的最小值可得的最大值．
【详解】（1）当a＝2，b＝1时， ，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
∴．
令，得或，
由，得或；由，得或，
∴时取得极大值，时取得极小值；
（2）∵，
当时，，
∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
记，则，
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数．
∴，
∴，即的最大值为.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立⇔；
(2)恒成立⇔.
46．(1)
(2)极大值为，极小值为

【分析】（1）求得，根据题意得到，即可求解；
（2）由（1）求得，结合的符号，即可求得函数的单调性和极值.
（1）
解：由题意，函数，可得，
因为曲线在点处取得极值，
可得，解得，
经检验符合题意，所以．
（2）
解：由（1）可知，函数，
则，
当或时，，当时，，
因此在区间和上单调递减，在区间上单调递增，
故的极大值为，的极小值为．
47．(1)；
(2)极大值为，极小值为；增区间为，减区间为；
(3).

【分析】(1)直接求导可得函数的表达式；
(2)首先求出导函数的零点，根据变化时，变化情况列表，进一步可得函数的单调区间，极大值，极小值；
(3) 把函数的表达式代入所给不等式并整理，把问题转化为对时恒成立，引入，求其最小值，解不等式得答案.
（1）
，
所以；
（2）
令，
解得或，因为，所以，
当变化时，变化情况列表如下：













增
极大值
减
极小值
增

所以的增区间为，减区间为；
的极大值为，极小值为；
（3）
因为对时恒成立，
即对时恒成立，
令，只需即可，
其对称轴为， 因为，
所以在上单调递增，
所以，
即
整理得，解得
又，所以.
48．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）分、讨论，利用导数判断单调性可得答案；
（2）时可得两极值点为，可得，设，求出，令，则由导数可得
是上的增函数，即恒成立， 转化为恒成立，利用单调性可得，设，再分、 讨论利用导数可得答案.
（1）
由得，
当时，的解集为的解集为，
当时，的解集为的解集为，或，所以，当时，是上的增函数，是上的减函数；
当时，是上的增函数，是上的减函数.
（2）
，
当，或时，；当时，，
两极值点为，
，
设，则，
令则，
当时，是上的增函数，
当时，.
是上的增函数.
由条件得恒成立，
恒成立，即恒成立.
，
，
，
设，若，则单调递增；
若，则，单调递减，，
所以，正数的取值范围是.
【点睛】本题解题的关键点是构造函数，求解原函数的单调性，利用得出的函数大小关系构造新函数；对新函数进行求导，利用其单调性以及函数取值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
49．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）将问题转化为恰有3个互不相等的实根，由得方程有2个异于-1的实根．令，则．分，讨论，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可．
（1）
解：当时，，则．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以，即．
当时，；当时，．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）
解：．
若有3个极值点，则恰有3个互不相等的实根，分别记为，，．
因为，所以为的一个根．
所以方程有2个异于-1的实根．
令，则．
①当时，，在上单调递增，所以至多有1个根，不符合题意．
②当时，令，即，解得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
，．
当，即时，，至多有1个零点，不符合题意．
当时，，，，
因为，且，
所以存在，，使得，，
所以当时，若，则，，则，
，则，，则，
所以有3个极值点，，．所以的取值范围为．
50．(1)；
(2)单调递减区间是；单调递增区间是，；
(3).

【分析】（1）根据点在函数图像上，再根据导数的几何意义以及极值点处导函数为，联立方程即可得解；
（2）根据导数与函数单调性的关系即得；
（3）结合函数的性质可得，进而即得.
【详解】（1）由题可得，
由题意得即
解得，，，
所以．
（2）因为，
令，得或．
当变化时，，的变化情况如下：


－1




＋
0
－
0
＋


2




所以，的单调递减区间是；单调递增区间是，．
（3）因为，，
由（2）可知：在处取得极大值，在处取得极小值，
依题意，要使有三个零点，则，
即，
解得，
所以的取值范围为．